Теория Графов 5
.pdf
Определение и основные свойства двусвязных графов
Доказательство необходимости
Возьмем цикл C, проходящий через v è w
Из вершины vt 1 существует простая цепь (vt 1;u)-öåïü P10, íå проходящая через w (в противном случае все (vt 1;u)-öåïè
проходят через w, но в этом случае w точка сочленения, что противоречит двусвязности)
Пусть w1 первая вершина P10 (считая от vt 1),
|
принадлежащая C (не исключен случай w1 = u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
P1 |
|
|
P0 |
между v |
è w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
Обозначим через P1 участок цепи |
||||||||||||||||||||||
w1 |
|
|
1 |
|
t 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
|
|
|
Пусть P2 участок цикла Ñ между u |
||||||||||||||||||||||
|
w vt-1 |
P |
v |
è w1, не содержащий w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
P3 |
участок цикла Ñ между |
u |
è |
w |
, |
|||||||||||||||||||
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
не содержащий w1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Расин О.В. |
|
Двусвязные графы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Доказательство необходимости
|
P1 |
|
Но теперь легко увидеть, что имеются |
P2 |
|
две простые непересекающиеся |
|
w1 |
|
(u;vt 1)-öåïè: |
|
u |
w vt-1 |
P |
v |
|
P3
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Доказательство необходимости
|
P1 |
|
|
Но теперь легко увидеть, что имеются |
||
P2 |
|
|
две простые непересекающиеся |
|||
w1 |
|
|
(u;vt 1)-öåïè: |
|
|
|
u |
w vt-1 |
P |
v |
P1 [P2 |
è |
P3 [fwvt 1g |
|
||||||
P3
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Доказательство необходимости
|
P1 |
|
|
Но теперь легко увидеть, что имеются |
||
P2 |
|
|
две простые непересекающиеся |
|||
|
|
|||||
w1 |
|
|
(u;vt 1)-öåïè: |
|
|
|
u |
w vt-1 |
P |
v |
P1 [P2 |
è |
P3 [fwvt 1g |
|
||||||
|
P3 |
|
|
Но это означает vt 1 2 U |
||
|
|
|
|
|||
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Доказательство необходимости
|
P1 |
|
|
Но теперь легко увидеть, что имеются |
||
P2 |
|
|
две простые непересекающиеся |
|||
|
|
|||||
w1 |
|
|
(u;vt 1)-öåïè: |
|
|
|
u |
w vt-1 |
P |
v |
P1 [P2 |
è |
P3 [fwvt 1g |
|
||||||
|
P3 |
|
|
Но это означает vt 1 2 U |
||
|
|
|
|
|||
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Доказательство необходимости
|
P1 |
|
|
Но теперь легко увидеть, что имеются |
||
P2 |
|
|
две простые непересекающиеся |
|||
|
|
|||||
w1 |
|
|
(u;vt 1)-öåïè: |
|
|
|
u |
w vt-1 |
P |
v |
P1 [P2 |
è |
P3 [fwvt 1g |
|
||||||
|
P3 |
|
|
Но это означает vt 1 2 U |
||
|
|
|
|
|||
Последнее противоречит факту 1) |
|
|
||||
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Доказательство необходимости
|
P1 |
|
|
Но теперь легко увидеть, что имеются |
||
P2 |
|
|
две простые непересекающиеся |
|||
|
|
|||||
w1 |
|
|
(u;vt 1)-öåïè: |
|
|
|
u |
w vt-1 |
P |
v |
P1 [P2 |
è |
P3 [fwvt 1g |
|
||||||
|
P3 |
|
|
Но это означает vt 1 2 U |
||
|
|
|
|
|||
Последнее противоречит факту 1) |
|
|
||||
Таким образом v 2 U |
|
|
|
|
||
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Доказательство необходимости
|
P1 |
|
|
Но теперь легко увидеть, что имеются |
||
P2 |
|
|
две простые непересекающиеся |
|||
|
|
|||||
w1 |
|
|
(u;vt 1)-öåïè: |
|
|
|
u |
w vt-1 |
P |
v |
P1 [P2 |
è |
P3 [fwvt 1g |
|
||||||
|
P3 |
|
|
Но это означает vt 1 2 U |
||
|
|
|
|
|||
Последнее противоречит факту 1) |
|
|
||||
Таким образом v 2 U |
|
|
|
|
||
Поскольку u è v выбирались произвольно, то теорема доказана.
#
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Эквивалентные условия двусвязности графа
|
Теорема 1.2 |
1 |
G двусвязен; |
2 |
любые две вершины лежат на простом цикле; |
3 |
любая вершина и любое ребро лежат на простом цикле; |
4 |
любые два ребра лежат на простом цикле. |
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|
Определение и основные свойства двусвязных графов
Эквивалентные условия двусвязности графа
|
Теорема 1.2 |
1 |
G двусвязен; |
2 |
любые две вершины лежат на простом цикле; |
3 |
любая вершина и любое ребро лежат на простом цикле; |
4любые два ребра лежат на простом цикле.
Äо к а з а т е л ь с т в о. Эквивалентность условий (1) и (2) следует из теоремы 1.1
Расин О.В. |
Двусвязные графы |
|
|