1.1.3. Функция распределения

Наиболее общей формой закона распределения СВ является функция распределения вероятностей.

Функцией распределения F(x) случайной величины Xназывается функция действительного аргументаx, значение которой для любогоxравно вероятности события (X<x).

F(x) =P(X<x). (1.6)

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1, –  < x < ;

2. 

3. F(x) – неубывающая функция на всей числовой оси;

4. F(x) – непрерывна слева, т. е.

Вероятность попадания случайной величины на произвольный промежуток действительной оси [x₁;x₂) определяется формулой

P(x₁≤X<x₂) =F(x₂) –F(x₁). (1.7)

Для дискретной СВ Xфункция распределенияF(x) представляет собой разрывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют возможным значениямx₁,x₂, … случайной величиныXи равны вероятностямp₁,p₂, … этих значений; между скачками функцияF(x) сохраняет постоянное значение.

Для дискретных СВ Xфункция распределенияF(x) задается формулой

(1.8)

На рисунке 2 схематически изображен график функции распределения дискретной случайной величины X, принимающей конечное множество значений {x₁,x₂, …,x_n}.

Рис. 2

1.1.4. Непрерывные и смешанные случайные величины

Многие случайные величины не являются дискретными, например: время безотказной работы прибора, погрешность измерения некоторой величины, расстояние от точки попадания до центра мишени, дальность обнаружения объекта радиолокатором. У всех этих СВ множество возможных значений, совпадает с некоторым промежутком числовой прямой.

Если функция распределения F(x) СВXпри любомxнепрерывна и, кроме того, имеет производнуювезде, кроме, может быть, отдельных точек разрыва первого рода, то случайная величина называетсянепрерывной.

Если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывно возрастает, а в отдельных точках имеет разрывы I рода, то случайная величина называетсясмешанной. ФункцияF(x) для смешанной случайной величины, как и для дискретной, непрерывна слева.

Для непрерывной СВ Xвероятность принятия этой величиной каждого отдельного значения равна нулю

P(X=x) = 0 (1.9)

и справедливо утверждение

P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a). (1.10)

Для смешанной случайной величины вероятность принятия этой величиной каждого отдельного значения, принадлежащего участку непрерывности F(x), также равна нулю, а вероятность принятия случайной величиной каждого из тех значенийx₁,x₂, …, в которых функцияF(x) совершает скачки, численно равна значениям соответствующих скачков.

Плотностью распределения вероятности (или плотностью распределения или дифференциальной функцией распределения) непрерывной СВ Xназывается такая неотрицательная кусочно-непрерывная функцияf(x) (P_X(x)), что при любыхxRвыполняется равенство

(1.11)

Для любой непрерывной СВ существует плотность распределения. Отметим важные свойства плотности распределения:

1) (1.12)

2) (1.13)

в точках непрерывности .

Для непрерывной СВ Xс плотностью распределенияf(x)

(1.14)