matanaliz
.pdfОГЛАВЛЕНИЕ
Введение |
. . . |
. . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . |
. . . . |
. . . |
. |
. . . . . . . . . |
11 |
Ë å ê ö è ÿ |
1. |
Введение в математический анализ . |
. . . . . . . . . |
12 |
|||||
1.1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . |
. . |
. . . . |
. . . |
. . |
. . . . . . . . |
12 |
|||
1.1.1. Понятие комплексного числа, различные формы запи- |
|
||||||||
си (12). 1.1.2. Алгебраические операции над комплексными |
|
||||||||
числами |
(13). 1.1.3. Возведение |
в степень |
è |
извлечение |
|
||||
корня (14). |
|
|
|
|
|
|
|
||
1.2. Числовые последовательности. . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . 16 |
||||||||
1.2.1. Предел числовой последовательности (16). |
1.2.2. Îñ- |
|
|||||||
новные |
свойства бесконечно малых |
последовательно- |
|
||||||
ñòåé |
(17). |
1.2.3. Свойства сходящихся |
последовательно- |
|
|||||
ñòåé |
(19). 1.2.4. Предельный переход в неравенствах (21). |
|
|||||||
1.2.5. Монотонные последовательности (21). |
|
1.2.6. Ïîä- |
|
||||||
последовательности и частичный предел последователь- |
|
||||||||
ности. (23). |
1.2.7. Необходимые |
è |
достаточные условия |
|
|||||
сходимости последовательностей (24). |
|
|
|
|
|
||||
1.3. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . |
. . |
. . . . |
. . . |
. . |
. . . . . . . . |
25 |
|||
1.4. Методические указания по решению задач . . . |
. . |
. . . . . . . . |
26 |
||||||
1.5. Примеры для самостоятельного решения . |
. . . |
. . |
. . . . . . . . |
30 |
|||||
1.5.1. Ответы (31). |
|
|
|
|
|
|
|||
Ë å ê ö è ÿ |
2. |
Функции . . . . . . . . . . . . |
. . |
. . . . |
. . . |
. . |
. . . . . . . . |
32 |
|
2.1. Предельное значение функции. . . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . |
. . . . . . . . |
32 |
|||
2.1.1. Арифметические операции над функциями, которые |
|
||||||||
имеют предельное значение (33). |
2.1.2. Бесконечно малые |
|
|||||||
и бесконечно большие функции (35). |
|
|
|
|
|
||||
2.2. Непрерывность функции . . . . . . . |
. . . |
. . . |
. . . |
2.2.2.. . . . .Непре. . . . -. |
37 |
||||
2.2.1. Свойства непрерывных функций (39). |
|
||||||||
рывность функции на сегменте (отрезке) (40). |
|
|
|
||||||
4 Оглавление
2.3. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . .
2.5.Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1.Ответы (47).
Ëе к ц и я 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.Производная, основные понятия и правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.Геометрический смысл производной (49). 3.1.2. Физи- ческий смысл производной (50). 3.1.3. Понятие дифференцируемости функции в точке (50). 3.1.4. Правила дифференцирования (51). 3.1.5. Вычисление производных элементарных функций (52).
3.2.Понятие дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.Производные и дифференциалы высших порядков. . . . . . . .
3.4.Производные функций, заданных в параметрической форме
3.4.1.Контрольные вопросы (57).
3.5.Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . .
3.6.Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.Ответы: (63).
Ëе к ц и я 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции . . . . .
4.1.Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . .
4.1.1.Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) (68).
4.2.Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.Исследование графика функции на наличие экстремумов . .
4.3.1.Наибольшее и наименьшее значение функции на сегменте (74).
4.4.Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . .
4.6.Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1.Ответы: (78).
Ëе к ц и я 5. Исследование функций и их графиков . . . . . . . .
5.1.Направление выпуклости графика функции . . . . . . . . . . . . .
5.1.1.Точки перегиба (80).
5.2.Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
42
46
49
49
54
55
56
58
62
65
65
69
72
74
75
77
79
79
82
Оглавление |
5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Исследование графика функции |
83 |
5.3.1. Контрольные вопросы (85). |
|
5.4. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . . |
85 |
5.5. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
5.5.1. Ответы (91). |
|
Л е к ц и я 6. Функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
6.1. Понятие евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
6.2. Понятие функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . |
95 |
6.3. Предельное значение функции нескольких переменных. . . . |
95 |
6.4. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
99 |
6.5. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . . |
100 |
6.6. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . |
101 |
6.6.1. Ответы (102). |
|
Л е к ц и я 7. Непрерывность функций и производные . . . . . . |
103 |
7.1.Непрерывность функции нескольких переменных.. . . . . . . . 103
7.1.1.Основные свойства непрерывных функций (104).
