Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 335 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

42 Лекция 2. Функции

рой точки c: Если тепере выделить подпоследовательность x00nk ) из последовательности x00n, то эта подпоследовательность тоже должна сходится к точке c, в силу непрерывности функции в

точке c: Тогда последовательность f(x00nk ) ¡ f(x0nk ) будет бесконечно малой, что противоречит условию jf(x00nk ) ¡ f(x0nk )j > ":¤

2.3.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определения о пределе функции.

2.Какими арифметическими свойствами обладают пределы функции?

3.Как сравниваются бесконечно малые и бесконечно большие функции?

4.Сформулируйте определения непрерывности функции.

5.Докажите теорему о свойствах непрерывных функций в

точке.

6.Сформулируйте теорему о сохранении знака.

7.Сформулируйте теоремы Вейерштрасса.

2.4.Методические указания по решению задач

2.1. Доказать

lim

2x2 + 5x ¡ 3

7(найти ±(")):

x + 3

!¡

Решение: Рассмотрим модуль разности функции и предпола-

гаемого значения предела:

x + 3

x2 + 6x + 9

2x2 + 5x ¡ 3 + 7x + 21

2x2 + 12x + 18

2x2 + 5x 3

+ 7

¯= 2

¯= 2¯x + 3 :

x + 3

Пусть¯

произвольное

число,

тогда

ïðè

2 " >

2 2 + 5x

± (") =

jx + 3j < ", следовательно, ¯

+ 7¯

= 2 jx + 3j <

x + 3

2x2 + 5x¯

< ". Таким образом, по определению,¯

lim

x + 3¯

x!¡3

2.2. Доказать непрерывность функции f(x) = 5x2 ¡ 1 в точке x0 = 6(найти ±(")):

Решение: f(xo) = 5 ¢ 36 ¡ 1 = 179: Зададим произвольное число " > 0 и рассмотрим модуль разности функции и ее значе-

2.4. Методические указания по решению задач

ния в точке xo:

= 5x2 ¡ 180

5x2 ¡ 1 ¡ 179

6) 6

¯= 5 x2

36 =¯

5 (¯x

6)2 +

¯12(x

2¯

6 5

+ 12¯

< ":

j ¡

¯j

Решив последнее неравенство,

получим

p36

" ¡

p36

" +

< jx ¡

j <

p36 + 5" + 6

= p36 + 5" + 6

¢¡

Из цепочки неравенств

+ 6

36 + 5"

36 + 12" + "2

= ±(") > jx ¡ 6j

2(6 + ")

следует, что для 8" > 0 9±(") =

: jx ¡ 6j < ± =)

2(6 + ")

5x2 ¡ 1 ¡ 179 < ":

Это и означает непрерывность¯

функции¯

в точке xo = 6 ïî îïðå-

делению. ±(") =

2(6 + ")

2.3. Раскрытие неопределенности

. Вычислить предел

lim

3x + 2

h0i

x!1 x3 ¡ x2 ¡ x + 1.

Решение: Подстановкой предельного значенияh0i 1 убеждаемся

в том, что имеем неопределенность типа 0 . В силу теоремы Безу, т.к. x = 1 является корнем полиномов в числителе и зна-

менателе, они делятся без остатка на одночлен x ¡ 1. Выполняя

деление, получаем следующие разложения на множители:

x3 ¡ 3x + 2 = (x ¡ 1) ¡x2 + x ¡ 2¢, x3 ¡ x2 ¡ x + 1 = = (x ¡ 1) ¡x2 ¡ 1¢:

Таким образом, имеем:							h	0
x!1 x3 ¡ x2 ¡ x + 1		x!1	(x ¡ 1)(x2 ¡ 1)	x!1	x2 ¡ 1
								0i
lim	x3 ¡ 3x + 2	= lim	(x ¡ 1)(x2 + x ¡ 2)	= lim	x2 + x ¡ 2	=			:

Так как неопределенность сохранилась, то разложим многочлены на множители: x2 + x ¡ 2 = (x ¡ 1)(x + 2), x2 ¡ 1 = (x ¡ 1)(x +

+ 1).

44 Лекция 2. Функции

В результате получим

lim

(x ¡ 1)(x + 2)

= lim

x + 2

= 3:

(x ¡ 1)(x + 1)

x!1

x!1 x + 2

2.4. Вычислить предел lim

x2 + 3x ¡ 2

Решение: Подстановкой предельного значения0 убеждаемся,

ния данной задачи избавимся от иррац

что в данном пределе имеется неопределенность

. Äëÿ ðåøå-

иональности в числителе:

µq(x + x ¡ ) + 2p

¶ =

x + x ¡

´2 8

2 2

Имеем

= x + x ¡ ¡ = x + x ¡ = (x ¡ ) (x + )

lim

x2 + 3x ¡ 2 ¡ 2

(x ¡

)(x +

)

= lim

x!2 (x ¡ 2)(x + 2) µq3 (x2 + 3x ¡ 2)2 + 2 3

+ 4¶

x2 + 3x ¡ 2

lim

(x + 5)

48:

= x!2 (x + 2) µq3 (x2 + 3x ¡ 2)2 + 2 3 x2 + 3x ¡ 2 + 4¶ =

2.5. Вычислить предел lim

ln(1 + sin x)

sin 4x .

Решение: Рассмотрим цепочки эквивалентностей:

(x ! 0) ) (sin x ! 0) ) ln (1 + sin x) » sin x » x;

(x ! 0) ) (4x ! 0) ) sin 4x » 4x:

Таким образом, имеем: lim

ln(1 + sin x)

= lim

= 1.

x!0

sin 4x

xx!4

2.6. Вычислить предел lim0

³¼

³1 +

´´

ln(x +

)

Решение: В данном случае непосредственно воспользоваться

методом решения предыдущих задач невозможно т.к.

ìóë

(x ! 0) ) ¼

1 +

! ¼

: Преобразуем при помощи фор-

эквивалентностей:

. Теперь рассмотрим цепочки

приведения

¼ +

¼x

= tg

¼x

(x ! 0) )

! 0´ ) tg

(x ! 0) ) ln(x + 1) » x:

¼x

2.4. Методические указания по решению задач

Таким образом, lim0 tg

³¼ ³1 +12

´´ =

= lim0 2 = ¼ .

5x ³

¼x

ln(x +

)

sin

2.7. Вычислить предел lim

tg3x .

x!¼

Решение: Сделав замену переменных x ¡ ¼ = t, получаем

lim

sin (5t + 5¼)

= lim

sin (¼ + 5t)

= lim

¡ sin 5t

= lim

¡5t

t!0 tg (3t + 3¼)

t!0

tg3t

t!0

tg3t

t!0

òàê êàê (t ! 0) ) (5t ! 0) ) (sin 5t » 5t), (t ! 0) ) (3t ! 0) )

) (tg3t » 3t) :

2.8. Вычислить предел lim

+ e¡

¡ 2

sin2 x .

x!0

Решение: Рассмотрим выражение, стоящее в числителе:

= e¡2x

e2x

¡ 1

2 =

e2x + e¡2x ¡ 2 = e2x + e¡2x

¡ 2e2xe¡2x = ex ¡ e¡x

)

e2x

2x¡

;

(x ¢

(sin x

x) :

¡e2x

+ e¡2¢x

)

e¡2x (2x)2

= lim

e¡2x

= 4.

x!0

sin2 x ¡

x!0

Таким

образом,

lim

x!0 4

2.9. Вычислить предел lim

¡ e¡ x

sin x ¡ 2x .

x!0

Решение: Преобразуем выражение, стоящее под знаком пре-

äåëà ê âèäó:

³e¡2x ¡ 1´

e7x

e¡2x

e7x

e¡2x

e7x ¡ 1

sin x

Рассмотрим цепочки эквивалентностей:

(x ! 0) ) (7x ! 0) ) ¡e7x ¡ 1 » 7x¢, (x ! 0) ) (¡2x ! 0) ) ¡e¡2x ¡ 1¢ » (¡2x) :

Вычислим пределы:

lim

e7x ¡ 1

= lim

= 7; lim

e¡2x ¡ 1

= lim

¡2x

x!0

lim

sin x

= 1:

0 x

46 Лекция 2. Функции

Таким образом,

lim

e7x ¡ 1

lim

e¡2x ¡ 1

lim

¡ e¡

x!0

¡2

= 9::

x!0 sin x ¡ 2x

lim

sin x

¡ lim

sin x

1 ¡ 2 ¡ 1 ¡ 2

x 0

2.10. Вычислить предел lim (cos px )x .

x!0

Решение: Вычисляя пределы основания и показателя, убеж-

даемся в том, что имеет место неопределенность 11. Предполо-

жим, что данный предел существует и его величина равна A.

Рассмотрим ln A:

cos p

ln A = ln lim

x = lim

x!0

cos¢ p

x!0 x0

= x!0

lim

В результате данного преобразования0

исходная

неопределен-

ность (11) преобразована к виду h

i. Рассмотрим числитель:

(¢x

0¡)

cos p¢x

¢¢

cos p

= ln

1 + cos p

¡ 1 = ln

1 ¡ 1 ¡ cos p

;

)

´ )

: ¢

(

ln A =

cos px )))¡

Таким

образом,

³ln ( + x¡ ¡

» ³¡

´´

= lim

1, следовательно, A = e¡

pe .

2.5.Примеры для самостоятельного решения

2.1.Сформулировать на языке " ¡ ± окрестностей:

à) lim f(x) =	á)	lim f(x) =		â) lim f(x) =
= 1x;!a	=	x!;a		= +x!;a
		¡1		1
ã) lim f(x) =	ä)			å) lim f(x) =
x!;a¡0	lim f(x) =		¡	x!a¡0
= 1	x!a¡0		¡	= +1;
	¡1;
æ)	ç)	lim f(x) =		è)
lim f(x) =		x!a+0		lim f(x) = +
x!a+;0	= ¡1;			x!a+0
= 1				+ .
				1

2.5. Примеры для самостоятельного решения

Вычислить следующие

пределы.

2.2.

, á

)

) xlim ( x

)

) xlim (px ¡ px +

â) lim

x2 ¡ 3x + 2

x!1 x2 + 2x + 8

x2 + 3x + 2

2.3. à) lim

x3 ¡ 8

) lim

x3 ¡ 1

)

lim

x ¡ 2 , á

x!2

x!1 x2 ¡ 1, â

x!¡1

x4 ¡ 1

2.4. à)

lim

+ x ¡

)

lim

x +

9 ,

â) lim

+ x ¡ p x ¡

3 p

!¡

x + 2 , á x

!¡

px +

3 3

cos (x=2) ¡ sin(x=2)

2.5. à)

lim

cos x

sin (x ¡ 2)

á) lim

1 ¡ cos5x

) lim

xsin7x

, â

2.6. à) lim

x ¡

, á)

lim¼

+ cos

)

lim¼

¡ sin

tg26x

x!1 sin ¼x

x! 3

, â

x! 2

¼ ¡ x

2.7. à) lim

ln(1 + x)

) lim

ln(1 + 4sinx)

) lim

ln(1 ¡ 7x)

sin4x

32x

1 , á

, â

0 sin(¼(x + 7))

2.8. à) lim

ln(5 ¡ 2x)

) lim

¡ e

) lim

¡ e

2 , â

2 p10 3

2, á

x + tgx

sin x ¡ sinx

¡x+

, á) lim (x + ex)x1 , â) lim x

2.9. à) lim

x ¡ 1

x!1 2x + 3

x 1

2.10. Доказать, что функция

y = f(x)

непрерывна в точке

x = a

à) f(x) = 2x2 ¡ 4, a = 3 á) f(x) = ¡2x2 ¡ 5, a = 2:

2.11. Исследовать на непрерывность функции и указать характер точек разрыва.

à) f(x) =	x		) f(x) =	x + 3	)	f(x) =			x2 + 2
	x3 ¡ 1, á			x2 ¡ 1, â				(x ¡ 1)2
	¡			(	2,6			2,
		2			1=x, x < 0,
ã) f(x) = 3		x 2	, ä) f(x) =		x, 0		x 6 2,
					x	x >

(x, x < 3,

å) f(x) = ¡x2, 3 6 x 6 5, x ¡ 50, x > 5:

48 Лекция 2. Функции

2.5.1. Ответы. 2.2. à) 0: á) 0: â) 0: 2.3.

à) 12: á) 3=2: â) 1=4:

2.4. à) 1=4: á) 0: â) 1: 2.5. à) 32=3: á) 25=14: â) 1=4:

2.6. à) ¡ 1=¼: á) 1=8: â) 0: . 2.7. à) 1=ln: á) 1: â) 7=¼:

2.8. à) 8=3: á) 1: â) 1: 2.9. à) e¡16: á) å2: â) ¡ 1:

Ë å ê ö è ÿ 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Производная, основные понятия и правила дифференцирования

Определение 3.1. Приращением функции y=f(x) в точке x, соответствующим приращению аргумента ¢x, называется

число	¢y = f(x + ¢x) ¡ f(x):

Определение 3.2. Производной функции y=f(x) в точке x на-

зывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке x, когда приращение аргумента ¢x

стремится к нулю

f0(x) =

¢y

f(x + ¢x) ¡ f(x)

¢x

Условные обозначения производной:

, y, y0:

3.1.1.

Геометрический смысл производной. Пусть за-

дана функция y = f(x), график которой приведен на рис.3.1.

Покажем, что производная в

точке x, f0(x) = tg ®

Отрезки: AC = ¢x, BC = ¢y, '(¢x) = arctg

¢y

¢x,

lim '(¢x) = lim

arctg

¢y

arctgf0(x) = ®: =

tg® = f0

(x):

¢x,

¢x 0

)

Знание углового коэффициента касательной позволяет получить уравнение касательной в точке x = x0

y= f(x0) + f0(x0)(x ¡ x0),

àучитывая условия перпендикулярности двух прямых, получаем уравнение нормали в точке x = x0 ( прямая

Ðèñ. 3.1.

руемой в точке x, âèòü â âèäå

50 Лекция 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

перпендикулярная касательной в точке x = x0)

y= f(x0) ¡ f0(1x0)(x ¡ x0):

3.1.2.Физический смысл производной. Пусть точка M

движется по прямой. Предположим, что за время t0 она прошла путь S(t0). За время t0 + ¢t точка проходит путь S(t0 + ¢t):


Тогда, отношение	¢S(t0)
Тогда, отношение		¢t		определяет среднюю скорость за время
¢t Предел отношения			lim		¢S(t0)	= v(t0) определяет мгновен-
¢t Предел отношения			lim		¢t	= v(t0) определяет мгновен-
			0		¢t
			¢x!

ную скорость точки в момент времени t0. v(t0) = S0(t0)

3.1.3. Понятие дифференцируемости функции в точке.

Определение 3.3. Функция y = f(x) называется дифференциесли приращение функции можно предста-

¢y = A¢x + ®¢x,

ãäå ®¢x = î(¢x), À некоторое число не зависящее от ¢x

Теорема 3.1. Для того, чтобы функция была дифференци-

руемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы она имела

в этой точке конечную производную.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если функция

дифференцируема, то ¢y = A¢x + ®¢x. Вычислим предел от-

ношения lim

¢y

= A + ®: Òàê êàê

lim ® = 0, что следует из

¢x

¢x!

¢y

= f0

условия ®¢x = î(¢x), то имеем A = lim

(x).

¢y

¢x!0

¢x

Достаточность. A = lim

= f0(x). Тогда

" > 0

± >

¢x!0 ¢x

: j¢xj < ± =)

¢y

¡ A¯ <

" =

Функция

¢y

A является

¢x

¢y )

¢x

бесконечно малой.

¯Обозначим¯

A = ®, откуда следует

¢x ¡

¢y = A¢x + ®¢x:¤

С л е д с т в и е. Если функция y=f(x)

дифференцируема в

точке x, то она непрерывна в этой точке.

lim ¢y =

Справедливость

следует

èç

соотношения

¢x!0

= lim (A¢x + ®¢x) = 0: Обратное утверждение не верно.

¢x!0

Например, функция y = jxj непрерывна в точке x = 0, íî â

3.1. Производная, основные понятия и правила дифференцирования 51

этой точке она не имеет производной. Следовательно, она не дифференцируема.

3.1.4.Правила дифференцирования. 1. (u(x) § v(x))0 =

=u0(x) § v0(x):

2. (u(x)v(x))0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x):

3. µ	u(x)	¶	0	= u0(x)v(x) ¡ u(x)v0(x)		:
3. µ	v(x)	¶			v2(x)

4. Дифференцирование сложной функции. Пусть функция x = Ã(t) дифференцируема в точке x, а функция y = f(x) äèô-

ференцируема в соответствующей точке x = Ã(t). Тогда функция

y = f(Ã(t)) дифференцируема в точке t, а производная вычисляется по формуле (f(Ã(t)) )0 = f0(x)Ã0(t):

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть y = u(x) § v(x) =)

=) ¢y = (u(x + ¢x) § v(x + ¢x)) ¡ (u(x) § v(x)) = = (u(x + ¢x) ¡ u(x)) § (v(x + ¢x) ¡ v(x)) :

Разделив данное равенство на ¢x и переходя к пределу, получим

(u(x) § v(x))0 = u0(x) § v0(x):¤

2. y = (u(x)v(x)) ,

lim

¢y

lim

u(x + ¢x)v(x + ¢x) ¡ u(x)v(x) § u(x + ¢x)v(x)

¢x

¢x!0

¢x

lim

u(x + ¢x)(v(x + ¢x) ¡ v(x)) + v(x)(u(x + ¢x) ¡ u(x))

¢x

¢x!

u(x + ¢x)¢v(x)

v(x)¢u(x)

lim

+ lim

¢x

¢x!

¢x

¢x!

= u0(x)v(x) + u(x)v0(x):¤

u(x)

u(x + ¢x)

u(x)

y =

¢y = µ

¶ =

v(x)

v(x + ¢x)

v(x)

u(x + ¢x)v(x) ¡ v(x + ¢x)u(x)

v(x + ¢x)v(x)

(u(x + ¢x) ¡ u(x))v(x) ¡ u(x)(v(x + ¢x) ¡ v(x))

v(x + ¢x)v(x)

¢u(x)v(x) ¡ u(x)¢v(x)

v(x + ¢x)v(x)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 335 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб18L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб48makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб10Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб6marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб5Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб18matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб33matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб14meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб17mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб98MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб6MetodDB.pdf