Теория Графов 5

Определение и основные свойства двусвязных графов

Двусвязные графы и циклы

Теорема 1.1 (о двусвязности и паре произвольных вершин)

Ãðàô G = (V;E) является двусвязным тогда и только тогда,

когда любые две различные вершины принадлежат некоторому общему циклу

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что из условия, что две различные вершины принадлежат общему циклу вытекает, что граф имеет не менее трех вершин

((=) Если любая пара вершин принадлежит некоторому циклу,

Определение и основные свойства двусвязных графов

Двусвязные графы и циклы

Теорема 1.1 (о двусвязности и паре произвольных вершин)

Ãðàô G = (V;E) является двусвязным тогда и только тогда,

когда любые две различные вершины принадлежат некоторому общему циклу

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что из условия, что две различные вершины принадлежат общему циклу вытекает, что граф имеет не менее трех вершин

((=) Если любая пара вершин принадлежит некоторому циклу,

это означает, что между любой парой вершин есть две непересекающихся простых цепи

Определение и основные свойства двусвязных графов

Двусвязные графы и циклы

Теорема 1.1 (о двусвязности и паре произвольных вершин)

Ãðàô G = (V;E) является двусвязным тогда и только тогда,

когда любые две различные вершины принадлежат некоторому общему циклу

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что из условия, что две различные вершины принадлежат общему циклу вытекает, что граф имеет не менее трех вершин

((=) Если любая пара вершин принадлежит некоторому циклу,

это означает, что между любой парой вершин есть две непересекающихся простых цепи

удаление одной вершины не может привести к разрушению сразу обеих таких цепей

Определение и основные свойства двусвязных графов

Двусвязные графы и циклы

Теорема 1.1 (о двусвязности и паре произвольных вершин)

Ãðàô G = (V;E) является двусвязным тогда и только тогда,

когда любые две различные вершины принадлежат некоторому общему циклу

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что из условия, что две различные вершины принадлежат общему циклу вытекает, что граф имеет не менее трех вершин

((=) Если любая пара вершин принадлежит некоторому циклу,

это означает, что между любой парой вершин есть две непересекающихся простых цепи

удаление одной вершины не может привести к разрушению сразу обеих таких цепей

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном цикле можно переформулировать следующим образом

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном

цикле можно переформулировать следующим образом между любыми двумя вершинами есть две непересекающиеся простые цепи (за исключением концевых вершин )

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном

цикле можно переформулировать следующим образом между любыми двумя вершинами есть две непересекающиеся простые цепи (за исключением концевых вершин )

Возьмем произвольную вершину u 2 V

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном

цикле можно переформулировать следующим образом между любыми двумя вершинами есть две непересекающиеся простые цепи (за исключением концевых вершин )

Возьмем произвольную вершину u 2 V

Обозначим через U множество вершин, которые имеют две непересекающиеся простые цепи, соединяющие их с u

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном

цикле можно переформулировать следующим образом между любыми двумя вершинами есть две непересекающиеся простые цепи (за исключением концевых вершин )

Возьмем произвольную вершину u 2 V

Обозначим через U множество вершин, которые имеют две непересекающиеся простые цепи, соединяющие их с u

Будем считать также, что u 2 U