Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3331 32 33 > Следующая >>>

302		Лекция 21. Числовые ряды
прогрессией со		P
В данном случае ряд		1 ln, который является геометрической
В данном случае ряд		n=1
	знаменателем больше единицы, а следовательно

ряд является1 расходящимся. Тогда по первому признаку сравне-

íèÿ ðÿä n=N an расходится.¤

Пример 21.2. Исследовать ряд n=1 2n

+ n

Вычислим предел l = lim

= lim

1 + 1

= 1e > 1,

ряд расходится.

n!1 p n

n!1 2

1 21.2.4. Интегральный признак Коши.

Пусть дан ряд

n=1

an . Возьмем функцию f(x) такую, что при x = n выполнено

f(n) = an. Тогда справедлива следующая теорема.

равенство

Теорема 21.8. Если интеграл R1

f(x)dx сходится, то ряд

тоже сходится, а если интеграл расходится, то ряд расходится

	Ä	î ê à ç à ò å ë ü ñ
	ò â î.	Составим частичную сум-
	му для функции, изображенной на
	ðèñ.21.2 Sn =		n
	ðèñ.21.2 Sn =		=1	ai и возьмем ин-
		n	=1
		n	iP
	теграл R1 f(x)dx, численное				значе-
Ðèñ. 21.1.	ние которого равно площади фигу-
	ры, ограниченной графиком функ-
ции и осью абсцисс. Площади ступенчатых фигур под функцией
и над функцией равны Sn ¡ f(1), Sn ¡ f(n) соответственно. То-
гда справедливы неравенства
Sn ¡ f(1) < Zn f(x)dx < Sn ¡ f(n):					(21.6)
	1		½1 f(x)dx + f(1)¾,
Рассмотрим три последовательности fSng ,			½1 f(x)dx + f(1)¾,
			R
			n

21.3.	Знакочередующиеся ряды							303
½1 f(x)dx + f(n)¾	Тогда из (21.6) и свойств последователь-
R
n
ностей имеем					1
lim S				<	f(x)dx + f(1),
n!1			n		Z
					1
					1
lim S		n		>	Z f(x)dx + f(n):
n!1		n		>	Z f(x)dx + f(n):
					1		P
ñòâî f(n) > 0 , можно сделать следующий							P
Принимая во внимание равенство lim Sn =							1	an и неравен-
					n!1		n=1
						вывод. Если интеграл

сходится, то из первого неравенства следует сходимость ряда,

а в случае, когда интеграл расходится, из второго неравенства

следует расходимость ряда¤

Пример 21.2. Исследовать на сходимость ряд

, a > 0:

Вычислим интеграл

lim

= lim

1 ¡ a

ba¡1 ¡

Z xa = b!1 Z xa

b!1

Åñëè a > 1, то интеграл сходится, а значит, сходится ряд. Если

a 6 1, то интеграл расходится. Следовательно, ряд тоже расходится.

21.3.Знакочередующиеся ряды

21.3.1.Абсолютная сходимость рядов. Будем рассматривать ряды, у которых знаки их элементов чередуются.

1	1
X	X
(¡1)n an èëè	(¡1)n+1 an, an > 0:
n=1	n=1
Введем понятие абсолютной сходимости ряда. Пусть имеется
знакопеременный ряд	1
	1
	X
	an,	(21.7)

n=1

т. е. элементы ряда имеют разные знаки, расположенные в произвольном порядке.

304 Лекция 21. Числовые ряды

Åñëè ðÿä	1
	X	(21.8)
	janj	(21.8)

n=1

сходится, то говорят, что исходный ряд (21.7) абсолютно сходит-

ñÿ. Теорема 21.9. Åñëè ðÿä (21.8) сходится, то сходится ряд

(21.7).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим частичные суммы рядов (21.7) и (21.8) символами SmGm соответственно. Если ряд

(21.8) сходится, то lim Gm = G è Gm 6 G òàê êàê janj > 0. Ïî-

m!1

следовательность fGmg возрастающая и ограниченная сверху. Обозначим0 00 символами

Sm, Sm Суммы положительных элементов и сумму модулей

отрицательных элементов, входящих в частичную сумму Sm. Òî-

гда имеем Sm = Sm0 ¡ Sm00

, à Gm = Sm0 + Sm00

. Последовательности

Sm0

, Sm00

монотонно возрастают, а из неравенства Sm0 + Sm00 6 G

следует их ограниченность Sm0

6 G, Sm00

6 G . Отсюда следует,

что существуют конечные пределы

lim Sm0

= S0,

lim Sm00

= S00 Тогда

получает цепочку ра-

m!1

венств

= lim

S00

¡ S

lim Sm00 = S0

¡ S

: Èç

lim

= lim

m ¡ m

следует сходи¡-

ограниченности величины

мость ряда (21.7).¤

Таким образом при исследовании знакочередующихся рядов, в первую очередь, исследуется их абсолютная сходимость. Однако, если ряд не сходится абсолютно это не значит, что он расходится. Ряд может сходится, но абсолютно не сходится.

P1 21.3.2. Условная сходимость рядов. Пусть дан ряд

(¡1)n+1 an, an > 0, который абсолютно не сходится.

n=1 Теорема 21.10. (Признак Лейбница) Если выполнены условия: an+1 < an äëÿ 8n è nlim!1 an = 0, то знакочередующийся ряд сходится. Говорят, что ряд сходится условно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнены условия теоремы Рассмотрим частичную сумму четного числа элементов

S2m = a1 ¡ a2 + ¢¢¢ ¡ a2m¡1 + am = (a1 ¡ a2) +

+ (a3 ¡ a4) + ¢¢¢ + (a2m¡1 ¡ a2m)

21.4. Контрольные вопросы

305

Из этого равенства следует, что последовательность fS2ng - возрастающая. С другой стороны из равенства

S2m = a1 ¡ ((a2 ¡ a3) + (a4 ¡ a5) + ¢¢¢ + (a2m¡2 ¡ a2m¡1) + a2m)

следует, что S2m < a1, следовательно, последовательность fS2mg

- ограничена. Тогда lim Sm = S, è S конечная величина.
	m!1
Возьмем нечетное количество элементов в частичной сумме
S2m+1. Имеем
S2m+1 = S2m + a2m+1: Вычислим предел, принимая во внима-
ние равенство nlim!1 an = 0
lim S2m+1 =	lim (S2m + a2m+1) = lim S2m + a2m+1 = S:¤
m!1	m!1	m!1

Их доказательства видно, что в знакочередующихся сходящихся рядах погрешность вычисления суммы ряда не превышает вели- чины первого отброшенного члена.

Пример 21.2. Исследовать на сходимость ряд

1
X
(¡1)n+1	1	:
(¡1)n+1	n + 2	:
n=1

Исследуем ряд на абсолютную сходимость, для чего рассматри-

âàåìP1 ðÿä1

n=1 n + 2:

ВоспользуемсяP1 1 вторым признаком сравнения. Возьмем расходящийся ряд n=1 n, и вычислим предел

lim

= 1:

n!1

n + 1

Исходный

ðÿä

абсолютно

íå

сходится. С другой стороны,

lim

= 0,

< 1

n. Следовательно, в

n + 1

n!1 n + 1

äëÿ

любых

соответствии с признаком Лейбница ряд сходится условно.

21.4.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте необходимые и достаточные условия сходимости Коши для рядов.

2.Какие условия являются необходимыми для сходимости

рядов?

3n + 8

306	Лекция 21. Числовые ряды

3.Сформулируйте признаки сравнения для сходимости рядов.

4.Докажите признак Даламбера.

5.Докажите радикальный признак Каши.

6.Докажите интегральный признак Каши.

7.Докажите теорему о абсолютной сходимости знакопеременных рядов.

8.Докажите признак Лейбница для условной сходимости знакочередующихся рядов.

21.5.Методические указания по решению примеров

Пример 21.3. Найти сумму ряда n=1 n(n + 1)(n + 2) ; Решение. Представим общий член ряда в виде суммы про-

стейших дробей:

3n + 8

an =

)

n(n + 1)(n + 2)

n + 1

n + 2

3n + 8 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1);

n = 0 : 8 = 2A; A = 4

n = ¡1 : 5 = ¡B; B = ¡5

n = ¡2 : 2 = 2C; C = 1

+ n + 2

an = n ¡ n + 1

..................

an¡3 =

¡ n 5

;

an¡

= n

2 ¡ n

1 + n;

an¡

= n

+ n + 1;

1 ¡ n

+ n + 2;

an = n ¡ n + 1

21.5. Методические указания по решению примеров

307

+ n + 1

¡ n + 1

+ n + 1;

Sn = 4 ¡ 2

S = nlim!1 Sn = 6 ¡ 2, 5 = 3, 5:

n2 + 5

Пример 21.4. Исследовать на сходимость ряд

1 arcsin

Решение. Воспользуемся вторым

признаком

3=2

числим предел

сравнения. В

качестве эталонного ряда возьмем сходящийся ряд

=1 n2 . Âû-

lim n2

arcsin

= lim n2

s¡n2 + 5¢

n!1

lim

= 1 :

= n!1 s n2 + 5

Ряд. сходится.

½ =

Пример 21.5. Исследовать на сходимость ряд

1 ¢ 4 ¢ 7 ¢ ¢¢¢ ¢ (3n ¡ 2)

n=1

2n+1 ¢ n !

Решение. Применим признак Даламбера и вычислим

= lim

an+1

n!1

an =

1 ¢ 4 ¢ 7 ¢ ¢¢¢ ¢ (3n ¡ 2)

an+1 =

1 ¢ 4 ¢ 7 ¢ ¢¢¢ ¢ (3n ¡ 1) ¢ (3n + 1)

поэтому

2n+1 ¢ n !

;

2n+2 ¢ (n + 1) !

½ = lim

1 ¢ 4 ¢ 7 ¢ ¢¢¢ ¢ (3n ¡ 1) (3n + 1) ¢ 2n+1 ¢ n !

n!1 2n+2 ¢ (n + 1) ! ¢ 1 ¢ 4 ¢ 7 ¢ ¢¢¢ ¢ (3n ¡ 1)

= lim

(3n + 1) ¢ n !

= lim

3n + 1

= 3 > 1, следовательно,

n!1 2 ¢ n ! ¢ (n + 1)

n!1

2 (n + 1)

Решение. Применим радикальный признак

ряд расходится.

arctg2n ¼

Пример 21.6.

Исследовать на сходимость ряд n=1 n4 ¢

Коши и вычислим

½ = lim pan

n!1

½ = lim

n n4

arctg2

2 ¼

arctg2

lim

n!1 r

= n!1

= lim

= 0 < 1,

n!1 arctg 4n

следовательно, ряд сходится.

Пример 21.7.

Исследовать на сходимость ряд

308

Лекция 21. Числовые ряды

ln 2n:

¢an

Решение.

¡n2 ¡ 2¢ln 2n

> n2 ¢ ln 2n1

3¢ ln 2n. Иссле-

признаку Коши. интеграл 3 1

= 3 1 d (ln

дуем сходимость

вспомогательного

ðÿäà

n=1 n ln 2n

ïî

èíòå-

гральному

R1 x ln 2x

ln 2x

= b!1 3 ln jln xj ¯

= 1

по первому признаку¯

сравнения, исходный ряд расходится.

lim

. Интеграл расходится, следовательно,

Пример 21.8.¯

Исследовать на сходимость ряд

n=1

(¡1)

(n + 1) !

Решение. Исследуем знакочередующийся ряд на абсолют-

ную сходимость, т.е. исследуем сходимость ряда, составленного

признаку Даламбера ½ =

lim

an+

lim (n P

из абсолютных

величин

членов

данного

ðÿäà

n=1 (n + 1)!. Ïî

+ 1)3 (n + 1) !

n + 1

n!1 an

n!1

(n + 2) !

1. Ряд из абсолютных величин

= nlim

n + 2 =

сходится, следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

21.6. Примеры для самостоятельного решения

Исследовать сходимость ряда с помощью одного из признаков сравнения.

ðà. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбе-

21.6. Примеры для самостоятельного решения

309

n=1 3n ¡ 2.

2. n=1 n2 ¡ 3n + 5.

P p

3. n=1 3n2 + n.

4. n=1

n(n + 1)(n + 2) .

1 1 (pn + 1

n=1 (2n ¡ 1)22n¡1 .

6. n=1

n ¡ ln n

ln n

n=1 n

n=1

pn5

¡ pn ¡P)

n2 + 4

9. n=1

sin

10. n=1

(n2 + 2) ¢ 2n

11.

1 3n

12.

1 tg2

1 3n2(1 2n) .

nn¡ .

13.

1 n2 + 5

14.

(2n + 1)32n¡1

15. 5n(2n

1 n

16.

n=1

(2n 1)!.

=1 n tg2n+1 .

1 2n! .

17.

(2n)n

18.

Исследовать сходимость ряда с помощью радикального признака Коши.

19. n=1

2n2 + 1

5n3 + n2

n=1

µp7n5 + n 2¶

n ¡ 1

20.

22.

21. =1 nn

n=1 plnn n .

+ 2, 0014 + ...

24. n=1

2n + 1

´ .

23. 3 + 2, 12 + 2, 013 +

n ¡ 1

Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши.

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

310	Лекция 21. Числовые ряды

25.

p1n

26.

1 2n + 1

27.

1 3n2 + 1

n ln n(ln ln n)

30.

, åñ-

28. n=1

29. n=1 ne¡n

n=1 n¡p

n ln2 n

ëè

> 1:

p P

31.

1 n

32.

33.

1 n2 + 4

ln n

1 2n2

n +

=1 n ln

34.

n+1

n 1

(¡1)

:35.

(¡1)

n=1

36.

1 ln n

1 sin 2n

(¡1)n¡

(¡1)n+

n 37.

n=1

2n ¡ 1

1 ( 1)n

3n + 2

38. n=1

39. n=1

2n¡1 k

1 sin ¼(n2 + n + 1):41.

1 (¡1)n :

40.

n=1

pln n

n=2

42. n=1

³¡3n2+ 5

´ :43. n=1

´ :

³¡n

21.6.1.Ответы. 1. расходится. 2. Сходится 3. расходится.

4.сходится. 5. сходится. 6. расходится. 7. сходится. 8. сходится.

9.сходится. 10. сходится. 11. сходится. 12. расходится. 13. сходится 14. расходится . 15. сходится. 16. расходится. 17. сходится. 18. сходится. 19. сходится. 20. расходится. 21.сходится.

22.сходится. 23. расходится. 24. расходится. 25. расходится.26. расходится. 27. сходится. 28. сходится. 29. сходится 30. расходится при p =1 и сходится при p>1. 31. сходится. 32. расходит-

ся. 33. сходится. 34. сходится условно. 35. сходится абсолютно. 36. сходится условно. 37. сходится абсолютно. 38. сходится абсолютно39. сходится абсолютно. 40. сходится условно. 41. расходится. 42. сходится абсолютно. 43. сходится абсолютно.

S(x) = lim Sm(x), ãäå Sm(x) =

m!1

Ë å ê ö è ÿ 22

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Ряд, членами которого являются функции от аргумента x, определенные на некотором множестве D, называется функциональным:

an(x) = a1(x) + a2(x) + ::: + an(x) + :::

(22.1)

n=1

Mножество всех значений x, при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом, называется областью сходимости функционального ряда:

Может случиться, что для некоторых x 2 D ряд сходится

абсолютно, а для некоторых условно.

Для нахождения областей сходимости функциональных рядов можно использовать достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Суммой функциональногоPm ряда называется функция an (x) ¡ частичная сумма.

n=1

Определение 22.1. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве fxg к своей сумме S(x),

åñëè äëÿ 8" > 0 9N > 0 независящее от x такое, что при

n > N выполнено неравенство jSm(x) ¡ S(x)j < "

Сформулируем без доказательства критерий Коши для сходимости функциональных рядов.

Теорема 22.1. Для того, чтобы функциональный ряд (22.1) равномерно сходился на множестве fxg к некоторой сумме,

необходимо и достаточно, чтобы для 8" > 0 9N > 0 независящее от x такое, что при n > N выполнено неравенство

jSm+p(x) ¡ Sm(x)j < "äëÿ8p > 0.

Теорема 22.2. (признак Вейерштрасса) Функциональный ряд (22.1) равномерно сходился на множестве fxg к некото-

рой сумме,1если существует числовой ряд с положительными
членами			n=1 cn, такой, что для			8x		из множества fxg è äëÿ
	n	выполнено неравенство			an(x)				cn:
8			P	j			j 6

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3331 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб18L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб49makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб10Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб6marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб5Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб18matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб33matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб14meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб17mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб98MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб6MetodDB.pdf