Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

Выпишем в качестве примера векторный потенциал, соответствующий поверхностным токам, текущим по идеально проводящей бесконечно протяженной вдоль оси Z цилиндрической поверхности S, поперечное сечение которой - контур Г (рис. 2.9). Рассмотрим случай, когда токи текут вдоль образующих поверхности S. Комплексная

амплитуда плотности этих токов равна . Контур Г может быть как замкнутым (в этом случае поверхность S эквивалентна сплошному идеально проводящему цилиндру), так и незамкнутым (поверхность S представляет собой бесконечно тонкий идеально проводящий незамкнутый экран). В случае незамкнутого контура Г под jsm(M) следует понимать сумму комплексных амплитуд плотностей поверхностных токов, текущих по обеим сторонам поверхности S в точке М. Ток, протекающий через элемент dl. контура Г, можно рассматривать как токовую нить, параллельную оси Z и проходящую через точку М. Комплексная амплитуда этого тока равна djm = jSm(M)dl, MЄdl В соответствии с принципом суперпозиции комплексная амплитуда векторного потенциала, создаваемого всеми токами, текущими по S, определяется выражением

где R(M, N) - расстояние от точки МеГ до точки наблюдения N = (х, у); контур Г и точка N лежат в одном поперечном сечении поверхности S.

2.5. СТОРОННИЕ МАГНИТНЫЕ ТОКИ И ЗАРЯДЫ

Понятия сторонних электрических токов и зарядов, распределенных в некотором объеме с плотностями jст и ρст соответственно, были введены в §1.8. Если сторонние токи и заряды заданы в тонком слое, то при постановке электродинамической задачи часто считают, что этот слой является бесконечно тонким, т.е. может быть аппроксимирован некоторой поверхностью S, а вместо jст и ρст задают плотности сторонних поверхностных элект-

рических токов и зарядов . Назовем одну из сторон поверхности S первой, а другуювторой. Значения функций, вычисленные в точках, принадлежащих определенной стороне поверхности, будем обозначать соответствующим индексом 1 или 2.

Наличие на S поверхностных электрических токов обязательно приводит (см.1.7.2) к разрыву при переходе через S касательной составляющей вектора Н:

где п0 - орт нормали к первой стороне поверхности S.

Аналогично сторонние поверхностные электрические заряды, распределенные по S, вызывают появление разрыва при переходе через S нормальной составляющей вектора D

= εЕ:

где ε1 и ε2 - абсолютные диэлектрические проницаемости сред, расположенных с соответствующих сторон поверхности S. В общем случае поверхность S может частично

71

или полностью совпадать с границей раздела сред. Поэтому параметры ε1 и ε2 могут быть как одинаковыми, так и разными. Таким образом, задание сторонних поверхностных электрических токов и зарядов эквивалентно заданию разрыва касательной составляющей вектора Н и нормальной составляющей вектора D (вектора Е) соответственно.

Для упрощения электродинамической модели, заменяющей реальную систему, в ряде случаев вводят так называемые сторонние магнитные токи и заряды.

Задание сторонних поверхностных магнитных токов эквивалентно заданию разрыва касательной составляющей вектора Е при переходе через рассматриваемую поверхность

S:

где индексы 1 и 2, как и прежде, означают, что функция вычислена соответственно на первой или на второй стороне поверхности S. Выбор знака в правой части равенства (2.67)

будет пояснен ниже. Задание на поверхности S обязательно приведет к разрыву на

S нормальной составляющей вектора В = μН. Величину этого разрыва можно трактовать как плотность сторонних поверхностных магнитных зарядов:

Подчеркнем, что введенные таким образом магнитные токи и заряды являются фиктивными, однако в ряде случаев они позволяют существенно упростить электродинамическую модель реальной системы.

