matanaliz

D

D верхняя часть плоскости x + z ¡ 1 = 0, отсеченная плоскостями y = 0, y = 2 в первом октанте. Рис.19.3.

284Лекция 19. Криволинейные и поверхностные интегралы

19.6.Примеры для самостоятельного решения

1. С помощью криволинейного интеграла второго рода вы- числиòь площадь области D, ограниченной линиями y = x2 è

y = px ;

2. Найти функцию u(x,y), åñëè du(x,y) =(2xy+x2 5)dx+(x2 y3+5)dy.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и дугой эллипса x2/a2 + y2/b2 =1, расположенной в первом

плоскостями z =0 è z =1, нормаль к которой образует тупой угол

11. Вычислить RRS xdydz + ydxdz + zdxdy, åñëè S внешняя сторона цилиндра xRR2 + y2 = R2 с основаниями z =0 è z = H.

12. Вычислить S yzdxdy + xzdydz + xydxdz, åñëè S внешняя сторона пирамиды, гранями которой являются плоскости x =0, y =0, z =0, x + y + z =1.

Ë å ê ö è ÿ 20

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

20.1. Основные понятия и определения.

Пусть G некоторая область.

Определение 20.1 Говорят, что в области G задано скалярное поле u(M), если каждой точке M 2 G ставится в соответствие по известному закону некоторое число u(M):

Определение 20.2. Если в каждой точке M 2 G ставится в соответствие по известному закону некоторый вектор p(M),

то говорят, что в области G задано векторное поле p(M):

Из этих определений видно, что скалярное и векторные поля задаются с помощью задания скалярной или векторной функции многих переменных. Поэтому ранее введенные понятия для функций многих переменных переносятся в теорию полей, такие как, приращение ¢u(M) расстояние между точками поля

½(M, M1) дифференцируемость, гладкость и т. д. Будем обозна-

¡¡¡¡!

чать символом ¢r = M, M1 вектор, соединяющий две точки.

При изучении функции многих переменных, мы уже ввели понятия градиента. В данном случае вводится понятие градиента скалярного поля u(M). В результате получаем век-

тор, компонентами которого являются частные производные.

@u@x ¢ i + @u@y ¢ j + @u@z ¢ k:

дает векторное поле.

Для скалярного поля вводится понятие поверхности уровня это множества точек, в которых значения поля u(M) одинаковы.

Градиент поля в точке M ортогонален поверхности уровня в

этой точке. Еще одно известное понятие это производная по направлению некоторого вектора l:

ãäå cos®, cos¯, cos° направляющие косинусы единичного век-

тора, который имеет такое же направление, как вектор l: Гради-

ент скалярного поля указывает в каждой точке поля направление и величину наиболее быстрого роста значения поля.

В трехмерном пространстве задание векторной величины F

может быть осуществлено путем определения ее проекций на оси координат Px(x, y, z), Qy(x, y, z), Rz(x, y, z), как функций

от координат точки M, с которой связана величина

При изучении векторного поля важную роль играют векторные линии.

Определение 20.3. Векторной линией называется кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора F, в этой точке.

Векторные линии для вектора

Определение 20.4. Векторное поле p(M) является дифферен-

цируемым в точке M, если приращение поля ¢p в точке M может быть представлено в виде

Понятие производной векторного поля p(M) по направлению вектора l такое же, как для скалярного поля

dpdl = Ae, e = icos® + jcos¯ +kcos°:

Определение 20.5 Ротором векторного поля

p =P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k называется вектор rotp, который определяется по формуле

rotp = ³@R@y ¡ @Qdz ´i + ³@Pdz ¡ @Rdx ´j + ³@Qdx ¡ @Pdy ´k: (20.5)

Таким образом, ротор порождает новое векторное поле. Ротор поля дает мгновенную угловую скорость вокруг текущей точки и ее направлений. Поэтому ротор, часто, называют вихрем поля.

288 Лекция 20. Элементы векторного анализа

Дивергенция характеризует плотность источников, если источ- ники поля распределены непрерывно в заданной области.

Пусть в области G ½ R3 задано векторное поле p(M) и имеется замкнутая кривая L

Определение 20.7 Скалярную величину C(p), равную инте-

гралу по замкнутому контуру

I

называют циркуляцией вектора p(M) вдоль кривой L

Циркуляция выражает работу векторного поля по перемещению точки вдоль кривой.

Пусть задано векторное поле p(M). Возьмем поверхность S, и выбрав определенную ее сторону обозначим через cosX, cosY , cosZ направляющие косинусы нормали n ê

S

называют потоком векторного поля p(M) через поверхность S. Формулу (20.8) можноZZзаписать в виде

Ï(p) = P dydz + Qdxdz + Rdxdy:

S

Для упрощения записи приведенных формул, часто используют, предложенный Гамильтоном символический векторный дифференциальный оператор набла

r = i@x@ + j@y@ + k@z@ :

Поток ротора векторного поля через поверхность D равен циркуляции этого потока вдоль границы поверхности L

20.1.2. Специальные поля. В этом разделе рассмотрим два специальных поля, которые имеют широкое применение в прикладных задачах.

Определение 20.8 Векторное поле p(M)=P (M)i + Q(M)j + + R(M)k называется потенциальным, если существует функция u(M), такая , что

p(M) = gradu(M):

Это условие равносильно следующим равенствам:

P = @u@x, Q = @u@y , R = @u@z ,

откуда следует, что выражение P (M)dx + Q(M)dy + R(M)dz является полным дифференциалом функции u(M) Функцию u(M), в этом случае, называется потенциальной функцией или скалярным потенциалом векторного поля p(M)

Иногда дают другое определение потенциальному полю

Определение 20.9 Векторное поле p(M)=P (M)i + Q(M)j +

+ R(M)k называется потенциальным в области G ½ R3, åñëè

циркуляция этого поля по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой в области G равна нулю.

Принимая во внимание формулу (20.11), можно доказать, что в условиях данного определения rotp(M) = 0. Поэтому потенци-

альное поле еще называют безвихревым.

Определение 20.10 Векторное поле p(M) называется со-

линоидальным, или трубчатым, если существует векторное поле g(M) такое, что

p(M) = rotg(M):

Векторное поле g(M) называют векторным потенциалом поля

p(M):

Можно доказать, используя равенство divp(M) = = div (rotg(M)) что необходимым и достаточным условием того, что поле p(M) будет солиноидальным, является условие

divp(M) = 0:

20.2.Контрольные вопросы

1.Дайте определения скалярного и векторного полей.

2.Что такое градиент скалярного поля, и что он характери-

çóåò?