7.2.Производные и дифференциал функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.1.Производная сложной функции (108). 7.2.2. Инвариантность формы полного дифференциала (109).
7.3.Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . . 110 7.5. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . 112
7.5.1. Ответы (112).
Л е к ц и я 8. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . |
114 |
|
8.1. Производная по направлению. Градиент.. . . . . . . . . . . . . . . |
114 |
|
8.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков |
116 |
|
8.2.1. Дифференциалы высших порядков (117). |
|
|
8.3. Формула Тейлора для функции нескольких переменных . . . |
118 |
|
8.4. Экстремумы функций нескольких переменных . . . . . . . . . . |
119 |
|
8.4.1. Контрольные вопросы (123). |
|
|
8.5. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
8.5.1. 8.6. Примеры |
для самостоятельного решения (127). |
|
8.5.2. Ответы (128). |
|
|
6 |
Оглавление |
Ëе к ц и я 9. Неявные функции и условный экстремум . . . . .
9.1.Наибольшие и наименьшие значения функции . . . . . . . . . .
9.2.Неявные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1.Контрольные вопросы (137).
9.4.Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . .
9.5.Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1.Ответы (139).
Ëе к ц и я 10. Приложение дифференциального исчисления
10.1.Метод неопределенных множителей Лагранжа. . . . . . . . . .
10.2.Приложение дифференциального исчисления в геометрии. .
10.2.1.Контрольные вопросы (147).
10.3.Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . .
10.4.Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1.Ответы (151).
Ëе к ц и я 11. Неопределенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1.Замена переменной в неопределенном интеграле (154). 11.2.2. Подведение функции под дифференциал (156). 11.2.3. Интегрирование по частям (156).
11.3.Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.Методические указания по решению задач. . . . . . . . . . . . .
11.5.Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . .
Л е к ц и я 12. Интегрирование дробно-рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1. Алгебраические многочлены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Многочлены с действительными коэффициентами.. . . . . . . .
12.3. Разложение рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4. Интегрирование дробно рациональных функций . . . . . . . . .
12.5. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . .
12.6. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1. Ответы (179).
130
130
131
135
137
139
140
140
142
147
150
152
152
154
158
158
164
168
168
169
170
175
177
179
Оглавление |
7 |
. . . . . . . . .Л е к ц и я 13. Некоторые способы интегрирования |
182 |
13.1. Интегрирование некоторых тригонометрических функций . . |
182 |
13.2. Интегралы от иррациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . |
184 |
13.3. Подстановки Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
185 |
13.4. Тригонометрические подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
186 |
13.5. Интегрирование биноминальных дифференциалов. . . . . . . . |
186 |
13.6. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
188 |
13.7. Методические указания по решению примеров . . . . . . . . . . |
188 |
13.8. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . |
194 |
Л е к ц и я 14. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
199 |
14.1. Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
199 |
14.2. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу. . . . . . . . . . |
200 |
14.2.1. Основные свойства верхних и нижних сумм. (201). |
|
14.3. Необходимые и достаточные условия интегрируемости . . . . |
203 |
14.4. Классы интегрируемых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
204 |
14.5. Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . |
205 |
14.6. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
207 |
Л е к ц и я 15. Оснвные свойства определенного интеграла и |
208 |
его приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
15.1. Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
208 |
15.2. Существование первообразной для непрерывной функции . . |
210 |
15.2.1. Основная формула интегрального исчисления (211). |
|
15.3. Замена переменных в определенном интеграле. . . . . . . . . . . |
212 |
15.4. Формула интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
212 |
