Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

172 Лекция 12. Интегрирование дробно-рациональных функций

многочлен P (x) с вещественными коэффициентами такие,

÷òî	Bm(x)	Nx + N		P (x)
							Dn¡2r(x),
		= ¡x2 + px + q¢r +	¡	x2 + px + q	¢	r¡1
	An(x)

P (x)

где дробь ¡x2 + px + q¢r¡1 Dn¡2r(x) является правильной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Принимая во внимание (12.5), можно записать

Bm(x)

x2 + px + q r Dn 2r(x):

An(x)

¢Nx +¡N

Прибавим и вычтем выражение

¡x2 + px + q¢

в правой части

данного равенства

Bm(x)

An(x)

Nx + N

¢Nx + N¡

Bm(x)

Nx + N

+ Bm(

¡n¡ r

x2 + px + q

r +

x2 + px + q

Dn¡2r(x)

x2 + px + q

r ¶ =

¡x2 + px + q¢r

x) (Nx + N)D 2 (x)

Дробь

¡x2 + px + q¢r Dn¡2r(x)

Bm(x) ¡ (Nx +rN)Dn¡2r(x)

является правильной.¡

Выберем

x2 + px + q Dn¡2r(x)

числа

так, чтобы чис-

ëî

z = ® + i¯,

а следовательно, и

число

z = ® ¡ i¯

были корнями уравнения Bm(x) ¡ (Nx + M)Dn¡2r(x) = 0. Тогда из уравнения Bm(z) ¡ (Nz + M)Dn¡2r(z) = 0 получаем Nz + M = Bm(z)=Dn¡2r(z). Выделим действительную и мнимую части комплексного числа Bm(z)=Dn¡2r(z) = C + iK. Тогда получим N(® + i¯) + M = C + iK откуда получаем систему

уравнений для определения коэффициентов N è M

½ N® + M = C,

N¯ = K:

Решая эту систему уравнений, получим N = K=¯, M = (C¯ ¡ ¡ K®)=¯ Тогда будет справедлива следующая цепочка равенств

n r

¡+ px + q

¢ n r

x2 + px + q P (x)

Bm(x) ¡ (Nx +rN)Dn¡

r(x)

(x)

x2 + px + q D

12.3. Разложение рациональных дробей

173

P(x)

¡¡x2 + px + q¢r¡1 Dn¡2r(x):¤

Докажем теорему с упрощенными условиями.
Теорема 12.5. Пусть	Bm(x)
	An(x)	правильная дробно рациональ-
ная функция с вещественными коэффициентами. An(x) =
= (x ¡ ®)r x2 + px + q g ,	r + 2g = n Корни двучлена x2 + px + q

комплексные. Тогда справедливо следующее разложение

Bm(x)

Njx + Mj

An(x)

(x ®)i

j=1

x + px + q

X ¡

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим лемму 12.1

Bm(x)

¯r(x)

An(x)

(x ¡ ®)r

(x ¡ ®)r¡1

¡x2 + px + q¢g

Так как вторая дробь в правой части правильная, применяем к ней лемму 12.1

¯r(x)		Ar¡1		¯r¡1(x)
	=		+		:
(x ¡ ®)r¡1 ¡x2 + px + q¢g		(x ¡ ®)r¡1		(x ¡ ®)r¡2 ¡x2 + px + q¢g

Продолжаем эту процедуру до тех пор пока не получим следующую формулу

Bm(x)	r	Ai			¯1(x)
	=		+	¡		¢	g :
An(x)		(x ®)i			x2 + px + q
	=1
		¡
	Xi

Далее аналогичным образом применяя лемму 12.2 к правильной
дроби	¡	¯1(x)	g получим утверждение теоремы.¤
		x2 + px + q
			¢Разложить на простые слагаемые дробь
Пример 12.2.

	x + 1	:
	(x ¡ 2)2 (x ¡ 1)	:
	(x ¡ 2)2 (x ¡ 1)

В данном случае имеем корни: x = 2 имеет кратность равную двум и корень x = 1. Потому разложение будет иметь вид

x + 1	=	A1	+		A2	+		A3	:
(x ¡ 2)2 (x ¡ 1)		(x ¡ 2)2		x ¡ 2			x ¡ 1

174 Лекция 12. Интегрирование дробно-рациональных функций

Теперь необходимо определить неизвестные коэффициенты. Приводим правую часть к общему знаменателю

x + 1	=	A1 (x ¡ 1) + A2(x ¡ 2)(x ¡ 1) + A3 (x ¡ 2)2
(x ¡ 2)2 (x ¡ 1)		(x ¡ 2)2 (x ¡ 1)

Тогда получаем следующее полиномиальное равенство

A1 (x ¡ 1) + A2(x ¡ 2)(x ¡ 1) + A3 (x ¡ 2)2 = x + 1:

Классический способ решения этого уравнения состоит в том, что необходимо раскрыть скобки и составить систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях.

