Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3319 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Ë å ê ö è ÿ 13

НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

13.1. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралы вида

R(cosx, sin x)dx. Для вычисления таких

интегралов

используется подстановка

2tg

1 ¡ tg2

1 ¡ t2

t = tg

, sinx =

cosx =

1 + tg2

1 + t2 ,

1 + tg2

1 + t2 ,

x = 2arctgt, dx =

2dt

1 + t2

В результате такой подстановки, получим

R(cosx,

sin x)dx=

1 ¡ t2

2dt

µ1 + t2 , 1 + t2 ¶ 1 + t2

Получили интеграл от рациональной функции.

Пример 13.1. Вычислить R

1 + sinx

sinx =

1 + t2

= 2

1 + sinx

dx =

2dt

(t + 1)2

+ t

¯2

+ C =

¯2

+ C:

¡t + 1

¡tg

+ 1

Интегралы вида

cosmx sinn xdx. Рассмотрим два случая. 1.

Числа

являются

четными. В

ýòîì

случае

пользуемся

формулами понижения степени

sin2x = 1

¡ cos2x

cos2x = 1 + cos2x

13.1. Интегрирование некоторых тригонометрических функций 183
Пример 13.2. Вычислить R cos			1		1			22
			2x sin2 xdx:
Z cos2x, sin2 xdx =			4	Z (		¡ cos				x)dx =
1	1	4		1		1				4
= 8 Z dx ¡	8	Z cos xdx = 8x ¡							sin x + C:
							32

2. Хотя бы одно из чисел m è n является нечетным. Пусть n

число. Тогда

нечетное Z cosmx sinn xdx= Z cosmx sinn¡1 xsinxdx =

= jcosx = tj = ¡ Z tm ¡1 ¡ t2¢n¡2

dt:

Получился интеграл от степенной функции.

Пример 13.3.

Вычислить R cos3x sin2 xdx:

Z cos3x sin2 xdx= Z cos2x sin2 xcosxdx=

= jsinx = tj = Z

1 ¡ t2

t2dt = Z

t2 ¡ t4 dt =

¡5

sin

+ C =

+ C:

Интегралы вида

sin nx cos mx xdx,

sin nx sin mx xdx,

cos nx cos mx xdx:

Данные интегралы преобразуются в интегралы, доступные непосредственному интегрированию с помощью следующих формул:


sinnx cosmx =	1		(sin(n + m)x + sin(n ¡ m)x)						,
	2								,
sinnx sinmx =	1		(cos(n ¡ m)x ¡ cos(n + m)x)
	2
cosnx cosmx =	1		(cos(n ¡ m)x + cos(n + m)x) :
	2
Пример 13.4. Вычислить			R	1
				sinx cos3x xdx:
Z sinx cos3x xdx=2					Z (sin4x ¡ sin2x)dx =
= ¡		cos4x			+	cos2x		+ C:
			8				4

13.2. Интегралы от иррациональных функций

184

Лекция 13. Некоторые способы интегрирования

px , ¢¢¢

px ) dx. Äëÿ

вычисления

Интегралы вида

R (

используется замена переменных

общий

знаменатель

дробей

x = t , ãäå r

наименьший

, ¢¢¢ ,

Пример 13.5. Вычислить R p

x :

x + 1

= ¯

dx = 4t3dt

= 4

+ 1

t2 + 1

t = px

px dx

x = t4

t4dt

дробь неправильная, выделяем¯

целую¯

часть, поделив

4 íà

Z µt2 ¡ 1 + t2 + 1

¶dt = 4

3 + t + arctgt¶ + C =

4 4

3 px ¡ 4p

+ arctg p

+ C:

Интегралы вида

R µ rr

¢¢¢

rrk

¶dx. Äëÿ âû-

cx + k

ax + b

числения используется замен переменных

= t

, ãäå r

cx + k

наименьший общий знаменатель äðîáåé

, ¢¢¢ ,

Пример 13.6. ВычислитьR r

x +

dx:

x + 1

2 x =

Z r

¯ dx =

2 1

x + 1 dx =

t2 ¡ 1

= t

tdt

¯ =

¶dt:

= 2 Z ¡t2 ¡ 1¢2 = 2 Z µ(t + 1)2

+ t + 1 + (t ¡ 1)2

+ t ¡ 1

t dt

¯A

Необходимо найти неизвестные коэффициенты

A (t ¡ 1)2 + Ñ (t + 1)2 + Â (t ¡ 1)2 (t + 1) + D (t + 1)2 (t ¡ 1) = t2

Ïðè x = ¡1 имеем 4A = 1 , =) A = 1=4, ïðè x = 1 имеем 4C =

= 1 =) C = 1=4:

