Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 332 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Ë å ê ö è ÿ 1

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1. Комплексные числа 1.1.1. Понятие комплексного числа, различные формы

записи. Определение 1.1. ×èñëî z = x + yi , ãäå x è y любые действительные числа, а i = p¡1 так называемая мнимая

единица, называется комплексным числом.

Такая форма записи комплексного числа называется алгебра- ической. Действительные числа x è y называются действитель-

ной и мнимой частями комплексного числа z соответственно и обозначаются

x = Rez, y = Imz

Два комплексных числа x1 + y1i è x2 + y2i считаются равны-

ми, если у них равны действительные и мнимые части, т. е. x1 = x2, y1 = y2. Множество комплексных чисел будем обозна-

чать символом C. Если в декартовой системе координат по оси

абсцисс откладывать действительные части комплексных чисел, а по оси ординат их мнимые части, то каждому комплексному числу на плоскости, которую будем называть комплексной, будет соответствовать точка. Из рисунка видно, что положение комплексного числа на плоскости можно задать с помощью форму-

ëû


	z = rcos ' + ri sin '
	Эта форма записи ком-
	плексного	числа	называ-
	ется тригонометрической.
	является	p
	Число r = jzj =		x2 + y2
	плексного	модулем		êîì-
		числа.		Óãîë
Ðèñ. 1.1.	' называют аргументом

1.1. Комплексные числа	13
комплексного числа z	è

обозначают Arg z. Âåëè- ÷èíà Arg z многозначна и определена лишь с точностью до це-

приведенными формулами можно любое комплексное число, за-

данное в алгебраической форме записать в тригонометрической

форме.

Пример 1.1.

z = ¡

p3 . Вычислим модуль комплексного

числа r = p

1 + 3

= 2 Òàê êàê y < 0, то значение аргумента опре-

делим по формуле ' =

¼ 3

2¼ 3.

Тригонометрическая

форма

приведенного

= ¡¼ + / = ¡ /

записи

чисел,´

ñó-

Кроме приведенных форм

комплексного числа будет иметь вид z = 2

cos 23

¡ isin23

комплексных

ществует еще показательная форма. Воспользуемся формулами

Эйлера:

cos ' ¡ isin ' = e¡'i

cos ' + isin ' = e'i,

Тогда, имея

тригонометрическую

форму

комплексного

числа

z = r(cos' + isin '), получим z= re'i. Преобразуем комплексное

лого кратного числа 2¼. В качестве главного значения величины

Arg z выбирают значение, определенное неравенством

¡¼ 6 Arg z 6 ¼: Из определения аргумента следует: tg ' = xy ,

cos ' == x

sin ' = y

Arg z удобнее всего вычислять

r ,

Значение

åñëè y > 0,

по формуле ' = Arg z = ½

arccos (x/ ) ,

¡arccos(x/r) , åñëè y < 0: Пользуясь

число, полученное в примере 1.1 в тригонометрическую форму
			¼	¼		2¼		. Из школьного курса матема-
z = 2			cos 23	¡ isin23		= 2e¡ 3	i		+ bx + c =	0 имеет
òèêè	известно, что квадратное уравнение 2									0 имеет
òèêè		³			´			ax

два действительных корня, если дискриминант D = b2 ¡ 4ac > 0 и не имеет корней если, D < 0. Это было справедливо, так как в школе не изучаются комплексные числа. Если D < 0, то корни

тоже существуют, только они комплексные.

Пример 1.2. Найти корни уравнения x2 + 2x + 5 = 0. D =

=4 ¡ 20 = ¡16, x1,2 = ¡1 § 2i

1.1.2.Алгебраические операции над комплексными числами. Определение 1.2. Суммой комплексных чисел z1 = x + yi, z2 = a + bi называется комплексное число z =

= (x + a) + (y + b) i, ò:å: Rez = Rez1 + Rez2, Imz = Imz1 + Imz2

Так же, как и в области действительных чисел, нулем называется такое комплексное число z0 сумма которого с любым

= a + bi

14 Лекция 1. Введение в математический анализ

комплексным числом z равна этому числу z + z0 = z. Из опреде-

ления 1.3 следует, что z0 = 0 + 0i

Легко видеть, что при данном определении суммы комплексных чисел сохраняются переместительный и сочетательный законы сложения, т. е. z1 + z2 = z2 + z1 è z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2 ) +

+ z3

Определение 1.3. Произведением комплексных чисел z1 = = x + yi, z2 = a + bi называется комплексное число z такое,

÷òî Rez = xa ¡ yb, Imz = xb + ay

Иными словами умножение осуществляется, как умножение
двух сумм. Только следует принимать во внимание следующие
соотношения:	i2 = ¡1 i3 = ¡i, i4 = 1:

Пример 1.3. (2 + i) (3 ¡ i) = 2 ¢ 3 ¡ 2i + 3i ¡ i2 = 7 + i

Для операции умножение сохраняются переместительный и сочетательный законы, т. е. z1z2 = z2z1 è z1 (z2z3) = (z1z2 ) z3

Операция деления двух комплексных чисел z1 = x + yi, z2 =

z2 осуществляется следующим образом. Числитель и знаменатель дроби умножается на сопряженное комплексное число знаменателя, а затем выделяются действительная и мнимая части.

z1	=	(x + yi) (a ¡ bi)	=	(xa + yb) + i(ya ¡ xb)	=	xa + yb
z2		(a + bi) (a ¡ bi)		a2 + b2		a2 + b2

Пример 1.4. z1 = 3 ¡ 2i, z2 = 4 + i: Вычислить z2/z1

4 + i	=	(4 + i) (3 + 2i)	= 10 + i11:

3 ¡ 2i (3 ¡ 2i) (3 + 2i)			13 13

+ iya ¡ xb: a2 + b2

1.1.3. Возведение в степень и извлечение корня. Рассмотрим задачу возведение в степень с натуральным показателем комплексного числа. Запишем комплексноеn число в показатель- ной форме zn = rn(ei(Argz+2¼k)) = rnei(n'+2¼kn) Преобразуем

полученный результат в тригонометрическую форму

zn = rn (cos (n' + 2¼kn) + isin (n' + 2¼kn)) :

Так как число 2¼kn кратно числу 2¼, то пользуясь свойствами тригонометрических функций, получим окончательный результат

zn = rn (cos n' + isin n') :

1.1.

Комплексные числа

Пример 1.5. Вычислить

1 ¡ p

4. Определим модуль и аргу-

¡r =

¼³

мент комплексного числа

' =

arc cos

1 2

3 Тогда получим

Argz

. Ïðè-

нимая во внимание то, ¡÷òî

(cos 3

(

¼]

= ¡ / :

¡ isin

)

;

главное значение

2 ¡

воспользуемся 4формулами приведения, в результате чего полу-

÷èì

i =

(¡ cos

+ isin

)

Вывод формулы для извлечения корня с натуральным пока-

зателåì èç êîмплексного чèсла осуществëÿется аналогично.

pz =

pr (e

pr e

³n n

´ =

i(Argz+2¼k)

' + 2¼k

îò 0 äî n³

1, получим n значений

cos( n + 2n ) + isin ( n

+ +2n )

: Изменяя число k

¼k

корня. Геометрически это

означает, что на комплексной плоскости значения корня находят-

ся в вершинах правильного n угольника, вписанного в окруж-

ность радиуса

pr :

комплексного

числа ' = ¼/3,pr

1 + ip3

= 2. Тогда

Пример

1.6.

Вычислить

+ i

3 .

Äëÿ

подкоренí

îãî

= p

cos

+ i sin (

)

числам³0,

2¼k

число

. Приравнивая

1, 2, ïîлучим три значения коðня из комплексного

13¼

(cos

13¼

)

4³

числа:

+ i sin

=p2

cos

7¼

+ i sin

7¼

3 2

´p 8

. ´

= p2

cos

+ i sin

= p2

¡ cos (

) ¡ i sin(

)

Вычислить все значения

z = ¡

r =

' = ¼

Тогда

имеем

+ i sin

) Ïðè k = 0, 1, 2 получим

p¡8 = 2(cos

¼ + 2¼k

¼3

z1 = 2(cos

+ i sin

), z2 = 2(cos ¼ + i sin ¼),

2(cos 53

+ i sin 53

) =2(cos (

) ¡ i sin (

)):

Подставив

значения тригонометрических функций,

получим значения корня

в алгебраической форме:

p3 ,

z =

+ i

= ¡ z

¡ i

Определение 1.5. Два комплексных числа, имеющих одинаковые действительные части, а мнимые части равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку называют взаимно сопряженными.

Комплексные числа: z = x + yi, z = x ¡ yi являются взаимно сопряженными.

16	Лекция 1. Введение в математический анализ

Сопряженные комплексные числа обладают следующими свойствами.