15.5. Геометрические приложения определенного интеграла. . . . . |
213 |
15.5.1. Полярная система координат. (214). |
|
15.6. Вычисление длины кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
216 |
15.7. Вычисление объемов тел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
217 |
15.8. Методические указания по решению задач. . . . . . . . . . . . . |
219 |
15.9. Примеры для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . |
224 |
Л е к ц и я 16. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . |
227 |
16.1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. . . . |
227 |
16.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. . . |
228 |
8 |
Оглавление |
16.3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . |
230 |
|||||
16.4. Несобственные интегралы от неограниченных функций . . . |
232 |
|||||
16.5. Контрольные вопросы. . . . . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
234 |
|||
16.6. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . . |
235 |
|||||
16.7. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . |
237 |
|||||
16.7.1. Ответы (237). |
|
|
|
|||
Л е к ц и я 17. Двойные интегралы . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
238 |
||||
17.1. Определение и существование двойного интеграла . . . . . . . |
238 |
|||||
17.1.1. Существование двойного интеграла (239). |
|
|||||
17.2. Основные свойства двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . |
240 |
|||||
17.3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному |
241 |
|||||
17.4. Замена переменных в двойном интеграле. . . . . . . . . . . . . . . |
244 |
|||||
17.4.1. Цилиндрические координаты (245). |
|
|||||
17.5. Приложения двойного интеграла . . |
. .17.5.2.. . . . .Механические. . . . . . . . . . . |
246 |
||||
17.5.1. Вычисление |
объемов |
(246). |
|
|||
приложения |
(247). |
17.5.3. Вычисление площади поверхно- |
|
|||
ñòè (248). |
|
|
|
|
|
|
17.6. Контрольные вопросы. . . . . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
249 |
|||
17.7. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . . |
249 |
|||||
17.8. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . |
255 |
|||||
17.8.1. Ответы (256). |
|
|
|
|||
Л е к ц и я 18. Тройные и криволинейные интегралы . . . . . . . |
258 |
|||||
18.1. Тройные интегралы |
. . . . . . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
258 |
||
18.1.1. Вычисление тройного интеграла (259). 18.1.2. Заме- |
|
|||||
на переменных в тройном интеграле (260). 18.1.3. Механи- |
|
|||||
ческие приложения тройного интеграла (261). |
|
|||||
18.2. Криволинейные интегралы . |
. . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
262 |
|||
18.2.1. Способы |
вычисления криволинейных интегра- |
|
||||
ëîâ (263). |
18.2.2. Связь |
между |
криволинейными инте- |
|
||
гралами первого |
è |
второго |
рода (265). 18.2.3. Формула |
|
||
Грина (266). |
|
|
|
|
|
|
18.3. Методические указания по решению задач . . . . . . . . . . . . . |
267 |
|||||
18.4. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . |
270 |
|||||
18.4.1. Ответы (270). |
|
|
|
|||
Л е к ц и я 19. Криволинейные и поверхностные интегралы . . |
272 |
|||||
19.1. Интегралы не зависящие от пути интегрирования . . . . . . . . |
272 |
|||||
|
|
|
Оглавление |
|
|
|
|
9 |
|
19.2. Приложение криволинейных интегралов |
. . . . |
. . . . . . . . . . .19.2.2. Вычис- |
274 |
||||||
19.2.1. Вычисление площади фигуры. (274). |
|
||||||||
ление массы кривой |
(275). 19.2.3. Вычисление работы си- |
|
|||||||
ëû (275). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19.3. Поверхностные интегралы . . |
.(276). . . ... |
. .19.3.2.. . . . . Понятия. . . . . . . .ïî. -. |
276 |
||||||
19.3.1. Понятие |
поверхности. |
|
|||||||
верхностных интегралов и способы их вычисления (277). |
|
||||||||
19.3.3. Формула |
Остроградского (279). |
19.3.4. Формула |
|
||||||
Стокса (280). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19.4. Контрольные вопросы. . . . . . |
. . . . . . . |
. |
. . . . |
. . . . . . . |
. . . . |
281 |
|||
19.5. Методические указания по решению примеров . . . . . . |
. . . . |
281 |
|||||||
19.6. Примеры для самостоятельного решения . . . |
. . . . . . . |
. . . . |
284 |
||||||
19.6.1. Ответы (284). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ë å ê ö è ÿ 20. |
Элементы векторного анализа . . . |
. . . . . . . |
. . . . |
286 |
|||||
20.1. Основные понятия и определения. . . . |
. |
