1.1.5. Операции над дискретными случайными величинами

Пусть заданы две дискретные случайные величины: СВ X, принимающая значенияx_iс вероятностямиp_i=P(X=x_i),i = 1, 2, …,nи СВY, принимающая значенияy_jcвероятностямиp_j=P(Y=y_j),j= 1, 2, …,m.

Суммой (разностью, произведением) этих случайных величинназывается дискретная СВZ=X+Y(Z=X–Y,Z=XY), принимающая значенияz_ij = x_i+y_j(z_ij = x_i–y_j;z_ij = x_iy_j) с вероятностямиp_ij=P(X=x_i;Y=y_j) для всех указанных значенийiиj. В случае совпадения некоторых суммx_i+y_j(разностейx_i–y_j, произведенийx_iy_j) соответствующие вероятности складываются.

Произведением дискретной СВ X на число с называется дискретная случайная величинасX, принимающая значениясx_iс вероятностямиp_i=P(X=x_i).

Аналогично определяются сумма и произведение любого конечного числа дискретных случайных величин.

Две дискретные случайные величины XиYназываютсянезависимыми, если события (X=x_i) =A_iи (Y=y_j) =B_jнезависимы для любыхi= 1, 2, …,nиj= 1, 2, …,m, то есть

P(X = x_i; Y = y_j) = P(X = x_i)  P(Y = y_j). (1.15)

В противном случае СВ Xи СВYназываютсязависимыми. Несколько дискретных случайных величин называютсявзаимно независимыми (независимыми в совокупности), если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

1.2. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью определяет случайную величину, однако при решении практических задач полезно знать некоторые числовые параметры, характеризующие существенные черты закона распределения случайной величины, ее числовые характеристики.

Важнейшими среди них являются характеристики положения: математическое ожидание М(X), модаМ₀(X), медианаМ_Д(X) и др.; характеристики рассеивания: дисперсияD(X), среднее квадратическое отклонение(X) и др.

1.2.1. Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной СВ Xназывается сумма произведений всех ее возможных значенийx_iна соответствующие им вероятностиp_i:

(1.16)

Если множество возможных значений СВ Xсчетно, то сумма, стоящая в правой части равенства будет представлять собой числовой ряд. Математическое ожидание таких СВXбудет существовать, если рядсходится абсолютно.

Математическим ожиданием непрерывной СВ X с плотностью вероятности f(x)называется число

. (1.17)

Интеграл в правой части равенства (1.17) должен абсолютно сходиться (в противном случае для непрерывной СВ XМ(X) не определено).

Математическое ожидание смешанной случайной величины с функцией распределения F(x) вычисляется по формуле

,

где сумма распространяется на все точки разрыва функции распределения, а интеграл – на все участки ее непрерывности.

Математическое ожидание СВ Xлюбого типа характеризует среднее ожидаемое значение СВX.

1.2.2. Свойства математического ожидания

1) M(с) =с, гдес=const.

2) M(сX) =cМ(X), гдес=const.

3) M(X + Y) = М(X) + М(Y).

4) M(X₁ + X₂ + … +X_n) =М(X₁) +М(X₂) + … +M(X_n).

5) Для независимых случайных величин XиY

M(XY) =М(X)М(Y).

1.2.3. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Дисперсией СВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой СВ от ее математического ожидания.

(1.18)

Дисперсия характеризует разброс значений СВ Xотносительно ее математического ожидания. Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления.

Для дискретной СВ Xдисперсия вычисляется по формуле

(1.19)

Для непрерывной СВ Xдисперсия находится по формуле

(1.20)

С использованием свойств математического ожидания доказывается другая формула для нахождения дисперсии, которая удобна для практического применения:

(1.21)

Это соотношение позволяет записать формулы для вычисления дисперсии в другом виде:

для дискретной СВX;

для непрерывной СВX.

Свойства дисперсии

1) D(с) = 0, гдес=const.

2) M(с X) =c²D(X), гдес=const.

3) Для независимых СВ X и СВY

D(X+Y) =D(X) +D(Y).

4) Для независимых СВ X и СВY

Средним квадратическим отклонением СВ Xназывается квадратный корень из ее дисперсии

(1.22)