(A2 + A3)x2 + (A1 ¡ 3A2 ¡ 4A3)x + (¡A1 + 2A2 + 4A3) = x + 1:

Есть другой способ, основанный на следующих рассуждениях. Так как полиномиальное равенство должно быть справедливо для любых значений аргумента x, то можно задать некоторые

значения x, и составить уравнения для определения неизвестных

коэффициентов. При этом можно эти значения выбрать так, чтобы получалась простая система уравнений.

x = 1 =) A3 (¡1)2 = 2 =) A3 = 2; x = 2 =) A1 = 3 : Ïðè-

равниваем коэффициенты при x2

A2 + A3 = 0 =) A2 = ¡A3 = ¡2:

Таким образом получили следующее разложение дроби

x + 1

(x ¡

2 2

) (x ¡

)

(x ¡

)

Пример 12.3. Разложить на простые слагаемые дробь

x2 + 1

¡x2 + 2x + 2¢(x ¡ 1):

В данном случае имеем корни: x = 1, x = ¡1 + i, x = ¡1 ¡ i Потому разложение будет иметь вид

x2 + 1	=	A	+	Nx + M	:
¡x2 + 2x + 2¢(x ¡ 1)
		x ¡ 1		x2 + 2x + 2

Приводим к общему знаменателю и выписываем числитель, приравняв его к исходному числителю заданной дроби

¡x2 + 2x + 2¢A + (x ¡ 1) (Nx + M) = x2 + 1:

12.4. Интегрирование дробно рациональных функций

175

Один коэффициент находится легко. x = 1 =) 5A = 2 =) A = = 2=5: Раскроим скобки

(A + N)x2 + (2A + M ¡ N)x + (2A ¡ M) = x2 + 1:

Получаем A + N = 1 =) N = 1 ¡ 2=5 = 3=5; 2A ¡ M = 1 =) ) M = 2A ¡ 1 = 4=5 ¡ 1 = ¡1=5:

12.4. Интегрирование дробно рациональных функций

Простейшими дробно рациональными функциями называют-

ся правильные дроби вида:

M x + N

, m 2 Z, m > 1, III.

, II.

a)m

+ p x + q

M x + N¡

IV.

, n 2 Z, n > 1, p2 ¡ 4 q < 0.

(x2 + p x + q)n

Первые три типа интегрируются достаточно легко

d x = A

d(x ¡ a)

= A ln x a + C.

j ¡ jA

R x ¡ A

¡d(x

d x = A

+ C

II.

R (

a)m

m 1

III.

(M¡ x + N)

(M x +(N)¡ m) ¢ (x ¡ a)

d x =

dx =

R x + p x + q

x +

+ q ¡

³p

z = x +

, a2 = q ¡

x = z

¡ 2

, dx = dz

= Z

M (z

) + N¯

dz = M Z

zdz

¡ 2

+ N ¡ M

z2 + a2

ln z2 + a2

arctg

+ C, åñëè a2 > 0,

´ p

,åñëè 2

ln z

+¯

a + N

+ C

a <

z + a

z = x¯

³p

Подставив

, получим ответ.¯

(M x + N)

(2x + p) + N ¡

IV.

d x =

(x2 + p x + q)

(x2 + p x + q2)

2x + p

d x

d x + N ¡

2 + p x + q)n

(x2p x + q)n

+ p x + q)

R d (x

(x2 + p x + q)n

176	Лекция 12. Интегрирование дробно-рациональных функций
+	³N + 2	´	¢ R		x + p		2 + q ¡ p2			n :
	MP						d x
				·	2	´	µ	4	¶¸
			³			´

Видно, что первый интеграл табличный, а для второго, когда

> 0 выведем рекуррентную формулу, введя обозначения

q ¡

z = x + 2, a2 = q ¡

4 . Обозначим Jn = R ¡z2 + a2¢n .

u = z2 + a2 n dv = dz

du =¡

2¢

z + a

v = z

¡ z2 + a2

= z2 + a2 n + Z

n Z

z2 + a2

n+1

= z2 + a2 n

z2 + a2

¡n+1 dz =

nz dz¯

(z +¯a )

¡ 2na2 Z

z2 + a2

n + 2n Z

z2 + a2

z2 + a2 n+1 :

Принимая во внимание обозначения

= R

z2z+ a2

n ,

Jn+1 = R

z2 + a2

n+1 , получим

n¢ + 2nJn

2na2Jn+1, откуда получаем рекур-

z2 + a2

рентную

формулу

Jn+1 =

n + 2n ¡ 1Jn:

2na2

z2 + a2

+ 1 = 3. Пользуемся

Пример 12.4.

Вычислить

. В данном случае a = 2, n +

x2 + 4

рекуррентной формулой

Z ¡x2 + 4¢3 = 16

¡x2 + 4¢

+ 16 Z ¡x2 + 4¢2 :

К интегралу формулу, где

¡ dx ¢2 x2 + 4

в правой части снова применяем рекуррентную

n + 1 = 2

= 8

x2 + 4

+ 8

Z x2 + 4

= 8

x2 + 4

+ 16arctg 2

12.5. Методические указания по решению задач

177

Подставив это значение в первую формулу, получим

2 +

¡x2 + 4¢

= 16

¡x2 + 4¢

+ 124

¡x2 + 4¢ +

256arctg

Более сложные функции интегрируются путем разложения подынтегральных функций на простые слагаемые. Следует особо отметить, что дробно рациональные функции должны быть правильными.

12.5. Методические указания по решению задач

Решение.

x3 + x + 2

d x.

Пример 12.5 Вычислить

x3 ¡ 7x2 + 12x

Подынтегральная

дробь неправильная,

поэтому

разделим числитель x3 + x + 2 на знаменатель x3 ¡ 7x2 + 12x:

x3 + x + 2

x3 ¡ 7x2 + 12x

¡ x3

7x2 + 12x

x +

Таким образом,

x3 + x + 2

= 1 +

7x2 ¡ 11x + 2

x3 ¡ 7x2 + 12x

x3 ¡ 7x2 + 12x.

Разложим знаменатель на множители

x3 ¡ 7x2 + 12 x = x (x2 ¡ 7x + 12) = x (x ¡ 4) ¢ (x ¡ 3):

Z x3 ¡ 7x2 + 12x

Z µ

x (x ¡ 4) (x ¡ 3)

x3 + x + 2

d x = 1 +

7x2 ¡ 11 + 2

d x = d x+

7x2 ¡ 11x + 2

d x =

7x2 ¡ 11x + 2

x (x ¡ 4) (x ¡ 3)

x ¡ 4

x ¡ 3

·x (x ¡ 4) (x ¡ 3)

Приведем к общему знаменателю и приравняем числители или умножая обе части равенства на x (x ¡ 4) (x ¡ 3), получим

7x2 ¡ 11x + 2 = A (x ¡ 4) (x ¡ 3) + B x (x ¡ 3) + C x (x ¡ 4):

Найдем коэффициент A, B è

C используя частные значе-

íèÿ

x = 0, x = 4,

x = 3

корни знаменателя. При

x = 0,

= ¡

, ò.å.

1. Ïðè

x =

4, 70

, ò.å.

B =

35. Ïðè

A = ¡6

x =

= ¡3 C ,

ò.å: C = ¡ 3 i

3 , 32

178	Лекция 12. Интегрирование дробно-рациональных функций
	= x + R ³¡6x +		2 ¢ x ¡ 4 ¡ 3					¢ x ¡ 3´ d x =
		1	35	1			32		1
	1		35	35			32	4		32	3
	1			35				4		32	3
	= x ¡ 6	ln j x j +		2		ln j x ¡			j ¡	3 ln j x ¡		j + C:
		Вычислить			R	1		d x.
	Решение.				R
Пример 12.6.							x4 ¡ x2