(289). . . . .. .20.1.2.. . . . . .Ñïå. . -. |
286 |
||||||
20.1.1. Основные формулы теории поля |
|
||||||||
циальные поля (290). |
|
|
|
|
|
|
|
||
20.2. Контрольные вопросы . . . . . . |
. . . . . . . |
. |
. . . . |
. . . . . . . |
. . . . |
290 |
|||
20.3. Методические указания по решению задач . . |
. . . . . . . |
. . . . |
291 |
||||||
20.4. Примеры для самостоятельного решения . . . |
. . . . . . . |
. . . . |
295 |
||||||
20.4.1. Ответы (296). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ë å ê ö è ÿ 21. |
Числовые ряды . . |
. . . . . . . |
. |
. . . . |
. . . . . . . |
. . . . |
297 |
||
21.1. Основные понятия и теоремы |
. .сходимости. . . . . . . . . . |
. ðÿäà. . . . . . |
(297). . . .. |
297 |
|||||
21.1.1. |
Критерий |
Êîøè |
|
||||||
21.1.2. Необходимое условие сходимости рядов (298). |
|
|
|||||||
21.2. Ряды с положительными членами. . . . |
21.2.2.. . . . . .Признак. . . . . . . Äà. . -. |
299 |
|||||||
21.2.1. Признаки |
сравнения |
(299). |
|
||||||
ламбера |
(300). |
21.2.3. Радикальный признак Коши |
(301). |
|
|||||
21.2.4. Интегральный признак Коши (302). |
|
|
|
||||||
21.3. Знакочередующиеся ряды. . . |
. . . . . . . |
(303). . . .. . |
.21.3.2.. . . . . .Услов. . . -. |
303 |
|||||
21.3.1. Абсолютная сходимость рядов |
|
||||||||
ная сходимость рядов (304). |
|
|
|
|
|
|
|||
21.4. Контрольные вопросы. . . . . . |
. . . . . . . |
. |
. . . . |
. . . . . . . |
. . . . |
305 |
|||
21.5. Методические указания по решению примеров . . . . . . |
. . . . |
306 |
|||||||
21.6. Примеры для самостоятельного решения . . . |
. . . . . . . |
. . . . |
308 |
||||||
21.6.1. Ответы (310). |
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
Оглавление |
Л е к ц и я 22. Функциональные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
311 |
22.1. Основные свойства равномерно сходящихся рядов . . . . . . . |
312 |
22.1.1. Почленный переход к пределу (312). 22.1.2. Почлен- |
|
ное интегрирование и дифференцирование рядов (314). |
|
22.1.3. Способы определения области сходимости (316). |
|
22.2. Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
317 |
22.2.1. Разложение функции в степенные ряды (318). |
|
22.3. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
319 |
22.3.1. Определение коэффициентов по методу Эйлера- |
|
Фурье (319). 22.3.2. Разложение функции с произвольным |
|
периодом (321). |
|
22.4. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
322 |
22.5. Методические указания по решению примеров . . . . . . . . . . |
322 |
22.6. Примеры для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . |
324 |
22.6.1. . Ответы (324). |
|
Введение
С внедрением новых образовательных стандартов, в университете произошли существенные изменения в математическом образовании инженеров. Существенно уменьшилось число аудиторных занятий, но перечень дидактических единиц остался прежним. Такая ситуация требует увеличения самостоятельной работы студентов. Поэтому необходима литература, обеспечи- вающая потребность студентов при таком подходе к изучению математики.
Предлагаемое учебно-методическое пособие включает конспект лекций, методические рекомендации по решению задач и примеры для самостоятельного решения по введению в математический анализ и дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных, интегральному исчислению и по теории числовых и функциональных рядов.
Теоретический материал построен в виде курса лекций. В конце каждой лекции имеется список контрольных вопросов. Отвечая на эти вопросы, студент сможет самостоятельно оценить, как усвоена им лекция. Освоив материал лекции, студент может ознакомиться с решениями задач и рекомендациями по их решению, после чего можно приступить к решению примеров, приведенных после каждой лекции.
Если после чтения теоретического материала и разбора решенных задач, у вас появилась уверенность, что вы уже этот материал освоили, то это ошибочное мнение. Простое чтение, в результате которого появляется кажущая уверенность в усвоении материала, не даст желаемого результата.
Для качественного изучения и освоения математики необходимо регулярно заниматься, так как математика требует систематических занятий. Кроме того, необходимо помнить, что для освоения математики нужно самостоятельно повторить доказательства утверждений и решить приведенные примеры.
При разработке данного учебно-методического пособия использованы книги, приведенные в списке литературы. Значок ¤
указывает на окончание доказательств.