mehanika1980
.pdf
Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР
Архангельский ордена Трудового Красного Знамени лесотехнический институт им. В.В.Куйбышева
"Утверждаю" Проректор по научной работе,
доцент____________ Т.А.Гурьев
" 25 " ______марта__ 1980 г.
М Е Х А Н И К А
Методические указания к выполнению лабораторных работ
Архангельск
1980
1
Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией химико-технологического факультета Архангельского ордена Трудового Красного Знамени лесотехнического института им. В.В.Куйбышева
6 октября 1978 г.
Составители:
С.П.АРТЮХОВ, В.В.НЕКРАСОВ, З.Г.ИВАЩЕНКО, Ф.А.БОДНАРЮК, Л.Ф.ТРЕНИНА
Научный редактор
канд.хим.наук доцент Б.К.СЕМЕНОВ Рецензент
ст. преп. И.Ф.П0ПОВА
УДК 531/534
Механика: Методические указания к выполнению лабораторных работ/ Артюхов С.П., Некрасов В.В., Иващенко З.Г., Боднарюк Ф.А., Тренина Л.Ф., -РИО АЛТИ, 1980,- 28 с. Подготовлены кафедрой физики АЛТИ.
Методические указания включают описание шести лабораторных работ, связанных с изучением основных законов поступательного, вращательного и колебательного движений, а также механических законов сохранения, и отражают основные разделы читаемого курса. Первая цифра номера работы определяет номер части ("Механика и молекулярная физике"), вторая - номер цикла, третья - номер лабораторной работы в цикле. Методические указания предназначены для студентов I, II курсов всех факультетов и всех форм обучения.
Ил. 8 . Табл. 7. Библиогр. 2 назв.
© АЛТИ, 1980
2
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Измерить какую-либо величину - это значит определить, сколько раз содержится в ней однородная величина, принятая за единицу измерения.
Измерения подразделяются на прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или с помощью измерительных приборов, при косвенных - по результатам прямых измерений других величин, связанных с ней функциональной зависимостью.
Величины, полученные в результате лабораторных измерений, не являются точными, тек как в процессе измерений всегда допускаются ошибки, обусловленные несовершенством приборов, наших органов чувств и изменяющимися внешними условиями.
Результат любых измерений только тогда имеет смысл, когда проведена оценка степени точности намерений. В теории погрешностей для оценки степени точности и качества измерений используют понятия абсолютной и относительной погрешностей.
|
|
|
Теория вероятности показывает, что среднее арифметическое |
|
очень |
большого числа n измерений, произведенных в одинаковых условиях, ка- |
||
кой-либо величины равно истинному значению этой величины |
Х.(Это |
|
справедливо при n |
|
.) Среднее арифметическое из ограниченного числа |
|||||||||
измерений |
|
|
как правило отличается от Х истинного. |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
Одной из основных |
задач теории погрешностей является вычисление |
||||||||
интервала с центром в |
|
и полушириной Х , |
то есть интервала от |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
до |
|
|
, |
в который с заданной степенью |
вероятности должно |
||||
попасть истинное значение измеряемой величины. Такой интервал и соответствующую ему вероятность называют доверительным. Величина , отмечающая границы доверительного интервала, называется абсолютной погрешностью. Абсолютная погрешность - величина, имеющая ту же размерность, что и измеряемая величина.
Если |
равно так называемой среднеквадратичной ошибке Sn тo до- |
верительная |
вероятность α,, соответствующая интервалу с полушириной |
Sn , равна примерно 2/3 (67%). Среднеквадратичная ошибка вычисляется по формуле
3
|
( |
|
|
i )2 |
||
|
|
|
||||
Sn |
|
|
|
|
, |
|
n(n |
1) |
|||||
|
|
|||||
где - среднее значение искомой величина; i - результата отдельных намерений;
n - число опытов.
Более высокой доверительной вероятности должен соответствовать более широкий интервал:
Sn t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
. где t |
- коэффициент Стьюдента, значения которого приведены |
|||||||
в таблице. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чи |
|
Коэффициент t |
при доверительной вероятности |
|
||||
сло |
|
0,90 |
0,95 |
|
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
3 |
|
2,92 |
4,30 |
|
6,96 |
9,92 |
31,6 |
|
4 |
|
2,35 |
3,18 |
|
4,54 |
5,84 |
12,9 |
|
5 |
|
2,13 |
2,78 |
|
3,75 |
4,60 |
8,61 |
|
6 |
|
2,02 |
2,57 |
|
3,36 |
4,03 |
6,87 |
|
7 |
|
1,94 |
2,45 |
|
3,14 |
3,71 |
5,96 |
|
8 |
|
1,89 |
2,36 |
|
3,00 |
3,50 |
5,41 |
|
9 |
|
1,86 |
2,31 |
|
2,90 |
3,36 |
5,04 |
|
10 |
|
1,83 |
2,26 |
|
2,82 |
3,25 |
4,78 |
|
11 |
|
1,81 |
2,23 |
|
2,76 |
3,17 |
4,59 |
|
12 |
|
1,80 |
2,20 |
|
2,72 |
3,11 |
4,44 |
|
|
|
1,60 |
2,00 |
|
2,30 |
2,60 |
3,30 |
|
В математике доказывается, что если при косвенных измерениях искомая величина находится как функция измеряемых на опыте других ве-
личин |
1 , |
2 , |
3 ,…, |
n то есть |
y |
f ( 1 , |
2 , |
3 ,…, |
n ), |
то абсолютная погрешность рассчитывается согласно выражению
4
|
y |
2 |
y |
|
2 |
|
y |
|
|
... |
|
||
|
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
При этом все погрешности аргументов |
1 , 2 , 3 ,…, n должны |
|||||
быть приведены к одной и той же доверительной вероятности. Та же доверительная вероятность α будет соответствовать y .
Относительная погрешность |
определяется как отношение абсо- |
|
лютной погрешности |
к самой измеряемой величине X или |
|
:
100% .
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
Теоретические положения
Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называют произведение массы данной точки на квадрат расстояния ее до данной оси:
J mr 2 |
(1.1) |
Момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции твердого тела относительно данной оси равен сумме моментов инерции всех материальных точек тела относительно этой оси:
|
n |
r 2 . |
|
J |
m |
(1.2) |
|
|
|
i i |
|
i |
1 |
|
|
Пределом суммы уравнения (1.2) является интеграл вида
J r 2dm, |
(1.2а) |
где t - расстояние от материальной точки массой dm до оси вращения. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, то есть определяет способность вращающихся тел сохранять
5
неизменным свое состояние покоя или равномерного вращения. Момент инерции тела зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно заданной оси вращения.
Для определения момента инерции используется ряд экспериментальных методов, основанных на законах вращательного движения.
Описание установки.
В данной работе требуется определять момент инерции системы, называемой маятником Обербека. Маятник Обербека представляет собой
крестовину, состоящую из четырех стержней длиной L , |
жестко закреп- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ленных во втулке с осью (рис. I.I). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На стержни |
крестовин |
надевают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одинаковые грузы массой m1 , ко- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торые могут быть закреплены на |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разных расстояниях R от оcи вра- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щения. Грузы закрепляют симмет- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m1 |
|
|
r 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
m1 |
|
|
|
рично, то есть так, чтобы центр |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тяжести системы находился на оси |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вращения. Два шкива радиусами r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , r 2 насажены на ось вращения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
маятника. На шкив наматывается |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нить, к свободному концу которой |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прикрепляется груз массой m. При |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
падении этого груза нить разма- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
тывается и приводит маятник в |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равноускоренное |
вращательное |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
движение. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент |
инерции |
маятника |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
можно найти на основании уравнения динамики вращательного движения:
J |
M |
(1.3) |
|
где М- результирующий момент внешних сил, действующих на маятник;
- угловое ускорение маятника.
Для определения момента сил М рассмотрим силы, действующие на груз m. На груз действует сила тяжести, и сила натяжения нити Fn , рав-
6
ная и противоположная по направлению силе, действующей на шкив и
создающей вращающий момент M |
|
Fn r . Запишем второй закон Ньютона |
|||
для груза m: |
|
|
|
|
|
ma mg Fn , |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
Fn |
m(g |
a) |
(l.4) |
||
Следовательно, вращающий момент сил приложенных к маятнику, |
|||||
M |
mr(g |
a) |
(1.5) |
||
Угловое ускорение определяется из условия |
|
||||
|
|
a |
, |
|
(1.6) |
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
где 
- тангенциальное ускорение точек на поверхности шкива, равное ускорению а, с которым движется груз m (нить нерастяжима).
Подставляя уравнения (1.5) и (1.6) в равенство (1.3), получаем
J |
mr 2 |
(g a) |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J |
mr |
2 |
|
g |
1 . |
(1.7) |
|||||
|
|
a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если ускорение а, с которым движется груз m, намного меньше ус- |
|||||||||||
корения свободного падения g, то |
|
g |
|
|
|
1, формулу (1.7) можно записать |
|||||
|
a |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
mr 2g |
. |
|
|
(1.8) |
|||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, для определения момента инерции системы J надо знать ускорение a, с которым движется груз m . Для этого определяют время t , за которое груз проходит высоту h.
Как известно,
h |
at 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
a |
2h |
|
t 2 . |
(1.9) |
7
Порядок выполнения работы.
В качестве груза m в работе используется набор грузов с известными массами. Намотав нить на большой шкив, поднять груз m до соприкосновения с электромагнитом и включить ток в цепи электромагнита. Затем одновременно разомкнуть цепь электромагнита и включить электросекундомер. При достижении нижнего контакта груз автоматически отключает электросекундомер. Время движения груза t определить по секундомеру. Проделать два аналогичных измерения ( t1 , t 2 ) , добавляя грузы. Намотав нить на малый шкив, повторить измерения. Полученные данные записать в таблицу.
Шк |
№ |
r |
m |
t |
a |
J |
ив |
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обработка результатов эксперимента.
По формуле (1.9) рассчитать ускорение а. Убедившись, что неравенство a<<g выполняется, по формуле (1.8) вычислить момент инерции J.
Произвести расчет абсолютной и относительной погрешности.
Контрольные вопросы.
1.Дать определение угловой скорости, углового ускорения, вращающего момента. Указать единицы измерения этих величин, связь между угловыми и линейными скоростями и ускорениями.
2.Дать определение момента инерции материальной точки и твердого тела относительно данной оси. В чем заключается свойство аддитивности
8
момента инерции системы?
З. Вывести основное уравнение динамики вращательного движения.
4.Как изменится время падения груза m , если грузы маятника m, передвинуть ближе к оси вращения?
5.Вывести расчетную формулу исходя из закона сохранения энергии.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Я 1.1.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА*
Описание установки.
Маятник Максвелла представляет собой диск, жестко посаженный на ось. Найти момент инерции маятника можно, решив задачу о скатывании маятника с наклонной плоскости. Наклонная плоскость имеет две направляющие, на которые устанавливается ось маятника, после чего ему предоставляется возмож-
ность свободно скатываться. |
r |
Fn |
||
Рассмотрим динамику ка- |
||||
|
|
|
||
чения (рис, 2.1), считая, что |
|
|
|
|
скольжение полностью отсутст- |
Fтр |
|
|
|
вует. На маятник действуют три |
|
mg |
||
силы: сила тяжести mg , реакция |
|
|||
|
φ |
|
||
наклонной плоскости Fn и сила |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
трения Fтр .Трение между осью |
|
Рис.2.1. |
||
маятника и наклонной плоско- |
|
|||
|
|
|
||
стью возникает в точках их соприкосновения. |
Поскольку эти точки оси в |
|||
каждый момент времени неподвижны (образуют мгновенную ось вращения),сила трения, о которой идет речь, является силой трения покоя.
Уравнение движения, записанное через проекции сил на направление движения, в нашем случае имеет вид
ma mg sin Fтр |
(2.1) |
Для дальнейших расчетов воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:
9
___________________________________
* Теоретические положения приведены в лабораторной работе № 1.1.1.
|
М |
(2.2) |
|
|
|
|
|
|
J |
||
|
|
||
где - угловое ускорение маятника; |
|
||
М - суммарный момент внешних сил; |
|
||
J- момент инерция маятника |
|
||
В уравнении (2.2) написанном относительно оси вращения, совпадающей с осью симметрии маятника, будет отличен от нуля только момент силы трения
M Fтр r |
(2.3) |
При отсутствии скольжения линейное ускорение системы а связано с угловым уравнением:
|
a |
|
|
|
r |
|
|
(2.4) |
|
Из формул (2.2), (2.3), (2.4) получаем |
|
|
|
||||||
|
Fтр |
|
|
a J |
|
|
(2.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя Fтр в уравнение (2.1), получаем |
|
||||||||
ma |
mg sin |
aJ |
, |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
mr |
2 |
( |
g |
sin |
1) . |
(2.6) |
||
|
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, момент инерции маятника Максвелла может быть найден из опыта, если известна масса маятника m, радиус оси r, ускорение свободного падения g и ускорение скатывающегося тела при установке угла наклонной плоскости φ.
Порядок выполнения работы.
10