Зная плотности , можно вычислить величины магнитных токов и зарядов , сосредоточенных на S или какой-либо части поверхности S. По аналогии с обычным током проводимости магнитный ток можно рассматривать как упорядоченное движение магнитных зарядов, а в качестве положительного направления магнитного тока принять направление движения положительных магнитных зарядов. Магнитные токи измеряются в вольтах, магнитные заряды - в веберах. Плотность поверхностных магнитных зарядов измеряется в веберах на квадратный метр, плотность поверхностных магнитных токов - в вольтах на метр.

При построении электродинамических моделей реальных систем иногда удобно, считать, что магнитные токи и заряды распределены в некотором объеме с плотностями jм и ρм соответственно. Функции jм и ρм определяются формулами, аналогичными (1.8) и (1.42) соответственно. Плотность магнитных токов jм измеряется в В/м2 , об%емная плотность магнитных зарядов-в Вб/м3 . Магнитные токи /м выражаются через их плотность jм формулой, аналогичной (1.26), магнитные заряды Qм - через ρм формулой, аналогичной

(1.41).

Сторонние магнитные источники можно учесть в уравнениях Максвелла так же, как были учтены сторонние электрические источники (см. 1.8.1). Из первого уравнения Максвелла (1.111) видно, чо плотность сторонних электрических токов jст входит в правую часть этого уравнения со знаком "+" так же, как плотность тока смещения dD/dt. Плотность сторонних магнитных токов должна быть введена во второе уравнение Максвелла (1.39). В правой части этого уравнения стоит функция dB/dt. Формально, по аналогии с dD/dt, ее можно назвать плотностью магнитного тока смещения. Так как перед dB/dt стоит знак минус, то и функцию jм целесообразно ввести с таким же знаком. При этом второе уравнение Максвелла примет вид

Из уравнения (2.69) следует, что сторонние магнитные токи, так же, как переменное во времени магнитное поле, создают вихревое электрическое поле, силовые линии которого,

72

расположенные в непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывают

знака в правой части формулы (2.67) соответствует выбору знака перед jм во втором уравнении Максвелла (2.69).

Сторонние магнитные заряды учитываются в четвертом уравнении Максвелла: div В = ρм. (2.70)

Из (2.69) и (2.70) следует соотношение

аналогичное уравнению непрерывности (1.48). Интегрируя (2.71) по объему V, приходим к закону сохранения магнитных зарядов:

где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, dS = nodS, n0 - орт внешней нормали к поверхности S.

Таким образом, система уравнений Максвелла, учитывающая сторонние электрические и магнитные источники, имеет вид

Полная система уравнений Максвелла для монохроматического поля состоит из двух уравнений:

так как третье и четвертое уравнения Максвелла в этом случае могут быть получены из (2.74), уравнения непрерывности (1.116) и соотношения div jм + iωρм = 0, вытекающего из

(2.71).

2.6. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для монохроматического поля (2.74). Если в этих уравнениях формально заменить

73

то первое уравнение системы (2.74) превратится во второе, а второе -в первое. В целом система уравнений (2.74) не изменится. Эту особенность уравнений (2.74) называют

перестановочной двойственностью уравнений Максвелла.

Из перестановочной двойственности уравнений Максвелла вытекает важное следствие. Пусть две краевые электродинамические задачи сформулированы для геометрически одинаковых областей таким образом, что все условия, которым должны удовлетворять векторы Ё и Н в первой задаче, при заменах (2.75)переходят соответственно в условия для векторов Н и Ё второй задачи. Иными словами, при заменах (2.75) первая задача превращается во вторую, а вторая -в первую. Тогда нет необходимости решать обе задачи, достаточно найти решение одной из них. Произведя в найденном решении замены (2.75), получим решение другой задачи. Возможность применения перестановочной двойственности уравнений Максвелла для решения краевых задач электродинамики будем называть принципом двойственности.

