matanaliz

92

Лекция 5. Исследование функций и их графиков

тости,

(¡1; ¡1) è (1; 1) интервалы выпуклости. 4. xp = 0

y = 2x + 1. 7. x=0, y=x. 8. x=§

2, y

=

x. 9.

y

=

§x:

10. x 6,

¼x

=

y x

3, y= x 3. 11. x=

§

1. 12.y=

¡

1,

2

= +

¼x

асимптоты: 18.ymin=y(0)= 0, ymax=y(

1

) = =

1

:19.ymin=y(1)

27

27

p

p

y( 1)

p3 , 0); (0,0) точки перегиба; y x

=¡

3 2 ;

=

3 2 ;

(§

=

ymax=

¶ ¡ ¡

=

асимптота:

:

(0,0); µ§1, §p2

асимптота

20.

1

точки перегиба; y

x

Приведем несколько примеров:

1. Если для элементов произвольного множества X

½(x, y) = ½ 1,

åñëè x 6= y,

то мы получим метрическое

0,

åñëè x = y,

пространство изолированных точек.

2. Множество упорядоченных наборов (x1, ... , xm) с расстоя-

íèåì

½(x, y) = s m (xi ¡ y1)2 называют арифметическим евкли-

P

94

Лекция 6. Функции многих переменных

Определение

6.2. Множество G ½ E

m называется откры-

m

÷åê,

координаты

которых

удовлетворяют

неравенству

½(M

,

0

m

0

2

, ãäå

(x

1, ... , 0

- координаты

M

) = si=1 (xi ¡ xi ) 6 R

xm)

радиуса

ñ

точки M0,

называется

m

-

мерным

шаром

R

P

центром в точке M0:

Если заменить неравенство равенством, то множество fMg

называется m - мерной сферой.

Определение 6.4. Множество fMg точек, координаты ко-

торых удовлетворяют неравенствам

xi

x0 < di

, (di > 0, i =

i

параллеле-

= 1, ... , m) называется m- мерным координатным¯ ¡ ¯

¯

¯

6.3. Предельное значение функции нескольких переменных

95

областью значений.

1.

Областью

определения функции

Пример 6.1.

u = arcsin(x + y)

является

множество G 2 E2, G =

= (x, y) 2 E2 : y > ¡1 ¡ x, y 6 1 ¡ x

ª

. Областью значений при

этом является отрезок

[¡¼=

2;

2 .

©

¼= ]

q

обозначается nlim Mn = A èëè

Mn ! A ïðè

n ! 1,

èëè

!1

lim ½(Mn, A) = 0:

n!1

Для того чтобы последовательность точек

Лемма 6.1.

m

m необходимо и доста-

fMng ½ E сходилась к точке A 2 E

n

n

точно, чтобы последовательности координат fx1 g , ... , fxmg

точек Mn сходились к числам a1, ... ,am, которые являются

координатами точки A 2 Em:

Ä î ê à ç

а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть

A =

nlim Mn

тогда для 8" > 0, 9N > 0 :

½(MnA) < "

!1

ïðè

n > N.

Принимается

во внимание

неравенство

m

(xin ¡ ai)2 < " имеем jxin ¡ aij < " ,i = 1, ... , m.

½(MnA) = si=1

P

96

Лекция 6. Функции многих переменных

Иными

словами

последовательности fxing координат

точки

Mn сходятся

ê

числам

ai(i = 1, ... , m),

которые являются

координатами точки A 2 Em.

Достаточность. Пусть ai = nlim!1 xi, i = L, ... , m, тогда для

8" >

0

1

0, ... , N

> 0 такие, что

n

>

N1, ... , n

>

N

9N >

m n

"

m

выполнены неравенства jxi

¡ aij <

p

но тогда при n > N =

m

= max(N1, ... , N2) выполнено неравенство ½(Mn, A) < ".¤

Сформулируем определение фундаментальной последователь-

ности точек в m-мерном евклидовом пространстве.

Определение

6.14.

Последовательность

fMng

точек

m

называется

фундаментальной

(fMng ½ E )

или последова-

была фундаментальной.

Теорему легко доказать, используя лемму 1.1 и критерий Ко-

ши для числовых последовательностей (лекция 1). Предлагается

самостоятельно.

Следует отметить, что с помощью леммы 1.1 можно доказать

теоремы, которые доказаны для обычных числовых последова-

тельностей. В качестве примера докажем одну из них.

Теорема 6.2. (теорема Больцано - Вейерштрасса) Из любой

ограниченной последовательности fMng можно выделить схо-

дящуюся последовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность

fMng ограничена, то существует

конечное число

A

такое, что

n

½(O, Mn) < A, но тогда тем более jxi j < A, i = 1, ... , m. Следо-

вательно, в соответствии с теоремой Больцано Вейерштрасса

для числовых последовательностей из

последовательностей

n

nk

fxi g

можно выделить сходящиеся подпоследовательности fxi

g, êî-

торые сходятся к некоторым числам ai, i = 1, ... , m, но тогда

последовательность

m, координатами которой являются

nk

fMng ½ E

элементы xi сходятся к точке A с координатами ai, i = 1, ... , m.

Принимая во внимание, чтоnпоследовательности fxink g выделены

из последовательностей fxi

g, которые являются координатами

последовательности

,

делаем

вывод, что

последователь-

f

© g

k

ª

fMng

является подпоследовательностью последовательно-

ность

Mn

ñòè Mn .¤

y = x, то получим последовательность, раскрывая которую полу-

чим значение

1

, т. е. в этом случае функция не имеет предела.

2

Следующий пример демонстрирует, что вычисленные повтор-

ные пределы получаются разные, если изменить порядок их

вычисления.

Пример 6.3. f(x, y) = 8 ¡

, åñëè

6

x2 + y2

<

0,

åñëè x2 + y2 = 0,

x2 ¡ y2

x2 + y2 = 0,

x!0 µy!0

¶

:

x2

¡

y!0 x!0

x!0 µ x2 ¶

¡

³

´

lim lim f(x, y)

= lim

=

1, lim

lim f(x, y) =

= y!0 µy2

¶

lim

y2

= 1:

Действительно, если взять

2

1

,

x = k ,

y = k и устремить k ! 1

ò.å. x è y одновременно стремятся к нулю, тогда получим

4

1

klim ¡

k2

¡ k2

= klim ¡3 = ¡3:

4

1

!1

+

!1

5

5

k2

k2

С другой стороны при

1

1

k >

0 имеем

x = k , y = pk ,

1

1

lim

k2

¡ k

= lim

1 ¡ k

= 1:

1

k!1 ¡

+

1

k!1 ¡

1 + k

k2

k2

lim '(y) = lim lim f(x, y) (lim Ã(x) = lim lim f(x, y))

y!b

y!b x!a

x!a

x!a y!b

100

Лекция 6. Функции многих переменных

Область определения функ-

öèè

z = ln t

задается

íåðà-

венством t > 0. Следовательно,

для исходной функции имеем

y2 ¡ x + 4 > 0 () x < y2 + 4

Это левая часть от параболы

рис. 6.1. Область определения

заштрихована.

Ðèñ. 6.1.

2.

Найти поверхности уров-

ня для функции u =

x2 + y2

:

Решение: Для

z

получения

поверхностей уровня, необходимо придавать некоторые фикси-

рованные значения функции, в результате чего будем получать

различные уравнения поверхностей. Пусть u = c

является кон-

стантой Тогда получим уравнение параболоида z = 1

x2 + y2 :

Äëÿ

äâóõ

c

значений

¡

¢

константы

c поверхности

представлены на рис 6.2.

Если функция двух пе-

ременных, то вместо по-

верхностей

будут

ïîëó-

чаться линии уровня. Они

являются

проекциями ли-

íèè

пересечения

поверх-

ности и плоскости па-

раллельной

координатной

плоскости xOy íà ïëîñ-

Ðèñ. 6.2.

кость xOy:

3. Найти линии уровня

для функции z = x2 ¡ y:

Решение: Это уравнениие поверхности, изображенной на

рис. 6.3. Пусть z = ñ является константой.

Тогда

получа-

ем уравнение

y = x2 ¡ c. Придавая

различные

значения для

величины c,

получим набор

уравнений,

которые

описывают