17.7.3. Процедура отбора оптимальных уравнений

Выбираются уравнения, оценки которых дают следующие результаты: шаг, на котором увеличивается коэффициент множественной корреляции (R), оставаясь затем на последующих шагах практически постоянным.

Шаг, на котором показатель остаточной суммы квадратов отклонений от регрес-

сии (SSr ) испытывает наибольшие изменения по сравнению с предшествующим и последующим шагами.

Шаг, на котором доля изменчивости, предсказанная регрессией, или предска-

занная сумма квадратов отклонений (SS d ), увеличивается с наибольшим вкладом.

Шаг, на котором остаточный средний квадрат ошибки уравнения регрессии

( M sr ) стабилизируется – т.е. уменьшение остаточной суммы квадратов отклонений компенсируется уменьшением числа степеней свободы κr или увеличением числа объясняющих переменных р.

Средняя квадратическая ошибка (S ) резко меняется от данного шага к следующему, а на остальных шагах при включении дополнительных членов уравнения остается практически неизменной.

F-критерий, в целом отражающий суммарный эффект ухудшения схемы при невключении данного предиктора или улучшения ее при его включении, начинает убывать.

Наиболее информативным для статистического анализа качества уравнений рег-

рессии являются показатели SSr , F, R, S , на них следует обращать особое внимание при выборе оптимальных уравнений связи.

Атмосферные процессы нестационарны, поэтому диагностические статистические зависимости теряют с течением времени свою значимость. Для преодоления подобных трудностей необходимо обновление исходной выборки по мере пополнения архива, непосредственно примыкающих к срокам прогноза.

17.8.Пример построения линейных уравнений

вслучае двух и трёх переменных

Рассмотрим линейную связь между двумя переменными Y и X. Общий вид уравнения регрессии (связи) в этом случае –

y = ax + b ,

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

где a – коэффициент линейной регрессии, b – свободный член

Из аналитической геометрии известно, что если прямые проходят через некото-

−−

рую точку с координатами ( x, y ), то уравнения этих прямых имеют вид:

Средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии:

Sy = ±σy 1 − r2 .

Коэффициент a показывает уровень корреляционной связи данного уравнения.

Средняя ошибка коэффициента корреляции

Вероятная ошибка коэффициента корреляции

Ey = ±0.67σr .

Тогда вероятное значение коэффициента корреляции заключено в пределах r ± Er .

Связь между двумя переменными может быть представлена графически (рис.

17.11):

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

60

y = 11.18x - 0.18

50

40

Y 30

20

10

0

X

Рис. 17.11. График связи между двумя переменными X и Y

Уравнение линейной корреляционной связи между тремя переменными имеет

вид

Z = ax + by + c .

Уравнения таких прямых имеют вид:

− − −

z − z = a(x − x)+ b(y − y) .

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии:

Средняя квадратическая ошибка общего коэффициента корреляции:

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

Вероятная ошибка коэффициента корреляции:

ER = ±0.67σR .

Коэффициенты a, b и c рассчитывается по формулам:

ных и подставить известные величины в уравнения для связи между двумя переменными:

17.9.Построение схемы прогноза на основе дискриминантного анализа

Для прогноза метеорологических величин и явлений погоды широко применяются методы параметрического и непараметрического дискриминантного анализа.

Дискриминантные схемы прогноза не указывают непосредственно на количественные оценки метеорологической величины, а дают возможность оценить наличие явления или его отсутствие, например, будет или нет резкое похолодание, произойдет или нет усиление ветра до той или иной градации и др. Такие прогнозы называются альтернативными. Удобно использовать данный подход при прогнозировании явлений погоды, которые трудно выразить количественно – грозы, туманы, гололед и др.

На первом этапе важно выявить синоптические ситуации, метеорологические условия, благоприятствующие наличию или отсутствию данного явления. По сочетанию объясняющих переменных требуется решить, к какому классу можно отнести данное событие.

В зависимости от способа классификации, различают параметрические (локальные) и непараметрические (интегральные) методы дискриминантного анализа.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

Впараметрическом дискриминантном анализе принимается, что рассматриваемые объекты извлекаются из нормальных генеральных совокупностей. При значительных отклонениях закона распределения случайной величины от нормального предпочтительнее использование непараметрического дискриминантного анализа.

При применении как параметрического, так и непараметрического дискриминантного анализа положительные результаты следует ожидать, когда выбранные предсказатели хорошо отражают физическую сущность развития явлений погоды.

Вкачестве предикторов выбираются объясняющие переменные, которые наиболее ярко проявляют себя в случае наличия и отсутствия явления. Таким образом необходимо оценить расстояния между классами.

Для оценки репрезентативности предсказателей, позволяющих отнести исходную совокупность признаков к определённому классу, используется расстояние Маха-

лонобиса в случае одной объясняющей переменной ( ∆2 1 ) и двух объясняющих пере-

менных ( ∆2 2 ):

где

M(x)i – математическое ожидание при наличии явления,

M(x)j – математическое ожидание при отсутствии явления,

σ– среднее квадратическое отклонение.

Впрогностические схемы включаются переменные, дающие наибольший вклад

врасстояние Махалонобиса.

Затем строится уравнение дискриминантной функции (решающее правило):

U = a 0 + a1 X1 + a 2 X 2 +. ..+a n Xn ,

где a 0 , a1 , a 2 , ... , a n – коэффициенты уравнения регрессии, X1 , X2 , . .. , Xn – объяс-

няющие переменные.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

Вектор Х считается отнесённым к реализации W1 (например, наличие явления)

при U≥0, и к реализации W2 (например, отсутствие явления) при U<0. Задача, таким образом, сводится к определению коэффициентов a 0 , a1 , a 2 , . . . , a n , минимизирующих вероятность ошибочной классификации с использованием метода наименьших квадратов.