В качестве примера применения перестановочной двойственности уравнений Максвелла рассмотрим вопрос о вычислении поля, создаваемого Сторонними магнитными источниками в однородной изотропной среде. Это поле удовлетворяет уравнениям

Система уравнений (2.76) может быть получена из (2.51), если в последней произвести замены (2.75). Поэтому и формулы для поля, создаваемого магнитными источниками, могут быть получены на основе замен (2.75) в окончательных формулах для поля, создаваемого сторонними электрическими источниками. При этом удобно ввести в рассмотрение векторный (Ам) и скалярный (йм) магнитные потенциалы,

связанные условием калибровки При использовании этого условия поле, создаваемое сторонними магнитными источниками, может быть выражено через один векторный магнитный потенциал:

a R - расстояние от точки интегрирования MЄdV до точки наблюдения.

В случае поверхностных и линейных магнитных токов формулы для могут быть получены аналогично из (2.61) и (2.62) соответственно. Окончательные выражения очевидны и здесь не выписываются.

Если электромагнитное поле создается и электрическими, и магнитными сторонними источниками, т.е. удовлетворяет системе

уравнений (2.74), то векторы определяются соотношениями

2.7. ПОСТАНОВКА И НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

74

С учетом изложенного в данной главе остановимся более подробно на вопросе о постановке краевых задач электродинамики.

Вначале анализируется реальная электродинамическая проблема и определяется, на какие вопросы требуется получить ответ, что необходимо учесть, чем можно пренебречь. Затем от реальной задачи переходят к ее электродинамической модели (одной или нескольким). Выбранная модель должна быть такой, чтобы, во-первых, соответствующая ей электродинамическая задача могла быть решена, а во-вторых, чтобы полученное решение дало ответ на интересующие вопросы. Указанную задачу обычно формулируют как краевую задачу электродинамики. Она состоит в нахождении такого электромагнитного поля, которое в рассматриваемой части пространства удовлетворяет уравнениям Максвелла, а на границе области - одному из краевых условий, при которых может быть доказана теорема единственности. В случае внешней задачи полученное решение должно, кроме того, удовлетворять условиям излучения (2.23). Если граница области (поверхность S) имеет изломы, решение должно удовлетворять условиям на ребре. При выполнении перечисленных требований решение краевой задачи, соответствующей выбранной электродинамической модели, будет единственным.

Получить аналитическое решение непосредственно из уравнений Максвелла обычно не удается. Поэтому часто краевую задачу сводят к решению уравнения Гельмгольца либо для векторов поля, либо для электродинамических (или других) потенциалов. Полученное при указанном подходе аналитическое решение электродинамической задачи обычновыражается в виде бесконечных рядов по специальным функциям. Примеры таких решений приведены в гл.З и 8 (см.3.6.2 и 8.2).

Интенсивное развитие вычислительной техники позволило разработать ряд эффективных численных методов решения краевых задач электродинамики.

В случае внутренних задач широко используется так называемый метод сеток. При его применении рассматриваемая область разбивается на ячейки. В случае плоских (двумерных) задач эти ячейки образуют плоскую сетку. Значения неизвестных функций ищутся в узлах сетки или в серединах ячеек, а их производные определяются по обычным формулам численного дифференцирования. Пример применения метода сеток для решения внутренних задач приведен в гл.З.

Внешние задачи электродинамики часто сводят к решению интегральных уравнений, т.е. уравнений, в которых искомая функция входит под знак интеграла. Если рассматриваемое тело (граница области V, вне которой требуется найти поле) является идеально проводящем, в качестве искомой функции обычно выбирают комплексную амплитуду плотности поверхностных токов

jsm, текущих по поверхности тела S.

Комплексная амплитуда напряженности вторичного электрического поля Ёm выражается по формуле (2.57) через комплексную амплитуду векторного потенциала Аm, которая связана с функцией jsm соотношением (2.61). Это позволяет представить вектор Ёm в виде интеграла от jSm. Используя затем граничное условие

комплексная амплитуда касательной к поверхности S составляющей вектора напряженности первичного электрического поля в точке Мо, получаем соотношение, содержащее одну неизвестную функцию

jsm(M), MЄS, стоящую под знаком интеграла. Это соотношение можно рассматривать как, интегральное (в общем случае интегро-дифференциальное) уравнение относительно

функции jsm (М).

Вывод интегрального уравнения для частной задачи и один из возможных способов построения его численного решения приведены в 8.3.

Если размеры области V велики по сравнению с длиной волны, для решения электродинамических задач обычно используют различные приближенные методы (см.

гл.8).

75

Глава 3 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

3.1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Электростатическое поле описывается системой дифференциальных уравнений (1.55), которая получается из системы уравнений Максвелла в предположении, что векторы поля не зависят от времени и отсутствует перемещение зарядов (j = 0). Аналогично находятся основные уравнения электростатики в интегральной форме:

Электростатическое поле обладает рядом специфических свойств. В частности, непосредственно из уравнений (1.55) следует, что оно является потенциальным, а его векторные линии имеют истоки и стоки: они начинаются и заканчиваются на зарядах. В случае электростатического поля вектор Е можно представить в виде градиента скалярной функции и, называемой электростатическим потенциалом:

Соотношение (3.2) получается из формулы (2.36), если в последней положить dA/dt=O, а также непосредственно следует из первого уравнения системы (1.55). Оно определяет функцию и неоднозначно. Величина вектора Е не изменится, если вместо потенциала и ввести функцию и1, отличающуюся от и на произвольную постоянную. При решении конкретных задач обычно вначале находят потенциал и, а затем вычисляют вектор Е. При этом, как правило, произвольную постоянную выбирают таким образом, чтобы, если это возможно, потенциал в бесконечно удаленных точках равнялся нулю.

Выясним физический смысл электростатического потенциала. Вычислим работу А, совершаемую при перемещении точечного заряда величины q из точки N1 в точку N2 по контуру Г (рис. 3.1). Так как напряженность Е электрического поля определяется как сила, с которой поле действует на единичный точечный положительный заряд, то

Знак минус в формуле (3.3) означает, что положительная работа совершается в том случае, когда заряд перемещается против сил поля. Подынтегральное выражение в формуле (3.3) можно представить в виде.

Edl=-grad u∙dl=-du. (3.4)

где du - полный дифференциал и. Второе равенство в формуле (3.4) представляет собой известное тождество векторного анализа. Для его доказательства достаточно grad и и дl

A=q(u2-u1) (3.5)

где u1 и и2 - значения потенциала и в точках N1 И N2 соответственно. Полагая q = 1 Кл, получаем, что работа, совершаемая при перемещении единичного точечного

76

положительного заряда в электростатическом поле, численно равна разности потенциалов в конечной и начальной точках пути. Она не зависит от формы пути, по которому перемещается заряд, и от абсолютного значения потенциала. Если потенциалы бесконечно удаленных точек считать равными нулю, то потенциал и в точке N можно определить как работу, которую нужно совершить для перемещения единичного точечного положительного заряда из бесконечности в точку N. Потенциал измеряется в вольтах, что легко устанавливается из (3.2).

Сравнивая формулы (3.3) и (3.5), находим связь между разностью потенциалов в точках N1 И N2 и напряженностью электростатического поля:

Если потенциалы бесконечно удаленных точек считаются равными нулю, то выражение (3.6) принимает вид

В (2.6) было показано, что в случае однородных сред (ε = = const) электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона (2.45). Для упрощения записи в правой части равенства (2.45) у функции ρст опустим индекс "ст", т.е. перепишем (2.45) в виде

Если в рассматриваемой части пространства заряды отсутствуют (ρ = 0), то (3.7) переходит в уравнение Лапласа

2 и = 0. (3.8)

Решение уравнения (3.7) было получено в 2.6. В тех случаях, когда заряды распределены в ограниченной области V с плотностью ρ(ρ-функция координат), потенциал и в соответствии с формулой (2.44) определяется выражением

где R- расстояние от точки интегрирования MЄdV до точки наблюдения N = N (х, у, z) (см.

