Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

Из формул (10.41) и (10.37) следует, что при распространении по волноводу основной волны Н11 на его стенках текут и поперечные, и продольные токи (рис.10.18), а волна Н01 возбуждает только поперечные токи (рис. 10.19). В случае волны Е01, как следует из формул (10.41) и (10.32), текут только продольные токи, равномерно распределенные по периметру волновода.

10.2.3. Передача энергии по круглому волноводу

Основной волной круглого волновода является волна Н11, а первым высшим типом – Е01 Поэтому в соответствии с данными табл.10.1 и 10.2 условие одноволновости имеет вид

2,61а<λ<3,41а

Коэффициент широкополосности, определяемый по формуле (10.24), ζ = 1,3, т.е. существенно ниже, чем у прямоугольного волновода.

Мощность, переносимая волной по круглому волноводу (мощность бегущей волны), рассчитывается по формуле (9.46). Вычисляя входящие в эту формулу интегралы, для волны Н„ получаем:

Коэффициент ослабления α мсоответствующий волне Н11, вычисляется по формуле

Формулы для коэффициента ослабления αм, соответствующие другим типам волн, могут быть получены из (9.49). Окончательные выражения приведены, например, в [1]. Графики зависимости αм (в дБ/м) от частоты для волн Н11, Е01 и H01 в круглом медном волноводе для случая а = 25,4 мм показаны на рис. 10.20. Как видно, для волн Н11 и Еo1 они аналогичны графикам, приведенным на рис.10.12 для случая волн в прямоугольном волноводе. График, характеризующий зависимость коэффициента, ослабления от частоты для волны Н01 в круглом волноводе, имеет существенное отличие от графиков для волн Н11 и Е01. У этих волн коэффициент αм неограниченно возрастает при f+fKp и f→∞. Указанные особенности поведения αм объясняются так же, как в случае прямоугольного волновода. Поведение коэффициента ослабления волны Н01 в круглом волноводе при увеличении частоты имеет иной характер, а именно коэффициент αм для этой волны монотонно убывает с ростом частоты. Эта особенность объясняется тем, что у волны Ho1 в круглом волноводе вектор плотности поверхностного тока проводимости не имеет продольной составляющей (j Smz=0). Отличная от нуля составляющая jSmφ) возбуждается продольной составляющей напряженности магнитного поля Hmz(a, φ,z). При повышении

231

частоты в волноводе с фиксированными размерами поперечного сечения структура поля любой волны приближается к структуре поля ТЕМ-волны, у которой Нz = 0. Следовательно, у волны Н01 при повышении частоты Hmz -> 0 и одновременно стремится к нулю плотность поперечных токов проводимости. Но это означает, что потери должны непрерывно уменьшаться. Как показывает численный расчет, потери в круглом волноводе на волне Н01 меньше потерь в волноводе того же радиуса на волне Н11, если только а/λ>2, а существенный выигрыш достигается при а/λ>3...4.

10.3. ВОЛНОВОДЫ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ 10.3.1. П-и Н-образные волноводы

Одноволновый режим в стандартном прямоугольном волноводе, как было показано в 10.1.4, сохраняется в двукратной полосе частот. Однако используемый на практике диапазон частот обычно не превышает полуторакратного, поскольку в области частот, близких к критической, велики тепловые потери и мала допустимая мощность.

В значительно более широкой полосе частот можно сохранить одноволновый режим при использовании П- и Н-образных волноводов (см. рис.10.21 и 10.22), которые часто называют более коротко: П- и Н-волноводы. Если так подобрать поперечные размеры этих волноводов, чтобы коэффициент их широкополосное был равен коэффициенту широкополосности прямоугольного волновода, то П- и Н-волноводы будут иметь меньшие габариты, чем прямоугольный волновод. На рис.10.21 и 10.23 показана структура электрического поля соответственно волн Н10 и Н20 в поперечном сечении П- волновода. Эти волны условно названы Н10 и Н20. Основанием для этого является то, что при плавном уменьшении высоты прямоугольного выступа t (обычно его называют ребром) они постепенно преобразуются в волны /-/10 и Н2о прямоугольного волновода.

