Министерство науки и образования рф
Волгоградский государственный технический университет
Кафедра «Высшая математика»
М.И. Андреева, Р.Е. Горелик, О.К. Чесноков, Н.В. Чигиринская
Случайные величины
и законы их распределения
Учебное пособие
Волгоград
2010
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Основные способы задания случайных величин
1.1.1. Случайная величина. Примеры случайных величин
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Примерами СВ могут служить: число выстрелов до первого попадания в цель; время безотказной работы прибора; текущий курс рубля по отношению к другой валюте; количество бракованных деталей в партии; температура воздуха в определенной местности в определенное время; суммарная величина выплат страховой компании в течение определенного периода.
Приведем понятие случайной величины в теоретико-множественной трактовке.
Пусть (,
P)
– произвольное вероятностное пространство.
Числовая функцияX(),
определенная на пространстве элементарных
событий, называется
случайной величиной, если для любого
действительного числаx
(1.1)
где
– сигма-алгебра событий.
Если в
включаются все подмножества,
то (1.1) очевидно выполняется.
В дальнейшем случайные величины будем обозначать большими латинскими буквами, а принимаемые ими значения соответствующими малыми.
Для описания СВ следует задать ее возможные значения и определить соответствующие им вероятности.
Законом распределения вероятностей СВназывается любое правило, позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной, например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет в какой-то промежуток.
1.1.2. Дискретные случайные величины
Если множество возможных значений случайной величины конечно или счетно, то такая СВ называется дискретной, ее значения могут быть перечислены и распределены в порядке возрастания.
СВ X– число попаданий в мишень при трех выстрелах – дискретна. Ее возможные значения: 0, 1, 2, 3. Другая случайная величинаT– время безотказной работы прибора – не является дискретной, так как ее возможные значения целиком заполняют некоторый промежуток числовой прямой.
Простейшей формой закона распределения дискретной случайной величины Хявляется ряд распределения – таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значенияx1,x2, …,xnилиx1,x2, …,xi, … в порядке их возрастания, а в нижней – соответствующие им вероятностиp1,p2, …,pi, …
|
xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
(1.2)
или
|
xi |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
|
pi |
p1 |
p2 |
… |
pi |
… |
(1.3)
где pi = P(X = xi).(1.4)
Так как события (X=x1), (X=x2)… несовместны и образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна 1
(1.5)
Закон распределения дискретной СВ можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения СВ X, а на оси ординат - вероятности принятия случайной величиной этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (x1,p1), (x2,p2) … называютмногоугольником распределения.
Схематический вид многоугольника распределения СВ X, принимающей конечное множество значений {x1,x2, …,xn} изображен на рисунке 1.
Рис. 1