В случае двух объясняющих переменных разделение на классы может быть представлено графически (рис. 17.12, 17.13), что очень наглядно демонстрирует прогностические возможности выбранных предикторов.

Нередко оценка полученных уравнений показывает, что одни уравнения более целесообразно использовать для прогноза класса наличия явления, другие – для класса его отсутствия.

Повышение качества прогнозов на основе линейного дискриминантного анализа может быть достигнуто, если для разделения синоптических ситуаций использовать одновременно две дискриминантные функции и альтернативные прогнозы давать с учетом сочетания знаков этих функций.

Тогда если две схемы (или более) указывают на наличие или отсутствие явления, прогнозировать тот или иной класс можно с большей уверенностью.

17.12.Связь метеорологических параметров А и B при наличии (точки)

иотсутствии (звездочки) явления (разделение хорошее)

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

Рис. 17.13. Связь метеорологических параметров С и Д при наличии (точки) и отсутствии (треугольники) явления (разделение неудовлетворительное)

Для уточнения величины прогнозируемого явления применяется приём сочетания дискриминантного и регрессионного анализов. После использования решающего правила, позволяющего отнести синоптическую ситуацию к тому или иному классу, рассчитывается ожидаемая величина явления (например, сильного ветра) с помощью уравнений множественной линейной регрессии, которые строятся отдельно для выборок наличия или отсутствия явления. В случае сложных синоптических ситуаций, когда вероятность осуществления классов близка, ожидаемая величина явления рассчитывается по общей выборке без разделения ситуаций.

17.10. Концепции применения статистических методов для построения способов прогноза погоды

Современные методы статистического анализа и прогноза погоды и опасных ее явлений допускают применение двух концепций - использования статистик "идеального" прогноза (Perfect Prognos Methods – PP) и прогнозов конкретных гидродинамиче-

ских моделей (Model Output Statistics Methods – MOS).

Данные концепции идентичны по используемому статистическому аппарату и различаются способами формирования обучающих выборок.

iКонцепция РР предполагает получение устойчивых оценок диагностиче-

ских (синхронных и асинхронных) связей между рассматриваемыми эле-

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

ментами или явлениями погоды и значениями ряда характеристик атмосферы, определяемым по фактическим данным на архивном материале.

Выявленные диагностические соотношения, например, в виде уравнений регрессии, переносятся на связи между элементами погоды и прогностическими переменными, которые снимаются с прогностических карт, построенных с помощью той или иной гидродинамической модели.

Неоспоримы достоинства РР-концепции:

•Уравнения регрессии строятся на основе архивных данных за большой период метеорологических наблюдений;

•Качество прогнозов элементов и явлений погоды автоматически повышается при улучшении качества используемых гидродинамических моделей;

•Не требуется пересчета уравнений регрессии при внедрении в практику новой гидродинамической модели.

При применении концепции РР для отбора предикторов используется сравнительно большая географическая область вокруг пункта, для которого составляются прогностические уравнения регрессии.

Недостатки PP-концепции:

•Основным методическим недостатком РР-концепции является то, что в ней не учитываются ошибки конкретной гидродинамической модели, из которой при оперативном использовании берутся значения предикторов. Уравнения регрессии построены на фактическом материале (идеальный прогноз), а при оперативном использовании полученные связи в «чистом» виде переносятся на прогностические поля, из которых выбираются необходимые предикторы для прогноза метеорологических величин и явлений погоды. При этом мы допускаем, что прогностические поля отражают те же особенности пространственно-временного распределения метеорологических величин и условий циркуляции, что и фактические. На самом деле прогностические модели, лежащие в основе прогноза полей метеорологических величин, не могут учесть всего разнообразия процессов, их формирующих.

Этот процесс можно сравнить с процессом разработки дизайнером модели нарядного платья из тонкого шелка, а на практике модель сошьют по той же выкройке, но из грубой льняной ткани – модель одна и та же, но конечный результат будет отличным от модельного, разработанного автором.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

По мере совершенствования гидродинамических моделей прогностические поля всё более приближаются к фактическим, но всё же между ними остаются более или менее существенные различия.

Поэтому для уменьшения методической ошибки в уравнения регрессии можно ввести коэффициенты, учитывающие несоответствие прогностических и фактических полей метеорологических величин.

Второй путь – это использование для построения прогностических моделей концепции MOS.

iКонцепция MOS предполагает отбор предикторов и построение уравне-

ний регрессии непосредственно для связей между фактически наблюдавшимися явлениями погоды и прогностическими значениями параметров атмосферы из конкретной гидродинамической модели.

Достоинства MOS-концепции:

•При оперативном использовании построенные уравнения регрессии применяются в сочетании с теми же гидродинамическими моделями, на которых производилось обучение.

Здесь исключается замеченный выше методический недостаток РР-концепции. Уравнения регрессии, построенные в соответствии с MOS-концепцией, действительно наилучшим образом используют прогностическую способность конкретных гидродинамических моделей.

Вэтом основное достоинство MOS-концепции по сравнению с РР-концепцией, которое останется решающим до тех пор, пока гидродинамические прогнозы не станут практически достоверными.

•Качество прогнозов на основе концепции MOS тем выше, чем выше качество прогностических моделей, чем больше полнота и разнообразие получаемых из моделей метеорологических величин и явлений погоды и чем больше архивы прогностических гидродинамических полей, что позволяет построить зависимости для различных пунктов прогнозирования и для разных сезонов года.

Недостатками MOS-концепции являются:

•Качество прогнозов каждый раз ухудшается, когда в гидродинамические модели происходят перестройки, в том числе, и улучшающие модель. Следовательно, для

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии