дисперсию, а среднее квадратическое отклонение σ, вычисляемое как корень квадрат-

ный из дисперсии:

iАсимметрия характеризует неодинаковую повторяемость метеорологиче-

ской величины относительно среднего значения или неодинаковость промежутков времени, в течение которых данная метеорологическая величина имеет значения выше средней или ниже средней

•Четвёртый центральный момент используется для оценки крутости кривой распределения по сравнению с нормальной кривой распределения. В качестве меры крутости используют коэффициент эксцесса

E= µ4 = ∑i(xi − ξ)4 pi .

σ4 σ4

iЭксцесс характеризует островершинность (крутость, "пикообразность")

распределения

17.3.2. Нормальный закон распределения

Одним из многих типов распределений, имеющихся в Природе, является нормальный закон, впервые рассмотренный А. Муавром в 1733 г. и в 1809-1812 гг. снова открытый и независимо изученный К. Гауссом и П. Лапласом.

Случайная величина называется распределённой нормально, если она имеет плотность распределения следующего вида:

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

где -∞<x<∞, f (х) – плотность распределения вероятности, а оценки распределения M(x) и D есть

математическое ожидание и дисперсия случайной величины (в случае стандартного нормального распределения равны, соответственно 0 и 1).

Данная функция имеет вид колоколообразной кривой (рис. 17.2), параметр М(х)

– точка максимума, проходящая через ось симметрии, параметр σ характеризует рас-

стояние от оси Y до точки перегиба. Если σ мало, то кривая распределения заостренная и высокая, если σ велико – широкая и плоская.

У симметричного распределения асимметрия равна 0. Если асимметрия существенно отличается от 0, то распределение асимметрично.

Если плотность распределения имеет правый «хвост» (в вариационном ряду преобладают варианты, большие среднего значения), то As>0 – правосторонняя асимметрия, если левый «хвост» – As<0 – левосторонняя асимметрия (в вариационном ряду

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

преобладают варианты, меньшие среднего значения). При правосторонней (левосторонней) асимметрии правая ветвь (левая ветвь) распределения длиннее левой (правой).

Например, если рассмотреть ход температуры воздуха для континентального и морского климата, то окажется, что в морском климате температура воздуха дольше остаётся ниже среднего значения (больше значений ниже среднего, отрицательная асимметрия), а в континентальном – выше среднего значения (больше значений выше среднего – положительная асимметрия).

Эмпирический коэффициент асимметрии не имеет ни верхней, ни нижней границ, что снижает его ценность как меры асимметрии, но при умеренно асимметричных рядах он меньше единицы.

Под эмпирическим эксцессом, или коэффициентом крутости Е понимают обычно уменьшенное на три единицы отношение центрального момента четвёртого порядка к среднему квадратическому отклонению в четвёртой степени. За стандартное значение Е принимают нуль-Эксцесс нормальной кривой распределения.

Кривые, у которых более плоская вершина по сравнению с нормальным распределением, характеризуются отрицательным эксцессом (Е<0) – плосковершинные распределения, а кривые с положительным эксцессом (Е>0) – более крутые по сравнению с нормальной кривой, имеют более острую вершину и называются островершинными.

Иногда распределение может иметь 2 или более пиков.

iАсимметрия и эксцесс показывают степень отклонения эмпирического

распределения от нормального (симметричного)

Коэффициенты асимметрии и эксцесса связаны условиями: As<3 σAs , E>5 σE ,

где σAs и σE – средние квадратические коэффициенты асимметрии и эксцесса:

Наряду с данными характеристиками в качестве описательных критериев вариационного ряда применяют понятия медианы (Ме) и моды (Мо) распределения. Для медианного значения справедливо равенство

P(x≤Me)=P(x≥Me).

С геометрической точки зрения медиана – абцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

Модальным значением является значение Х, при котором плотность распределения имеет максимум. Бывают одномодальные, двух-, трех- и многомодальные распределения. Другими словами, мода – это значение метеорологической величины, которое наблюдается наибольшее число раз. Нахождение моды не требует каких-либо вычислений – им является вариант, которому соответствует наибольшая частота.

iДля нормального распределения имеет место равенство математического

ожидания, медианы и моды

Таким образом, сопоставляя статистические характеристики выборки, можно судить о близости закона распределения метеорологической величины к нормальному, определить крутость и скошенность распределения.

Термин «нормальный закон распределения» (синоним: распределение Гаусса), получил свое название в силу своей распространённости. Термин «нормальный» т.е. обычный (Normal) применяется в условном смысле, как общепринятый, не означая, однако, что подчинение другим законам распределения выражает какую-то анормальность данной величины или явления.

С точки зрения математической изученности и простоты свойств нормальный закон распределения во многих своих чертах привлекателен и удобен при практическом использовании, особенно в случаях, когда значения тех или иных величин формируются под воздействием большого числа взаимно независимых факторов. Это в полной мере относится ко многим основным метеорологическим величинам и явлениям погоды.

Главной особенностью нормального закона распределения является то, что он является некоторым предельным, к которому приближаются другие распределения.

Кроме нормального закона распределения, в метеорологической практике широко используются и другие типы распределений.

17.4. Точность и достоверность оценок выборки

По имеющейся выборке из генеральной совокупности можно лишь приближённо оценить математическое ожидание М(х), рассчитав выборочное среднее значение

x = ∑xipi , (где х1, х2,..., хi – значения метеорологической величины, р1, р2,..., рi – со-

i

ответствующие им вероятности, i = 1, 2, 3,..., n – число членов выборки).

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

Средняя величина, вычисленная по элементам другой выборки того же объёма и из той же генеральной совокупности, определяется числом, как правило, отличным от первого, т.е. среднее может изменяться от выборки к выборке.

Оценивая выборочные средние величины какого-либо ряда наблюдений, мы оцениваем параметры генеральной совокупности, т.е. по ( x ) пытаемся оценить М(х). Но выборочная средняя величина является точечной оценкой конкретного ряда и не определяют точность и достоверность оценки выборки.

Достоверность и точность могут быть получены путем определения доверительных (конфиденциальных) оценок (границ), характеризуемых шириной доверительного интервала и доверительной вероятностью. Доверительный интервал является мерой точности оценивания параметра, доверительная вероятность характеризует степень достоверности или надежности результатов.

Чтобы судить об М(х) по x , необходимо найти доверительный интервал, в котором лежит истинное среднее М(х), с заданной доверительной вероятностью

P[a ≤ M(x) ≤ b]= 1 − α ,

или

P x − M(x) ≤ β = 1 − α .

Здесь α – вероятность ошибки (0.05, 0.01 или в процентах, соответственно 5%, 1% и т.д.) или уровень значимости, a и b – доверительные (конфиденциальные) грани-

цы, β – доверительный (конфиденциальный) интервал.

Доверительные границы a и b ограничивают с некоторой вероятностью (например, 95%, 99% и т.д.) область, в которой лежит истинное среднее (неизвестный параметр). Вероятность того, что неизвестный параметр окажется внутри построенного ин-

тервала β, и называют доверительной вероятностью 1-α.

В каждом конкретном случае выбор значения (1-α) зависит от вида решаемой задачи. Если мы выбираем 1-α=0.95 (или α=0.05), это означает, что в 95 случаях из 100

истинное значение параметра лежит внутри данного интервала. С возрастанием 1-α до-

верительный интервал становится все длиннее, оценивание, следовательно, – все неопределеннее.

Из теории статистики известно, что для оценки математического ожидания М(х) по значению выборочного среднего можно использовать равенство

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

Процедура определения доверительного интервала:

1.Выбрать доверительную вероятность 1 − α и определить соответствую-

щее число tp из таблицы стандартного нормального распределения;

2.Вычислить параметр выборки, например, x , а также доверительные границы a и b;

3.Задать доверительный интервал для истинного параметра:

Если необходимо определить интервал для выборки при n≥100, в котором лежит

истинное значение М(х) с вероятностью Р=0.95 (95%), используют табличное значение t0.95=1.96, с вероятностью Р=0.99 (99%) – t0.99=2.576.

Для нормального распределения случайной величины имеют место следующие

Следовательно, около 68% всех возможных значений случайной величины хi

лежит в пределах (x ± σ) , около 95% – в пределах (x ± 2σ) , и практически рассеяние случайной величины хi заключено на участке (x ± 3σ) . Это правило называется «пра-

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

вилом трех сигм». Таким образом, вероятность того, что нормально распределённая случайная величина хi не попадает в этот участок, составляет всего 3 случая из 1000.

В заключение отметим, что при симметричном распределении – α1 = α2 = α / 2 ,

Статистические приёмы позволяют получить представление о достаточной длине выборки из генеральной совокупности, используемой для получения, например, выборочных средних величин заданной точности, которые в дальнейшем при увеличении длины ряда не претерпевают заслуживающих внимания изменений для статистически стационарных процессов.

Если обозначить tpnσ = ∆ , то по заданной точности ∆ и найденному значению

tp , всегда можно вычислить объём выборки n:

tp2σ2 = ∆n , откуда n = (tp2σ2 )∆2 .

Например, если требуемая точность ∆ оценки средней месячной температуры воздуха (половина доверительного интервала) составляет 0.5°С, доверительная вероят-

ность 1 − α =0.95 (95%), то при дисперсии σ2 =5 (°С)2 объём выборки должен составить не менее 77 лет. При дисперсии средней суточной температуры, равной 16 (°С)2 и точности выборочного среднего от 0.1 °С до 1 °С объём необходимой выборки для вычисления средней месячной температуры воздуха изменяется от 6144 до 60 случаев, т.е. от

200 до 2 лет.

Поскольку для точности оценки выборочного среднего для суточных оценок, равной 0.1-0.2 объём требуемой достоверной выборки слишком велик по сравнению с имеющимися возможностями, его необходимо снизить, например, путем увеличения доверительного интервала. Кроме того, следует учитывать остаточную неоднородность метеорологических рядов, за счёт которой вносится определенная погрешность в среднее значение и которую не удается устранить При точности оценки 0.4-0.6 длина выборки может ограничиваться периодом от 13 до 6 лет.

Зависимость требуемого объёма выборки от величины дисперсии выборочного среднего приводит к различию её объёма для отдельных месяцев. Чем меньше диспер-

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии