![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
matanaliz
.pdf![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa291x1.jpg)
![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa292x1.jpg)
![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa293x1.jpg)
![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa294x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
20.4. Примеры для самостоятельного решения |
|
|
|
295 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
часть |
плоскости, |
z = 1 ¡ x ¡ y âû- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
резанной |
прямым |
|
круговым |
цилиндром |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 4. Поэтому |
n0 |
= p13 |
( 1; 1; 1) |
|||||||||||||||||||||||
верхности. |
|
|
|
|
|
|
единичный вектор нормали к нашей по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
rota = ( |
@ az |
¡ |
@ ay |
)i + ( |
@ ax |
¡ |
@ az |
)j + ( |
@ ay |
¡ |
@ ax |
)k, |
|
|||||||||||||||||||||||||
@y |
@z |
@z |
|
@x |
@x |
@y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
rota = 0 |
|
i |
|
1 |
|
j + ( |
3 |
|
|
1)k: Тогда rota |
|
n0 = p1 |
|
|
( 1 |
10) = |
|||||||||||||||||||||||
= ¡ |
|
|
|
¢ |
|
¡ |
|
¢ |
|
|
|
¡ ¡ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
3 |
¢ |
¡ ¡ |
3 |
|||||||||
313p |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZZ dS = ¡ |
|
|
|
|
ZZ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C = ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
313p |
|
|
|
313p |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z Z |
S |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
13 |
|
4 |
|
|
|
|
|
52 |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ¡ 3 |
|
dxdy = ¡ 3 ¢ |
|
¼ = ¡ 3 ¼ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как двойной интеграл является площадью круга радиуса 2.
20.4. Примеры для самостоятельного решения
1. Вычислить дивергенцию векторного поля
a(M) =(xy+z2)i+(yz+x2)j+(zx+y2)k в точке Ì(1,3, 5).
2. Вычислить поток векторного поля
a(M) = (x 3z)i + (x+2y + z)j+(4x + y)k через верхнюю часть плос-кости x + y + z =2, лежащую в первом октанте.
3. Вычислить поток векторного поля a(M) =2xi+yj+3zk ÷å-
рез часть поверхности эллипсоида , лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.
4. Вычислить поток векторного поля a(M) = (x y)i + (x + + y)j + z2k через поверхность цилиндрического тела, ограни- ченного поверхностями x2 + y2 =1, z =0 è
внешней нормали.
5. Вычислить дивергенцию вектора напряженности магнитного поля H =(21/r)( yi+xj), создаваемого током I,проходящим
по бесконечно длинному проводу. 3 3 3
6. Найти поток Ïвекторного поля a(M) = x i + y j + z k че- рез поверхность шара x2 + y2 + z2 = R2 в направлении внешней нормали.
![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa295x1.jpg)
296 Лекция 20. Элементы векторного анализа
7. Вычислить поток Ï векторного поля
+17zk через часть плоскости x+2y+3z =1, расположенной в
первом октанте. Нормаль составляет острый угол с осью Oz.
8. Найти поток Ï вектора a =xi 2yj zk через замкнутую поверхность S, ограниченную поверхностями 1 z = x2 + y2, z =0
в направлении внешней нормали. 2 2
9. Найти поток Ïвектора a = x i + z j через часть поверхности z2 =4 x y, лежащую в первом октанте, и части координат-
ных плоскостей, отсекаемых этой поверхностью, в направлении внешней нормали. 2 2
10. 1. Найти дивергенцию поля grad u, åñëè u =ln(x + y +
+ z2);
2. Вычислить поток Ï векторного поля a(M) =xi+3yj+2zk
через верхнюю часть плоскости x + y + z =1, расположенную в
первом октанте. xy2 11. 1. Найти дивергенцию векторного поля a(M) = i +
+x2yj+z3k в точке Ì(1, 1,3);
2.Вычислить поток векторного поля a(M) =3xi yj zk через поверхности 9 z = x2 + y2, x =0, y =0, z =0, ограничивающее
некоторое тело, в направлении внешней нормали. 2 2 12. Найти циркуляцию векторного поля a(M) = z i + x j +
+ y2k по сечению сферы x2 + y2 + z2 = R2 плоскостью x + y + + z = R в положительном направлении обхода относительно
вектора n =(1,1,1).
13. Найти циркуляцию векторного поля a(M) = y2i+xyj+ +(x2 + y2)k по контуру, вырезаемому в первом октанте из параболоида x2 + y2 =Rz плоскостями x =0, y =0, z = R â ïîëî-
жительном направлении обхода относительно внешней нормали поверхности параболоида. zy2
14. Вычислить циркуляцию векторного поля a(M) = i+ +xz2j+yx2k по контуру пересечения параболоида x = y2 + z2 ñ
плоскостью x =9 в положительном направлении обхода относительно орта n0 = i.
20.4.1.Ответы. 1. 1. 2. 26/3. 3. 24¼. 4. 4¼. 5. divH =0.
