1.4. Некоторые основные законы распределения непрерывных случайных величин

1.4.1. Равномерное распределение

Случайная величина Xнепрерывного типа называетсяравномернораспределеннойна отрезке [a, b] (подчиняется законуR(a,b)), если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

(1.43)

При этом для M(X),D(X),(X) справедливы формулы:

(1.44)

Равномерное распределение реализуется в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на отрезке [a,b] (X– абсцисса поставленной точки), а также в экспериментах по измерению тех или иных физических величин с округлением (здесьX – ошибка округления).

Равномерное распределение имеют ошибки грубых измерений при помощи инструментов с крупными делениями, когда измеренное значение округляется до ближайшего целого (или до ближайшего меньшего, или до ближайшего большего). Например, ошибка (в см) измерения длины с помощью линейки с сантиметровыми делениями имеет равномерное распределение на участке , если округление производится до ближайшего целого, и на участке [0; 1], если до ближайшего меньшего. Также равномерное распределение имеет ошибка (в мин.) указания времени часами со скачущей минутной стрелкой. К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, можно отнести также время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом [0,Т], угол поворотахорошо уравновешенного колеса, если оно приводится во вращение и останавливается в результате трения.

1.4.2. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина Xраспределена по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

(1.45)

где – параметр распределения,> 0.

Числовые характеристики СВ Х, имеющей показательное распределение вычисляются по формулам:

(1.46)

Показательное распределение часто встречается в теории массового обслуживания (время ожидания при техническом обслуживании, длительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции и др.), а также в теории надежности (срок безотказной работы радиоэлектронной аппаратуры).

Если имеется простейший поток событий с интенсивностью , то величина интервала времениTмежду двумя соседними событиями имеет показательное распределение с параметром.

1.4.3. Нормальное распределение

Непрерывная СВ Xимеет нормальное распределение, если ее плотность распределения имеет вид:

(1.47)

где aи– параметры нормального распределения,> 0.

Функция распределения нормально распределенной СВ Xопределяется формулой:

(1.48)

Числовые характеристики M(X) иD(X) соответственно равны:M(X) =a,D(X) =².

Важную роль в теории играет центрированная и нормированная СВ X, для которойa= 0,= 1. Иногда такое распределение СВXназываетсястандартным. Плотность распределения нормальной стандартной СВобозначается(x), где

(1.49)

Функция распределения стандартной СВ Xимеет вид:

(1.50)

и называется функцией Лапласа.

Для удобства вычислений вводят функцию

(1.51)

также называемую функцией Лапласаилинормированной функцией Лапласа.

Эти две функции связаны соотношениями:

(1.52)

Функция Лапласа (X) обладает свойствами:

1) Ф(0) = 0, 2) Ф(–x) = – Ф(x) (нечетная функция); 3) Ф(+) = 0,5.

График плотности распределения вероятности нормально распределенной СВ Xназываетсянормальной кривой или кривой Гаусса.

Рис. 3

Вероятность попадания значений СВ X, имеющей нормальное распределение с параметрамиаи, на участок (x₁;x₂)выражается формулой:

(1.53)

Если участок (,) симметричен относительноa, то вероятность попадания в него

(1.54)

где – половина длины участка.

Нормальное распределение имеет исключительно важное значение в теории вероятностей.

Нормальному закону подчиняются, при определенных условиях, ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, ошибки стрельбы, величина шума в радиоприемном устройстве.

Главная особенность нормального закона распределения состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения.

Например, при обработке деталей на станке-автомате, отклонение размеров деталей от номинального вызывается многими причинами. К ним относятся: колебание режима обработки, неточности установки и базировки деталей в приспособлении, износ режущего инструмента, неоднородность обрабатываемого материала, износ деталей станка и т. д. Каждая из этих причин влияет на размер деталей. Поэтому отклонение фактического размера детали от нормального можно представить как сумму большого числа отклонений, вызванных перечисленными выше причинами. Если слагаемые отклонения примерно одного порядка, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей распределение, асимптотически приближающееся к нормальному.

Условия, при которых эти случайные величины иасимптотически нормальны, составляют содержание различных формулировок центральной предельной теоремы для одинаково распределенных и различно распределенных случайных величин.

Теорема 1.Если случайные величиныX₁,X₂, …,X_nнезависимы, одинаково распределены и имеют конечныеM(X_i) =aиD(X_i) =²> 0, то

Теорема 2(Ляпунова).Если случайные величиныX₁,X₂, …,X_nнезависимы и имеют конечныеM(X_i) =a_i,тогда

где если