Подынтегральная функция правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители:

x4 ¡ x2 = x2(x2 ¡ 1) = x2(x ¡ 1) (x + 1):

Знаменатель имеет два действительных корня x = 0, один действительный корень x = 1 è îäèí x = ¡1. Поэтому

1		=	A	+	B	+	C	+	D	:
x2(x ¡ 1) (x + 1)			x		x2		x ¡ 1		x + 1

Умножим обе части равенства на x2(x ¡ 1) (x + 1), получим

1 = A x (x ¡ 1) (x + 1) + B (x ¡ 1) (x + 1)+ +C x2(x + 1) + D x2(x ¡ 1):

Найдем коэффициенты комбинированным методом.

Ïðè x = 0, 1 = ¡B, ò.å. B = ¡1. Ïðè x = 1, 1 = 2 C, ò.å.

C = 1.

Ïðè x = ¡1, 1 = ¡2 D, ò.å. D = ¡1. 2

Осталось найти коэффициент A. Для этого сравним коэф-

фициент при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства. Коэффициент при x3 в левой части равен нулю (x3 в левой части равенства отсутствует), а в правой A + C + D.

Получим

A = ¡ (C + D) = ¡ ³

´ =

A + C + D =

2 ¡

Z x2(x ¡ 1) (x + 1) = Z

³¡x2 + 2 ¢ x ¡ 1 ¡ 2 ¢ x + 1´ d x =

d x

x 2

j ¡ j ¡ 2

x + 1

x 7

x ¡ 1

+ C:

= 1 + 1 ln x 1 1 ln x + 1 + C = 1 + 1 ln

Пример 12.7 Вычислить

d x.

Решение.

x3 ¡ x2 + 5x ¡ 5

Подынтегральная функция правильная рацио-

нальная дробь. Разложим знаменатель на множители:

x3 ¡ x2 + 5x ¡ 5 =

¡x3 ¡ x2

+ (5x ¡ 5) =

12.6. Примеры для самостоятельного решения

179

Знаменатель имеет деéствительный корень x¡= 1 è

¢комплексно-

= x2 (x ¡ 1) + 5 (x ¡ 1) = (x ¡ 1) x2 + 5 :

сопряженные

. Поэтому разложение на элементарные

x = §

i 7

+ B x + C

дроби имеет вид

x ¡

(x ¡ 1) (x2 + 5)

x ¡ 1

x2 + 5 . Умножим обе

части равенства на (x ¡ 1) (x2 + 5) получим

Найдем

A B¢

x ¡ 7 = A x2 + 5 + B x (x ¡ 1) + C (x ¡ 1) :

коэффициенты

комбинированным методомэ При

x = 1, ¡6 = 6 A, ò.å. A = ¡1. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства.

Ïðè x2 имеет 0 = A + B, ïðè x1 имеет 1 = ¡B + C. A + B =

= 0, B = ¡A, ò.å. B = 1. C ¡ B = 1,

C = B + 1, ò.å. C = 2.

Èòàê,

Z µx ¡ 1

x2 + 5¶

Z (x ¡ 1) (x2 + 5)

x ¡ 7

d x =

¡1

x + 2

d x =

= ¡ Z x ¡ 1 + Z

x2 + 5 d x = ¡ ln j x ¡ 1 j + 2

Z x2 + 5 +

x2 + 5 =

d x

x + 2

2 x d x

d x

= ¡ ln j x ¡ 1 j + 2 ln ¯x +

¯ + p5

arctg

p5 + C:

12.6. Примеры для самостоятельного решения

(x ¡ 1)dx

(2x + 3)dx

x2 + 6x + 8 .

x3 + x2

2x.

(x2 + x ¡ 1)dx

x2dx¡

x4dx¡

6x .

5x3¡+ 9x2 ¡ 22x ¡ 8dx.

x3 + x2

4x + 3.

(3x 1)dx

x2 + 2x + 6

(x2 ¡ 1)(x + 2).

x3 ¡ 4x

R xx5¡+ x4

(2¡x2

5)dx

dx.

3 4x2 + x + 6.

7x2 + 14x 8

9. R

x3 ¡ 4x

R x4 ¡ 5x2 + 6.

dx.

10.

180 Лекция 12. Интегрирование дробно-рациональных функций

13.

R (3x + 2)dx

x3 + 1

dx.