13.3. Подстановки Эйлера

185

Åñëè

раскрыть

скобки

то коэффициент при t3 ,

Â + D, à

свободный член A + C + B ¡ D: Составляем систему

Â + D = 0,

8 B = ¡

1 + B

D = 0,

)

D = 1:

начения коэффициентов, получим

Подстаâèâ ç

x + 1

Z r

dx =

Z µ(t + 1)2 ¡ t + 1

+ (t ¡ 1)2

+ t ¡ 1

¶dt =

= 1 ln

t ¡ 1

+ C =

¯ ¡ t + 1

¯t + 1

¡ t ¡ 1´

p¯

x + 1

= 1

¡ ¯

+ C:

2 µ

¯px + 1 + p

¡ px + 1 + p

¡ px + 1

N¯x + M

Интегралы¯

âèäà

dx. В подкоренном выражении

x2 + bx + c

требуется выделитьRполный квадрат

dx = Z

Nx + M

dx =

x2 + bx + c

r³x +

+ c

= ¯

x +

= t, dx = dt

¯ = N

tdt

+ M

x = t

+ c = a

+ a

´Z

+ a

¡ 2

2ln¯ ¯t + t2 + a ¯¯ + C = ¯

=Npx2 + bx + c + ³M ¡ N 2b ´ln ¯¯x + 2b + px2 + bx + c ¯¯ + C:

13.3.Подстановки Эйлера= N t2 + a + M ¡ N b ¯

			случаях, когда в подын-
Эти подстановки применяются в техp			2	+ bx + c	. Изучим две
тегральной функции есть выражение		ax		+ bx + c
подстановки:
подстановки:
1. Пусть a > 0:	pax2 + bx + c = t ¡ xpa . Возведем обе

части данного уравнения в квадрат p

ax2 + bx + c = t2 ¡ 2tx a + ax2:

186 Лекция 13. Некоторые способы интегрирования

Разрешим полученное уравнение относительно x

¡ c

+ bt + c

x =

= dx = 2

a t

dt:

2pa t + b

)

t + b

2. Ïóñòü x1, x2 -корни уравнения.

Тогда

a(x ¡ x1)(x ¡ x2) = t(x ¡ x1): Возведем обе части данного уравнения в квадрат

a(x ¡ x1)(x ¡ x2) = t2(x ¡ x1)2 =) a(x ¡ x2) = t2(x ¡ x1) =)

	1	t	2		2		1
= x =	x			¡ ax		= dx =	2a (x2 ¡ x2) t	dt:
		t2
)					a	)	¡t2 ¡ a¢
Смотреть пример 13.16.¡

13.4.

Тригонометрические подстановки

pa2 ¡ x2 dx = jx = asint, dx = acostdtj = a2

cos2tdt:

Рассмотрим

три типа подстановок

R p

dx =

x = atgt, dx =

= a2

a2 + x2

adt

cos2t

cos3t

приведенных¯

получаются¯

результате

asint¯

¡ a

sin2t

dx = ¯x = cost, dx = cos2t¯dt

= a

cos3t dt:

но легко интегрируемые¯

интегралы. Смотреть¯

пример 13.17

13.5. Интегрирование биноминальных дифференциалов

Рассмотрим следующий тип интегралов

xm (a + bxn)p dx:

подынтегральное выражение которых носит название биноми-

нальных дифференциалов.

Теорема Чебышева П. Л. Интегралы от биноминальных

дифференциалов выражаются через элементарные функции в

трех случаях 1. p - целое; 2. : p =

m + 1

p =

s ,

à n - целое; 3.

s à

m + 1

+ p - целое.

n1.

Åñëè p - целое, то получаем

степенную функцию при

целых m è n, или иррациональную функцию при дробных m è n. Способы интегрирования таких интегралов уже рассмотрены.

13.5. Интегрирование биноминальных дифференциалов

187

2.Åñëè p =

m + 1

a + bxn =

s , à

- целое, то делается замена

)

= ts = x = n

¡ a

sts¡1dt

dx =

pb n q(ts ¡ a)n¡

Подставив полученные выражения в интеграл, получим

(ts

sts¡1

a) n

m+1

dt =

(ts

a) n

ts+e¡1dt:

n 1

m+1

b n

(ts ¡ a) n¡

Òàê êàê s, e

m + 1

n являются целыми величинами, то в ре-

зультате, в зависимости от их значений, получим степенную или

дробно рациональную функцию. Смотреть пример 13.18.