1. Åñëè z действительное число, то z = z:

2. z1 + z2 = z1 + z2: 3. z1 ¢ z2 = z1 ¢ z2:

4. (zz12 ) = zz12 :

5. zn = zn:

Справедливость этих свойств доказывается непосредственной подстановкой. Первое свойство очевидно.

Докажем второе свойство. Пусть z1 = a + bi, z2 = c + di. Тогда

z1 + z2 = a + c + (b + d)i, z1 + z2 = a + c ¡ (b + d)i = a ¡ bi + c ¡

¡di. Аналогично доказываются другие свойства.

1.2.Числовые последовательности.

1.2.1.Предел числовой последовательности. Определение 1.5. Если каждому числу n 2 N натурального ряда

чисел ставится в соответствие по определенному правилу некоторое вещественное число xn 2 R, то множество зануме-

рованных вещественных чисел x1, x2, ¢¢¢ , xn, ¢¢¢ , называется числовой последовательностью.

Для краткости будем обозначать ее символом fxng

Определение 1.6. Число а называется пределом последовательности fxng, если для любого сколь угодно малого числа

" > 0 существует число N > 0 такое, что при выполнении

неравенства n > N справедливо условие jxn ¡ àj < "

Условное обозначение

a = nlim!1 xn:

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся.

Запишем это определение, используя обозначения: 8 озна- чает любой или для любого, 9 соответствует словам: суще-

ствует или найдется.

Число à называется пределом последовательности fxng, åñëè

8" > 0 9N > 0: n > N =) jxn ¡ àj < ".

В дальнейшем будем использовать сокращенные формы запи-

¯n ¡

n!1 n

числа.

, где символ

означает целую¯

часть¯

ñè.

Пример 1.7. lim

= 0, òàê êàê

< " ïðè n > N =

d e

		1.2. Числовые последовательности.								17
			n + 1		¯	n + 1			¯
Пример 1.8. lim			n	= 1, òàê êàê	¯	n	¡	1	¯	1 < " ïðè
1		n!1	n		¯	n	¡		¯	= n
"	m				¯				¯
l	m

n > N =

Введем понятия арифметических операций для числовых последовательностей. Пусть даны последовательности fxng è fyng. Тогда суммой, разностью, произведением, частным будем называть последовательности: fxn + yng, fxn ¡ yng, fxnyng, fxn=yng

соответственно. В последнем случае yn =6 0, 8n 2 N:

Определение 1.7. Последовательность fxng называется ограниченной снизу (сверху), если 9m 2 R(9M 2 R) такое, что

äëÿ 8xn выполнено условие xn > m, (xn 6 M)

Ïðè ýòîì M è m называются верхней и нижней граня-

ми последовательности. Минимальное значение величины M

называют точной верхней гранью, а максимальное значение величины m называют точной нижней гранью и обозначают

M = sup xn, m = inf xn соответственно.

Из этого определения следуют два свойства точных граней.

Åñëè

A =

sup x , òî

A (B = inf x

n >

n 6

n 8

8" > 0 9N > 0 : xN > A ¡ " (xN < A ¡ ", åñëè A > 0,

xN < A + ", åñëè A < 0):

Если последовательность ограничена сверху и снизу, то ее называют ограниченной.

Определение 1.8. Последовательность fxng называется ограниченной, если 9A > 0 такое, что для 8n выполнено усло-

âèå jxnj 6 A:

Определение 1.9. Последовательность fxng называется неограниченной, если 8A > 0, 9xi 2 fxng : jxij > A:

Определение 1.10. Последовательность fxng называется бесконечно большой, если для 8A > 0 9N > 0 : n > N =) jxnj >

> A

Определение 1.11. Последовательность f®ng называется

бесконечно малой, если для 8" > 0, 9N > 0 : n > N =) j®nj < "

Будем бесконечно малые последовательности обозначать гре- ческими буквами. Определение 1.7 означает, что пределом бесконечно малой последовательности является ноль т. е. nlim!1 ®n = 0

1.2.2. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. Теорема 1.1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.

18	Лекция 1. Введение в математический анализ


Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем две последова-
тельности f®ng, f¯ng		"По определению 1.11 8" > 0, 9N1 > 0," :
n > N1 =) j®nj <			, è 9N2 > 0 : n > N2 =) j¯nj <						.
		2						2
Тогда при n > N, ãäå N = max(N1, N2), имеем							следующую
		"				"
цепочку неравенств j®n § ¯nj 6 j®nj + j¯nj <					+		= ", откуда
				2		2
следует справедливость первого свойства.¤
Аналогичным образом доказываются следующие свойства.
Теорема 1.2.	Произведение бесконечно малых последова-
тельностей является последовательностью бесконечно ма-
ëîé.	Произведение ограниченной последовательно-
Теорема 1.3.
сти на бесконечно малую последовательностью есть последо-
вательность бесконечно малой.
Теорема 1.4.	Бесконечно малая последовательность огра-
ничена		л ь с т в о. Пусть f®ng
Ä î ê à ç à	ò å						бесконечно

малая последовательность. Тогда, начиная с некоторого числа N выполнено неравенство j®nj < " Обозначим через B íàè-

большее их следующих чисел: ", j®1j , j®2j , ... , j®n¡2j , j®n¡1j. В этом случае j®nj < B äëÿ 8n что означает ограниченность последовательности.¤

С л е д с т в и е 1. Алгебраическая сумма любого конечного

числа бесконечно малых последовательностей является беско-

нечно малой последовательностью.

С л е д с т в и е 2. Произведение любого конечного числа

бесконечно малых последовательностей является бесконечно ма-

лой последовательностью.

Теорема 1.5.

Если все элементы бесконечно малой после-

довательности отличны от нуля

(®n 6=

0 äëÿ

8n)

, то последо-

вательность

бесконечно большая.

®n

Åñëè

последовательность

®n

бесконечно большая, то

последовательность

является бесконечно малой.

®n

с т в о. Пусть

f®ng бесконечно большая.

Ä î ê à ç à ò å ë ü n

По определению 1.10 для 8A > 0 9N > 0: n > N =)

j®nj > A.

. Тогда

= "

. Имеем, что

8" >

9N >

j®nj <

Пусть " = À

n > N =)

< " Следовательно, в соответствии с опре-

j®nj

1.2. Числовые последовательности.				19
малой. ¤	n	1
		®n o
делением 1.11, последовательность			является бесконечно

1.2.3. Свойства сходящихся последовательностей. Лемма 1.1. Для того чтобы число b было пределом последова-

тельности fxng необходимо и достаточно, чтобы было спра-

ведливо равенство xn = b + ®n, ãäå f®ng бесконечно малая последовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть nlim!1 xn = b Обозначим ®n = xn ¡ b. По определению 1.6, nlim!1 xn = b, åñëè 8" > 0 9N > 0: n > N =) jxn ¡ bj < ". Тогда в соответствии

с определением 1.11 последовательность ®n = xn ¡ b является бесконечно малой, т. е. xn = b + ®n

Достаточность. Пусть xn = b + ®n, ãäå f®ng бесконечно малая последовательность, b число. Тогда по определению 1.11

äëÿ 8" > 0 9N > 0: n > N =) jxn ¡ b j < ". Это означает, что

nlim!1 xn = b:¤

Теорема 1.6. Если последовательности fxng fyng сходящиеся, то последовательности fxn § yn g тоже сходятся. Кроме того, если nlim!1 xn = a, nlim!1 yn = b, òî

nlim (xn § yn) = nlim xn § nlim yn = a § b
!1	!1	!1

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с леммой 1.1, имеем
xn = a + ®n, yn = b + ¯n: Тогда xn § yn = (a § b) + (®n § ¯n):
Последовательность (®n § ¯n) является			бесконечно	малой
(см. теорема 1.1). По определению	1.11	äëÿ 8" > 0 9N > 0:
n > N =) jxn § yn ¡ (a § b) j	<	",	откуда	следует
nlim (xn § yn ) =a § b: ¤
!1
Теорема 1.7. Если последовательности fxng fyng сходящи-

еся, то последовательность fxnyn g тоже сходится. Кроме того, если nlim!1 xn = a, nlim!1 yn = b, òî

nlim (xnyn) = nlim xn ¢		nlim yn = ab:
!1	!1	!1

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с леммой 1, имеем

xn = a + ®n, yn = b + ¯n: Тогда xnyn = (a + ®n)(b + ¯n) =

=(ab) + xn¯n + yn®n + (®n¯n): В соответствии с теоремами

1.2и 1.3, последовательности xn¯n, yn®n, ®n¯n является беско- нечно малыми. Тогда получаем

lim (xnyn) = lim xn ² lim yn = ab:¤

n!1 n!1 n!1

20 Лекция 1. Введение в математический анализ

Лемма 1.2. Если последовательность fxng сходящаяся и

имеет конечный предел a 6= 0,1то с некоторого номера опре-

делена последовательность

o, которая является ограни-

ченной.

