matanaliz

так как двойной интеграл является площадью круга радиуса 2.

20.4. Примеры для самостоятельного решения

1. Вычислить дивергенцию векторного поля

a(M) =(xy+z2)i+(yz+x2)j+(zx+y2)k в точке Ì(1,3, 5).

2. Вычислить поток векторного поля

a(M) = (x 3z)i + (x+2y + z)j+(4x + y)k через верхнюю часть плос-кости x + y + z =2, лежащую в первом октанте.

3. Вычислить поток векторного поля a(M) =2xi+yj+3zk ÷å-

рез часть поверхности эллипсоида , лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.

4. Вычислить поток векторного поля a(M) = (x y)i + (x + + y)j + z2k через поверхность цилиндрического тела, ограни- ченного поверхностями x2 + y2 =1, z =0 è

внешней нормали.

5. Вычислить дивергенцию вектора напряженности магнитного поля H =(21/r)( yi+xj), создаваемого током I,проходящим

по бесконечно длинному проводу. 3 3 3

6. Найти поток Ïвекторного поля a(M) = x i + y j + z k че- рез поверхность шара x2 + y2 + z2 = R2 в направлении внешней нормали.

296 Лекция 20. Элементы векторного анализа

7. Вычислить поток Ï векторного поля

+17zk через часть плоскости x+2y+3z =1, расположенной в

первом октанте. Нормаль составляет острый угол с осью Oz.

8. Найти поток Ï вектора a =xi 2yj zk через замкнутую поверхность S, ограниченную поверхностями 1 z = x2 + y2, z =0

в направлении внешней нормали. 2 2

9. Найти поток Ïвектора a = x i + z j через часть поверхности z2 =4 x y, лежащую в первом октанте, и части координат-

ных плоскостей, отсекаемых этой поверхностью, в направлении внешней нормали. 2 2

10. 1. Найти дивергенцию поля grad u, åñëè u =ln(x + y +

+ z2);

2. Вычислить поток Ï векторного поля a(M) =xi+3yj+2zk

через верхнюю часть плоскости x + y + z =1, расположенную в

первом октанте. xy2 11. 1. Найти дивергенцию векторного поля a(M) = i +

+x2yj+z3k в точке Ì(1, 1,3);

2.Вычислить поток векторного поля a(M) =3xi yj zk через поверхности 9 z = x2 + y2, x =0, y =0, z =0, ограничивающее

некоторое тело, в направлении внешней нормали. 2 2 12. Найти циркуляцию векторного поля a(M) = z i + x j +

+ y2k по сечению сферы x2 + y2 + z2 = R2 плоскостью x + y + + z = R в положительном направлении обхода относительно

вектора n =(1,1,1).

13. Найти циркуляцию векторного поля a(M) = y2i+xyj+ +(x2 + y2)k по контуру, вырезаемому в первом октанте из параболоида x2 + y2 =Rz плоскостями x =0, y =0, z = R â ïîëî-

жительном направлении обхода относительно внешней нормали поверхности параболоида. zy2

14. Вычислить циркуляцию векторного поля a(M) = i+ +xz2j+yx2k по контуру пересечения параболоида x = y2 + z2 ñ

плоскостью x =9 в положительном направлении обхода относительно орта n0 = i.

20.4.1.Ответы. 1. 1. 2. 26/3. 3. 24¼. 4. 4¼. 5. divH =0.

6.12¼R2/5. 7. 1. 8. ¼. 9. 19 53 . 10. ¦ =1. 11. ¦=81¼/8. 12. 3¼R4/2. 13. R3/3. 14. 729¼. 105

Ë å ê ö è ÿ 21

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

21.1. Основные понятия и теоремы

a1 + a2 + ¢¢¢ + an + ¢¢¢ называется числовым рядом. Пользуясь знаком суммы, числовой ряд обозначается следующим образом

X1

n=1

Определение 21.2. Если существует конечный предел Sm = = S , то ряд называется сходящимся, а предел S является

суммой ряда. В случае если этот предел равен §1, èëè íå

X

(an + bn):

n=1

Если у ряда (21.1) отбросить первые m членов, то оставшуюся

n=m+1

называют остатком ряда.

21.1.1. Критерий Коши сходимости ряда. Для сходимости ряда (21.1) требуется, чтобы последовательность Sm áûëà сходящей. Из теории последовательностей известно, что для ее

298 Лекция 21. Числовые ряды

сходимости необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (теорема 1.17). Следовательно, можно сформулировать следующее утверждение

Теорема 21.1. (критерий Коши) Для сходимости ряда (21.1)

необходимо и достаточно, чтобы для 8" > 0 9N > 0 такое,

что при выполнении неравенства n > N äëÿ 8p > 0 выполнено

честве членов в частичной сумме Sm. Принимая во внима-

21.2. Ряды с положительными членами

Будем исследовать ряды, элементы которых являются положительными числами. Для этих рядов справедливы все утверждения, рассмотренные в предыдущих пунктах.

21.2.1. Признаки сравнения. Теорема 21.4. (Первый признак сравнения) Пусть заданы два ряда

X1 X1

1: an, 2: bn,

n=1 n=1

и начиная с некоторого числа N, выполнено условие an 6

6 bn, n > N. Тогда из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Принимая во внимание свойство 1, т. е. отбрасывание конечного числа членов не влияют на сходимость ряда, будем считать, что неравенство an 6 bn выполнено для всех членов рядов. Обозначим частичные суммы рядов символами Sm1, Sm2 соответственно. Тогда из неравенства an 6 bn

следует условие Sm1 6 Sm2. Рассмотрим две последовательности fSm1g, f Sm2g. Тогда из условия Sm1 6 Sm2 следует неравенство

lim Sm1 6 lim Sm2 =) S1 6 S2,

m!1 m!1

ãäå S1, S2 - суммы рядов. Из условия S1 6 S2 следует справед-

ливость теоремы. ¤

Теорема 21.5. (Второй признак сравнения) Пусть заданы два ряда. Если существует предел

lim an = K, (0 6 K < +1),

m!1 bn

то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда , а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда . Если 0 < K < +1, то оба ряда сходятся или

расходятся.