6.12¼R2/5. 7. 1. 8. ¼. 9. 19 53 . 10. ¦ =1. 11. ¦=81¼/8. 12. 3¼R4/2. 13. R3/3. 14. 729¼. 105
Ë å ê ö è ÿ 21
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
21.1. Основные понятия и теоремы
Пусть задана |
бесконечная |
последовательность |
чисел |
a1, a2, ¢¢¢ , an, ¢¢¢ |
Составленный |
из этих чисел |
символ |
a1 + a2 + ¢¢¢ + an + ¢¢¢ называется числовым рядом. Пользуясь знаком суммы, числовой ряд обозначается следующим образом
X1
|
an: |
|
(21.1) |
|
n=1 |
|
|
Определение 21.1. |
Сумму конечного числа членов ряда назы- |
||
вают частичной суммой ряда |
|
|
|
|
m |
|
|
|
X |
|
|
|
Sm = |
an: |
(21.2) |
n=1
Определение 21.2. Если существует конечный предел Sm = = S , то ряд называется сходящимся, а предел S является
суммой ряда. В случае если этот предел равен §1, èëè íå
называют ряд |
1 |
nP |
|
существует, то ряд является расходящимся1 |
. |
||
Пусть задано два ряда (21.1) и ряд |
=1 bn: Тогда суммой рядов |
X
(an + bn):
n=1
Если у ряда (21.1) отбросить первые m членов, то оставшуюся
часть |
1 |
|
Rm = |
X an |
(21.3) |
n=m+1
называют остатком ряда.
21.1.1. Критерий Коши сходимости ряда. Для сходимости ряда (21.1) требуется, чтобы последовательность Sm áûëà сходящей. Из теории последовательностей известно, что для ее
![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa297x1.jpg)
298 Лекция 21. Числовые ряды
сходимости необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (теорема 1.17). Следовательно, можно сформулировать следующее утверждение
Теорема 21.1. (критерий Коши) Для сходимости ряда (21.1)
необходимо и достаточно, чтобы для 8" > 0 9N > 0 такое,
что при выполнении неравенства n > N äëÿ 8p > 0 выполнено
неравенство jSm+p |
¡ Smj < ": |
|
|
|
|
|
|
||||||
Из этого критерия можно получить другую формулировку. |
|||||||||||||
Теорема |
21.2. |
|
Для сходимости ряда |
(21.1) |
необходи- |
||||||||
мо и достаточно, чтобы сходился ряд (21.3). |
Ïðè ýòîì |
||||||||||||
lim Rm = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ряд сходится, то выпол- |
|||||||||||||
нено условие mlim Sm |
= S: |
Rm = S ¡ Sm =) mlim Rm |
= S ¡ |
||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
||
¡ mlim Sm = 0: С другой стороны, если сходился ряд |
(21.3), |
||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (Sm + Rm) = S .¤ |
||||
то из равенства S = Sm + Rm имеем |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m!1 |
|
|
|
|
Отметим следующие свойства рядов: 1. Отбрасывание конеч- |
|||||||||||||
ного числа членов ряда не влияет на его сходимость, что следует |
|||||||||||||
из теоремы 21.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Умножение каждого члена ряда на постоянное число тоже |
|||||||||||||
не влияет на его сходимость. Это следует их следующего равен- |
|||||||||||||
ñòâà. |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
®an = ® |
an: |
|
|
|
|
|||
сходящийся. |
P |
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
P |
|
|
|
||
|
SP |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Åñëè ðÿäû |
1 an, 1 bn сходящиеся, то ряд |
1 |
(an + bn) òîæå |
||||||||||
|
n=1 n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||
|
Пусть |
|
nP |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
è S1 суммы рядов |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
an, |
bn. Тогда имеем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
|
(an + bn) = |
|
an + bn = S + S1: |
|
|
||||||||
n=1 |
nP |
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21.1.2. |
Необходимое1 |
условие сходимости рядов. Теоре- |
|||||||||||
ìà 21.3. Åñëè ðÿä |
|
=1 an сходится, то справедливо условие |
|||||||||||
|
|
|
|
|
mlim!1 am = 0: |
|
|
|
(21.4) |
||||
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ |
т в о. Из сходимости ряда сле- |
||||||||||||
äóåò lim Sm = S, |
è |
величина |
S конечная |
ïðè |
любом |
êîëè- |
|||||||
m!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa298x1.jpg)
21.2. Ряды с положительными членами |
299 |
честве членов в частичной сумме Sm. Принимая во внима-
ние равенство am = Sm ¡ Sm¡1, получим mlim am = mlim Sm ¡ |
|
!1 |
!1 |
¡ mlim Sm¡1 = S ¡ S = 0¤. |
|
!1 |
|
21.2. Ряды с положительными членами
Будем исследовать ряды, элементы которых являются положительными числами. Для этих рядов справедливы все утверждения, рассмотренные в предыдущих пунктах.
21.2.1. Признаки сравнения. Теорема 21.4. (Первый признак сравнения) Пусть заданы два ряда
X1 X1
1: an, 2: bn,
n=1 n=1
и начиная с некоторого числа N, выполнено условие an 6
6 bn, n > N. Тогда из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Принимая во внимание свойство 1, т. е. отбрасывание конечного числа членов не влияют на сходимость ряда, будем считать, что неравенство an 6 bn выполнено для всех членов рядов. Обозначим частичные суммы рядов символами Sm1, Sm2 соответственно. Тогда из неравенства an 6 bn
следует условие Sm1 6 Sm2. Рассмотрим две последовательности fSm1g, f Sm2g. Тогда из условия Sm1 6 Sm2 следует неравенство
lim Sm1 6 lim Sm2 =) S1 6 S2,
m!1 m!1
ãäå S1, S2 - суммы рядов. Из условия S1 6 S2 следует справед-
ливость теоремы. ¤
Теорема 21.5. (Второй признак сравнения) Пусть заданы два ряда. Если существует предел
lim an = K, (0 6 K < +1),
m!1 bn
то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда , а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда . Если 0 < K < +1, то оба ряда сходятся или
расходятся.
![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa299x1.jpg)
![](/html/2706/1/html_SZVvAVqWx9.hY5j/htmlconvd-KAeFFa300x1.jpg)