рис.2.6).

В случае поверхностных зарядов, распределенных с плотностью ρs на поверхности S, нужно вместо равенства (3.9) использовать формулу

где R - расстояние от элемента dS до точки, в которой вычисляется потенциал (см. рис.

2.7).

Если поле создается заряженной нитью конечных размеров, т.е. зарядами, распределенными вдоль линии, то потенциал выражается формулой

где интегрирование осуществляется вдоль нити (контур Г); R-расстояние от элемента dl до точки, в которой вычисляется потенциал (рис. 2.8), а τ- линейная плотность заряда, определяемая выражением

77

Соотношения (3.9)—(3.11) позволяют определить потенциал, а следовательно, и векторы электростатического поля в однородном изотропном пространстве по заданному распределению зарядов. Однако во многих практически важных случаях распределение зарядов нельзя считать известным заранее. Вопрос о постановке и возможности решения такого рода задач будет рассмотрен отдельно.

Чтобы получить наглядное представление об электростатическом поле, его иногда изображают графически. При этом помимо силовых линий обычно рассматривают его эквипотенциальные поверхности, т.е. поверхности равного потенциала. Выясним связь между поверхностями равного потенциала и силовыми линиями электростатического поля. На эквипотенциальной поверхности потенциал и постоянен и, следовательно, du = 0. При этом согласно соотношению (3.4) должно выполняться равенство Edl - О, где вектор дl совпадает по направлению с касательной к эквипотенциальной поверхности. Это равенство означает, что поверхности равного потенциала и силовые линии электростатического поля пересекаются под прямым углом. Зная семейство эквипотенциальных поверхностей, можно построить силовые линии, и, наоборот, зная силовые линии, можно построить эквипотенциальные поверхности.

3.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

До сих пор рассматривалось электростатическое поле в однородном пространстве. Если имеются две (или более) разнородные среды, то для определения поля необходимо знать граничные условия для составляющих векторов. Е и D и потенциала и на границе раздела. Электростатическое поле является частным случаем электромагнитного поля, общие свойства которого были рассмотрены в предыдущих главах. Поэтому граничные условия для векторов Е и D, выведенные в 1.7, должны выполняться и для электростатического поля-. Эти условия имеют вид:

Напомним, что при выводе граничных условий нормаль считалась направленной из второй среды в первую.

Так как при решении конкретных задач, как правило, оперируют с функцией и, то от условий для векторов Е и D нужно перейти к граничным условиям для потенциала и. Используя соотношение (3.2) и учитывая, что проекция grad и на произвольное направление l0 равна производной функции и по этому направлению, поручаем из формулы (3.13) следующее равенство:

где оператор д/ дτ означает дифференцирование по любому направлению в плоскости, касательной к поверхности раздела в рассматриваемой точке. Интегрируя равенство (3.15) по τ, получаем

и1= и2 +b, (3.16)

где b - произвольная постоянная, а u1 и u2 - значения потенциала и на поверхности раздела в первой и второй средах соответственно. Постоянную b в большинстве случаев можно считать равной нулю. Действительно, потенциал и, созданный объемными или поверхностными зарядами, является непрерывной функцией. При этом из равенства (3.16) следует, что

78

u1 = и2. (3.17)

Соотношение (3.17) нарушается, если на поверхности раздела имеется двойной заряженный слой. Этот слой можно представить следующим образом. Рассмотрим две параллельные поверхности S1 И S2, на одной из которых распределены поверхностные заряды с плотностью ρs, а на другой-такие же заряды, но противоположного знака. Расстояние между поверхностями S1 И S2 обозначим через l (рис. 3.2). Если считать, что поверхности неограниченно приближаются друг к другу, а плотность поверхностных зарядов при этом возрастает (причем произведение ρs l остается постоянным, то в пределе получим двойной заряженный слой. Параметр ρs l называют мощностью слоя. При переходе через двойной заряженный слой потенциал претерпевает разрыв, величина которого зависит от мощности слоя. В дальнейшем будет предполагаться, что в рассматриваемой области отсутствуют двойные заряженные слои.

Переходя в формулах (3.14) к функции и, получаем второе граничное условие для электростатического потенциала:

где оператор д/дп означает дифференцирование по нормали к поверхности раздела, направленной из второй среды в первую.

Если одна из сред является проводником, то граничные условия принимают более простой вид. В самом деле, при анализе макроскопических свойств поля проводник можно рассматривать как замкнутую область, внутри которой возможно свободное перемещение зарядов. Плотность потока зарядов, т.е. плотность тока проводимости в проводнике, пропорциональна напряженности электрического поля: j = σЕ. В электростатике перемещение зарядов отсутствует: j = 0. Так как σ≠ 0, то напряженность электростатического поля внутри проводника должна быть равна нулю. Это - одна из особенностей электростатического поля. В 1.7 было показано, что переменное электромагнитное поле не проникает в идеальный металл. Электростатическое поле равно нулю внутри любого реального проводника.

Напряженность электростатического поля связана с потенциалом и соотношением (3.2). Полагая в (3.2) Е = 0, получаем, что внутри проводника grad и = 0. Откуда и = const. Следовательно, в электростатике все точки проводника имеют один и тот же потенциал. Это позволяет говорить о потенциале проводника. Потенциалы изолированных друг от друга проводников могут, конечно, иметь разные значения.

Граничные условия на поверхности проводника для составляющих векторов Е и D находятся из формул (3.13) и (3.14). Пусть первая среда - диэлектрик, а вторая - проводник. Тогда, полагая E2 =0 и D2=0 получаем

Условия (3.19) и (3.20)можно переписать в векторной форме:

79

Подчеркнем, что в случае переменного поля аналогичные условия выполняются лишь на поверхности идеального проводника, а в электростатике условия (3.19)—(3.21) справедливы при любой отличной от нуля удельной проводимости второй среды.

Граничные условия для потенциала и на поверхности проводника получаются из формул

(3.19) и (3.20):

Нормаль n0. считается внешней по отношению к проводящей среде.

Из условия (3.22) следует, что поверхность проводника всегда эквипотенциальна.

3.3. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Как известно из курса физики, энергия Wэ электростатического поля, сосредоточенного в объеме V, определяется формулой (1.131). Эту формулу можно преобразовать таким образом, чтобы энергия Wэ была выражена через заряды. Заменяя вектор Е через - grad и и используя тождество div (ψа) = ψ div а + a grad ψ, где а и ψ - произвольные векторная и скалярная функции, имеющие первые производные, получаем

Последний интеграл в (3.24) преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:

где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Предположим, что заряды, создающие электростатическое поле, сосредоточены в ограниченной области Vo, и распространим интегрирование в формуле (3.25) на все пространство. При этом поверхность S будет удалена в бесконечность, и в пределе интеграл (3.25) окажется равным нулю. Действительно, из формулы (3.9) следует, что потенциал зарядов, распределенных в ограниченной области VO на большом по сравнению с размерами области Vo расстоянии убывает пропорционально 1/r, где r- расстояние от некоторой точки внутри области V до точки наблюдения. Вектор электрического смещения D убывает как 1/r2, a поверхность S возрастает пропорционально r2. Таким образом, интеграл (3.25) при r →∞убывает как 1/r и в пределе равен нулю. Учитывая, что div D = ρ, получаем окончательное выражение для энергии электростатического поля:

(3.26)

Если электростатическое поле создается поверхностными зарядами, распределенными по поверхности S с плотностью ρs, то выражение для энергии электростатического поля принимает вид

Вслучае распределения зарядов вдоль контура Го с плотностью τ (заряженная нить):

Вобщем случае при наличии зарядов всех трех типов

80