. Последовательность

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть " =

fxng сходящаяся. Поэтому,

начиная с некоторого номера

¯a

¯= a

цепочку равенств и неравенствj

xn+xn

j¯ j

j ¡

j 6 j ¡

выполнено неравенство

a ¡ xnj <

. Тогда, имеем следующую

+ jxnj < ¯

, откуда¯ ¯

следует справедливость

¯ + j1nj ) j

утверждения¯ ¯

a .

Теорема 1.8. Если последовательности fxng , fyng

сходя-

щиеся , nlim!1 xn = a, nlim!1 yn = b 6= 0, òî

lim

n!1

n!1 yn

lim

n!1

Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с леммой 1.1,

имеем

xn = a + ®1 n, yn = b + ¯n, а лемма 1.2 гласит, что последова-

тельность

является ограниченной. Покажем, что последо-

вательность n

o бесконечно малая.

=xnb ¡ yna

=(a + ®n)b ¡ (b + ¯n)a= 1

a¯

n´

ynb

Последовательность

®n

¯n

¡ b

o бесконечно малая (теоремы

1.1 è 1.2), à

ограничена. (лемма 1.2). Тогда, последова-

тельность n

o бесконечно малая. Следовательно,

lim

:¤

lim

n!1

n!1 yn

lim

n!1

Теорема 1.9. Если последовательность fxng сходящаяся, то она имеет только один предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательность fxng имеет два предела a è b. Тогда xn = a + ®n, xn =

= b + ¯n, ãäå ®n è ¯n элементы бесконечно малых последо-

n > N,

1.2.4. 1.11. Åñëè

1.2. Числовые последовательности.

вательностей. Из данных соотношений имеем ®n ¡ ¯n = a ¡ b. f®n ¡ ¯ng бесконечно малая, а величина a ¡ b постоянная. Следовательно, a ¡ b = 0:¤

Теорема 1.10. Если последовательность fxng сходящая-
ся, то она ограничена.				ë ü ñ ò	в о. Из условия теоремы
Ä î	ê à	ç à ò	å	ë ü ñ ò	в о. Из условия теоремы
и леммы	1.1	имеем	xn	= a + ®n	Так как последовательность

f®ng бесконечно малая, а a величина ограничена имеем

9A > 0 8n : jxnj 6 jaj + j®nj < jaj + A: ¤

Предельный переход в неравенствах. Теорема nlim!1 xn = A , и начиная с некоторого номера N,

выполнено неравенство xn > a ïðè òî A > a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем доказывать от противного. Пусть A < a. Возьмем " = a ¡ A. Тогда (определение 1.6)

9N > 0: n > N =) jxn ¡ Aj < a ¡ A откуда следует xn < a. Противоречие доказывает справедливость утверждения теоремы.

С л е д с т в и е 1. Если, начиная с некоторого номера N, элементы сходящихся последовательностей fxng fyng удовле-

творяют неравенству xn > yn, òî nlim!1 xn > nlim!1 yn

С л е д с т в и е 2. Если элементы сходящейся последовательности fxng находятся на сегменте [a, b], òî nlim!1 xn 2 [a, b]

Теорема 1.12. Предположим, что последовательности fxng , fyng сходящиеся и nlim!1 xn = nlim!1 yn = a, а начиная

с некоторого номера N элемента последовательности fzng

удовлетворяют неравенству xn < zn < yn, тогда nlim!1 zn = a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы имеем

8" > 0, 9N1 > 0 : n > N1 =) jxn ¡ aj < " è , 9N2 > 0:

n > N2 =) jyn ¡ aj < ". Принимая во внимание неравенство xn < zn < yn, получим xn ¡ a < zn ¡ a < yn ¡ a. Если взять N = = maxfN1, N2g, òî ïðè n > N будем иметь jzn ¡ aj < ", откуда следует справедливость теоремы.¤

1.2.5. Монотонные последовательности. Определение 1.12. Последовательность fxng называется неубывающей (невозрастающей), если каждый член этой последовательности, начиная со второго, не меньше (не больше) предыдущего. Иными словами, для всех номеров n справедливо неравенство

xn 6 xn+1

(xn > xn+1) Если выполняются строгие неравенства xn <

< xn+1

<<< < Предыдущая 12 / 332 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб18L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб48makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб10Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб6marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб5Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб18matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб33matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб14meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб17mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб98MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб6MetodDB.pdf