matanaliz

262 Лекция 18. Тройные и криволинейные интегралы

Кинетические моменты инерции относительно осей координат можно вычислить, используя следующие формулы:

Jx = ZZZ ¡y2 + z2¢¹(x, y, z)dxdydz, Jy = ZZZ ¡x2 + z2¢¹(x, y, z)dxdydz,

V V

Jz = ZZZ ¡y2 + x2¢¹(x, y, z)dxdydz:

V

18.2. Криволинейные интегралы

Пусть на плоскости задана кривая L,

не имеющая точек пересечения и самоналегания, рис. 18.4, кривая AB

Предположим, что кривая определяется в параметрической форме с помощью уравнений: x = '(t), y = Ã(t),

t 2 [a, b]: Будем считать, что вдоль

этой кривой определены и непрерывны Ðèñ. 18.4. функции: f(x, y), P (x, y), Q(x, y): Разобьем êðèвую произвольным образом на n

участков точками Это разбиение обозначим сим-

волом Tn. На каждом учàñòêе возьмем произвольные точки с

координатами (xi, yi), i = 0, n каждой из которых соответствует параметр

ãäå ¢l = maxf¢l1, ¢¢¢ , ¢lng, независящие от способа раз-

биения Tn и выбора точек с координатами (xi, yi), то эти пределы называются криволинейными интегралами и обозна- чаются Z

1: lim J1(f) = f(x, y)dl:

4l!0

называют общим криволинейным интегралом второго рода. Анализируя интегральные суммы, можно сделать вывод о

том, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования. Интегралы второго рода при изменении направления интегрирования меняют знак на противоположный. Это связано с тем что переменные ¢xi, ¢yi изменяют знак при изменении направления интегрирования.

Особо следует оговорить случай, когда кривая L является за-

мкнутой. Из двух возможных направлений обхода будем считать положительным то направление, когда при обходе контура область ограниченная этим контуром остается слева по отношению к точке обхода. Другими словами, обход против часовой стрелки будем считать обходом в положительном направлении. Интеграл по замкнутому контуру, часто обозначают следующим символом

I

P (x, y)dx + Q(x, y)dy:

L

18.2.1. Способы вычисления криволинейных интегралов. Пусть уравнение кривой L, y = ´(x) является диф-

ференцируемым. Тогда вычисление криволинейных интегралов осуществляется путем преобразования их в обычные определенные интегралы. Подставим значение y = ´(x) в криволиней-

ныq интегралq первого рода, принимая во внимание равенство dl = 1 + (´0(x))2 dx. В результате подынтегральная функция будет зависеть только от переменной x. Если эта переменная

при обходе кривой L изменяется в пределах сегмента [a, b], то в результате получим

Выполним подстановку y = ´(x) в криволинейный интеграл второго рода, принимая во внимание равенство dy = ´0(x)dx

= '(t), y = Ã(t), t 2 [®, ¯], то осуществив замену переменных получим

Z Z¯ q

f(x, y)dl = f('(t), Ã(t)) ('0(t)))2 + (Ã0(t)))2 dt:

LZ®

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

L

Z¯ ³ ´

= P ('(t), Ã(t))'0(t) + Q('(t), Ã(t))Ã0(t) dt:

®

Таким образом, получены формулы преобразования криволинейных интегралов в определенные интегралы. При этом интегрирование ведется по переменной x если пользоваться фор-

мулами (18.3) и (18.4). Следует отметить, что интегрирование можно осуществлять и по переменной y: Выбор остается за

пользователем.

Следует отметить, что криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные. Их не трудно доказать, используя методику доказательств свойств определенного интеграла. Поэтому перечислим основные из них без обоснования их справедливости.

1.ZЕсли существуют интегралыZот функций f(Zxy), g(x, y), òî

ãäå ® è ¯ любые постоянные.

2. Если существуют интеграл от функции f(xy), а кривая L

3. Если существуют интеграл от функции f(xy)по кривой L, òî

4. Формула среднего значения. Если функция f(xy) непрерывна

вдоль кривой L, то на этой кривой существует точка M(x¤, y¤) такая, что справедливо равенство

Z

f(x, y)dl = lf(x¤, y¤),

L

ãäå l - длина кривой.

В случае, когда рассматривается трехмерное пространство и кривая L является пространственной кривой, то криволинейный

интеграл второго рода имеют вид

Z

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz:

L

18.2.2. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Обозначим через ® è ¯ углы, которая

составляет касательная с осями координат в точке A íà ðèñ. 18.5

268 Лекция 18. Тройные и криволинейные интегралы

Пример 18.4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

z = 10(x2 + y2) + 1, z = 1 ¡ 20y:

Решение:

В цилиндрических координатах: x =

= rCos', y + 1 = rSin', z = z, íàøå òå-

ло снизу ограничивает параболоид z = 10r2 ¡ ¡ 20rSin' + 11, а плоскость z = 21 ¡ 20rSin'

сверху, как это видно из рис.18.8 Ðèñ. 18.8. Проекция линии пересечения этих поверх-

ностей на плоскость xOy будет в цилиндри- ческих координатах: 10r2 ¡ 20rSin' + 11 = 21 ¡ 20rSin' èëè

r = 1.

Тогда искомый объем находим тройным интегралом

Z¼ Z1

= d' r(21 ¡ 20rSin' ¡ 10r2 + 20rSin' ¡ 11)dr =

00

18.4. Примеры для самостоятельного решения

=x2 + y2 , z = x2 + y2.

5.Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью z = 0,

6.Определить объем тел, ограниченных поверхностями: z =

=x2 + y2; x2 + y2 + z2 = 2.

7.Определить объем тел, ограниченных поверхностями: x2 +

+y2 ¡ z2 = 0, z = 6 ¡ x2 ¡ y2.

8.Определить объем тел, ограниченных поверхностями: az =

= x2 + y2; z2 = x2 + y2.

9. Определить объем тел, ограниченных поверхностями: 3z =

14.R Вычислить:

xdl, åñëè L отрезок прямой, соединяющий точки A(0,0)

L

è B(1,2).