3. Åñëè p =

m + 1

+ p целое, то делается замена

s , à

+ b = t =) x = r

ts ¡ b

asts¡1

dx =

n¡1

µ¡(ts

b)2

¶dt:

n r³

ts ¡ b

В результате, получим

n¡1

asts¡

a n

a + b

(ts

¡ b)

dt =

ts ¡ b´

nann¡1

µ¡(ts ¡ b)2

Z (ts ¡ b) n ³

samn

(ts

b)1¡³

+p´

e+s 1

m+1

= ¡

¡ dt:

(ts ¡ b)2

Òàê êàê s, e

m + 1

+ p являются целыми величинами, то в

результате, в зависимости от их значений, получим степенную

или дробно рациональную функцию. Смотреть пример 13.19.

Замечания. Следует отметить, что не всякая элементарная

функция имеет элементарную первообразную функцию. В каче-

стве примера можно привести интегралы от дифференциальных

биномов, для которых не выполнена теорема Чебышева. Следу-

ющие интегралы

dx,

sinx

dx,

cosx

dx,

188	Лекция 13. Некоторые способы интегрирования

ãäå n натуральное число, тоже не выражаются через элемен-

тарные функции. При этом некоторые интегралы не имеющие первообразные в элементарных функциях, играют существенную роль в математике и в ее приложениях. К ним следует отнести

интегралR

e¡x2 dx, который широко используется в теории вероятно-

сти, а также эллиптические интегралы

Z dx Z p

p1 ¡ k2sin2x , 1 ¡ k2sin2x dx, 0 < k < 1:

13.6.Контрольные вопросы

1.Какие типы интегралов от тригонометрических функций вам известны, и как они интегрируются?

2.Какие типы интегралов от иррациональных функций вам известны, и как они интегрируются?

3.Для чего используются постановки Эйлера?

4.Какие тригонометрические подстановки вам известны, и для каких интегралов они применяются.

5.Сформулируйте теорему Чебышева.

13.7. Методические указания по решению примеров

Пример 13.7.

Вычислить

R cos4x

Решение.

t = tgx

tg2x + 1

dt =

cos4x

cos2x

¯tg3x

= Z ¡t2 + 1¢dt =

+ t + C = ¯

+ tgx +¯C:

Пример 13.8. Вычислить

R cosx

Решение.

= Z

(sinx)

= jsinx = tj = Z

cosx

cos2x

1 ¡ t2

+ t

+ C =

+ sinx

¯ + C:

= 2ln ¯

1 ¡ t

2ln

1 ¡ sinx

Пример 13.9. Вычислить¯

xdx:

tg2xdx =

13.7.	Методические указания по решению примеров		189
РешениеZ .	Z ³ 1	´

cos2x

¡ 1 dx = tgx ¡ x + C:

Пример 13.10. Вычислить R sin 5 x ¢ cos 8x d x:

Решение. Преобразуем произведение функций в сумму

			1			5				8					5	8
sin 5x ¢ cos 8x = 2(sin (									¡		) x + sin ( +						) x) =
1		3				13					1			13				3
= 2(sin (¡			x) + sin				x) =				2 (sin				x ¡ sin				x):
Таким образом,								Z (sin 13x ¡ sin 3x) d x =
Z sin 5 x ¢ cos 8x d x = 2								Z (sin 13x ¡ sin 3x) d x =
	³¡13 cos					1							x´
= 2	³¡13 cos							x + 3 cos					x´		+ C:
1				1		13				1		3
1						13				1		3
Решение. Преобразуем					R
Пример 13.11. Вычислить						sin2 x ¢ cos3 x d x:
					подынтегральное выражение

sin2 x ¢ cos3 x d x = sin2 x ¢ cos2 x ¢ cos x d x =

Z= sinZ2 x ¢ (1 ¡ sin2 x) d (sin x) :