11.

(x ¡ 8)dx

(x + 5)(x ¡ 3)2 .

12.

x3 ¡ 4x2 + 4x.

x(x

+ 1)3 .

14.

x(x

1)3

¡ y2dy

15.

x2dx

2 2

(x +

4 2 .

16.

3 + 5y2 + 8y + 4.

(x +dx)

)

R y x2dx

17.

18.

9)dx

x + 2 dx

(7x3

5 x

19.

20.

x .

2 .

21.

2x2¡

3x + 1

R x3 +¡ x + 1

dx.

22.

dx.

8x2 + 16

23.

dx.

24.

dx.

3 + 1

25.

xxdx

(3¡x ¡ 7)dx

4 + 6x2 + 5.

26.

2 + 4x + 4.

R x

z2dz

R x

+ x dx

27.

3x + 1dx.

30.

x3 + 3x2 ¡

3x3 ¡ x2 ¡ 4x + 13dx.

z4 + z2 ¡ 2.

28.

(x2 + 2)(x ¡ 1)2 .

29.

1 2 x2 + 1)

x2(x2

4x + 13)

31.

(x +x ) (3

R x(x2 ¡ 6x + 13)

R x3 ¡ 8.

dx.

32.

12.6.1.

Ответы.

+ C.

(x + 2)3=2

1) =

(x + 4)5=2

3=2

2 1=6

3)9

3. ln 6 x(x

¯ 2)3(x + 3)2 + C. 4. x + 1 ln

+ C.

(x +

)

¯x

x2 p

2x + 1 ln

+ 16 ln

x + 2

+¯

5. 2 ¡

¯(x + 1)3

6. 5x + ln

x2(x

¯2)3(x + 2¯)4

+ C. 7. ln

(x + 1)1=3(x

2)5=3

+ C.

¡¯

)

8. ln

(x ¡

)(x ¡

+ C.

2)7

¯x2(x

2)5

+¯

+ 4x + ln

+ C.

¯¯

9. 3

(x + 2)3

12.6.

Примеры для самостоятельного решения

181

x ¡ p

10.

+ C.

¯x + p2

¯x + p3

2p2

2p3

2)2

x¯

+ 5

11.

¯C. 12.

+ ln

+ C.

x¯

¯8(x

2¡

14. Ñ

1 2

x +¯

)

13.

+¯ln

+ C

+ ln

(x + 1)2

¡ (x

1)2

(x +

)

j j

15.

5x + 12

+ ln

x + 4

+ ln y + 1

+ C.

³x

+ 2

¡ x

x +

16.

2 j

17.

1 ln

x ¡

+ C.

18.Ñ

x +

¯x ¡ 2

¢ x(x ¡ 2)

4 4

12(x ¡ 1)4

19.

+ C

1 3

¡ x

¯ (x ¡

5 ln¡x + 20 ln x 3

47 ln x 2 + C.

¯20.

j ¡ j ¡ 4

j ¡ j

¡ 4 j j

21. x + 1 + ln

(x ¡ 1)2

+ C.

22.

jxj

127

129

¡ 16(x ¡ 2) +

ln jx ¡

j + 16(x + 2)

ln jx +

+ 2j + C.

x + 1

23.

2 ln jx + 1j ¡ p23

arctg

2 p

+ C.

1 arctgx

24.

ln jx ¡

j +

ln jx +

j +

9 ln(x

) ¡

+ C.

108

x2 + 1

x2 + 4

25.

1 ln

+ C. 26. ln

+ 1arctg

+ C.

x2 + 5

(x + 1)2

27.

1 ln

z ¡

+ C.

28.

1 ln

¯z + 1

arctgp2

(x ¡ 1)2

arctg

¡ 9p2

3¯

+ C

p2 ¡

(x ¡

)

2arctg

. 30. Ñ

29.

Ñ ¡ x + 1 +

) ¡

2 ln(x

¡ x

2 ln jx

4x + 13

+ 4arctg

x ¡ 2

x ¡ 3

31.

ln(x2

6x + 13)

ln x

arctg

+ C.

j j

x + 1

32.

j ¡

ln(x2 + 2x + 4)

arctg

+ C.

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб18L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб48makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб10Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб6marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб5Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб18matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб33matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб14meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб17mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб98MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб6MetodDB.pdf