sin2 x ¢ cos3 x d x =										(sin2 x ¡ sin4 x) d (sin x) = [ sin x = t ] =
	= Z (t2 ¡ t4) d t =												3			5									sin3 x								sin5 x
												t		¡		t	+ C =													¡					+ C:
												3		¡		5	+ C =									3				¡				5	+ C:
Решение. Преобразуем														R
Пример 13.12.						Вычислить									sin4 2 x d x.
														подынтегральную функцию
							³										´								¡												¢
1	1	2		4			³							8	x		´		1				2				4					4 1				8
1	1	2		4				+ cos							x				1				2				4					4 1				8
sin4 2 x = (sin2 2x)2 =									1		¡ cos 4x							2		= 1						1		¡		2 cos 4x + cos2 4x =
	³												2			´ = 8						4						¡
= 4	³	¡	cos			x + 1					2				4	´ = 8					(				¡		8		cos					x +	+ cos		x) =
						=	1			(	3		¡		4	cos		4		x + cos							8		x) :
						=	8			(			¡			cos				x + cos									x) :
В результате получаем
		Z sin		4 2		x d x =				1			Z	(	3	¡	4		cos			4		x + cos							8		x) d x =
		Z sin				x d x =				8			Z	(		¡			cos					x + cos									x) d x =
					= 8		³	3x ¡ sin 4x + 8 sin																			x´			+ C:
						1															1					8

190	Лекция 13. Некоторые способы интегрирования

Rd x

Пример 13.13. Вычислить

5 + 3 sin x

Решение.

Выразим sin x è cos x через новую переменную

t = tg

x, x

= arctg t, x = 2 arctg t,

2 d t

2 tg

2 t

d x =

1 + t2

t: sin x =

1 + tg2

sin x = 1 + t2 :

d t

2 d t

5 + 3 sin t

1 + t2 ¶ ¢

+ t

5 t2 + 6 t + 5

6 t

5 + 3 sin x = 2 Z

5 t2 +d6 t + 5 =

d x

Выделим полный квадрат

´ =25

³t

5 t + 25 ¡ 25

5 t2 + 6 t + 5 = 5

³t2 + 5 t +

= 5 µ³t + 5´ + 25¶:

Тогда будем иметь

´ ¢

= 2

5 arctg

+ C =

sin x

t + 3

5 Z

+ 16

d x

d t

t + 3

5 tg

+ 3

= 1arctg

+ C:

Решение.

Вычислить

R px ¡ 1

Пример 13.14.

d x.

1)1/2 d x =

¯ =

Z px

1 d x = Z (x

d x¡= 2 t d t , t = px

x 1 = t2, x = t2 + 1 ,

(t2 + 1)2

= Z

t d t =

Z (t4 + 2 t2 + 1) d t =

5 t

3 t

t + C =

= 5q

+ 3q

+ C:

(x ¡

)

(x ¡

)

x ¡ 1

Пример 13.15. Вычислить

R x p9 ¡ x2 .

d x

13.7. Методические указания по решению примеров

191

Решение.. Выполним подстановку x = 3 sin t, d t = 3 cos t d t.

Z x 9

= Z

9 sin t

9 sin2 t

= Z

3 sin t ¢ 3 cos t =

Z sin t =

d x

3 cos t d t

cos t d t

d t

p ¡

¢ q ¡

¯tg

³arcsin

= 1 ln

+ C =

t = arcsin

= 1 ln

+ C:

sin ®

Известно, что tg

, поэтому

1 + cos ®

tg arcsin

sin

³arcsin

´x

+ cos ³arcsin 3

1 + r

1 ¡ sin2

³arcsin 3

x ¢ 3

Ã1 + r

1 ¡ ³3

+ p

¡ x

3 +

Поэтому окончательный ответ

= 9 ln

¯ +

3 +

+ C.

d x

Пример 13.16. Найти R p

dx.

x2 + x + 1

dx = ¯

x2 + x + 1 = t2

2tx + x2

x2 + x + 1

¡ t2 + t + 1

+ x +

= t ¡ x

Z p

¯ x =

, dx = 2

t +

)

(

Z µ

¡ 2t + 1¶

(2t + 1)2

Z ¡

(2t + 1)3¢

= 2

t2 ¡ 1

t2 + t + 1

dt = 2

t2 + t + 1

dt:

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3319 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.2015590.18 Кб18L_r_OpenOffice_org_Impress_samostoyatelno.pdf
#
12.04.20151.56 Mб48makeeva3английсский тех перевод.pdf
#
12.04.20153.28 Mб10Manual.pdf
#
26.09.2019108.03 Кб6marketing_ekzamen.doc
#
11.11.2019231.42 Кб5Markets Дроздова.doc
#
15.03.20161.91 Mб18matanaliz.pdf
#
12.04.20151.18 Mб33matrialka_otvety.docx
#
19.11.2019851.43 Кб14meeting people (2).docx
#
12.04.2015648.06 Кб17mehanika1980.pdf
#
12.04.2015424.45 Кб98MEKhANIKA_FIZIKA.doc
#
12.04.20153.21 Mб6MetodDB.pdf