При равных размерах а и b расширение рабочей полосы частот у Н- и П-волноводов по сравнению с прямоугольным достигается за счет того, что они имеют практически равные критические частоты для волны Н20, а критическая частота для волны Ню в Н- и П- волноводах существенно ниже, чем в прямоугольных. Сказанное можно объяснить следующим образом. Ребро (или ребра у /-/-волновода) находится в пучности напряженности электрического поля .волны Н10, где концентрация электромагнитного поля относительно велика. Наличие ребра

232

приводит к еще большей концентрации поля и энергии в этом месте. Поэтому свойства волны и, в частности, критическая частота определяются в основном структурой поля в зазоре. Пока отношение ширины ребра s (рис. 10.21) к ширине волновода а не превышает 0,2...0,3, энергия электрического и магнитного полей вблизи боковых стенок волновода мала и мала продольная составляющая Hz магнитного поля. Распространяющаяся в П- волноводе волна близка по структуре к ТЕМ-волне. Поэтому введение ребра приближает структуру волны Н10 к структуре ТЕМ-волны и приводит к понижению критической частоты волны Н10. (Напомним, что у ТЕМ-волны fкp = 0 (см. 9.4)).

Чем больше высота t ребра, т.е. чем ближе отношение t/b к единице, тем выше концентрация поля в зазоре и тем, следовательно, ниже критическая частота волны Н10- В то же время влияние относительно узкого (s/a < 0,2...0,3) ребра (или ребер в Н-волноводе) на критическую частоту волны Н2о незначительно, так как ребро вводится в сечение, где напряженность электрического поля волны Н2о мала (рис.10.23). Поэтому при s/a ≤ 0,2...0,3 коэффициент широкополосности ζ Н- и П-волно-водов существенно выше, чем прямоугольного волновода с теми же размерами а и b. Дальнейшее увеличение отношения s/a приводит к уменьшению коэффициента широкополосности, так как боковые стенки волновода приближаются к краям ребер, возрастает концентрация энергии полей вблизи боковых стенок и увеличивается продольная составляющая Нz напряженности магнитного поля, повышается критическая частота волны Н10, уменьшается коэффициент широкополосности.

Недостатком Н- и П-волноводов являются повышенный по сравнению с прямоугольным волноводом уровень потерь и пониженная электрическая прочность. Чем больше высота ребра t, тем меньше предельная мощность и выше потери. Поэтому обычно применяют Н- и П-волноводы с ζ≤4.

10.3.2. Эллиптические волноводы

Волна Н11 в круглом волноводе описывается формулами (10.37) при т=1 и n = 1. В эти формулы входит угол ф0, изменение которого соответствует повороту структуры поля волны вокруг оси Z, т.е. к изменению ориентации (поляризации) вектора Е на оси волновода. Будем называть плоскостью поляризации волны диаметральное сечение волновода, содержащее вектор Е. У волны 1, показанной на рис.10.24,а, угол φО=О и входящая в выражение для Н°zфункция cos (φ - φ0) = cos φ, а плоскость поляризации совпадает с плоскостью XOZ. У волны 2 (рис.10.24, б) Фо = л/2 и cos (ф - ф0) = sin ф, а плоскость поляризации совпадает с плоскостью YOZ. Волны 1 и 2 принято называть волнами Н11с и H11s соответственно. Критические частоты этих волн и параметры vф, v3, Λ и др. совпадают. Это явление называют поляризационным вырождением.

Наличие в волноводе каких-либо нерегулярностей (несимметричное соединение отрезков волновода, дефекты изготовления и др.) может привести к частичному преобразованию одной волны в другую. При этом если на входе волновода была, например, одна волна Н11с, то на его выходе помимо волны Н11с появится волна Н11s Суммарный вектор Е на оси волновода будет иметь эллиптическую поляризацию, причем большая ось эллипса будет повернута на некоторый угол относительно оси X. Таким образом, при поляризационном вырождении плоскость поляризации оказывается неустойчивой. Этот эффект отсутствует в эллиптических волноводах (рис. 10.25).

Строгий анализ волн в эллиптическом волноводе требует решения уравнений Гельмгольца (9.2), записанных в эллиптической системе координат. Эти решения выражаются через функции Матье (см., например, [24]) и здесь не приводятся. Качественное представление о структуре поля волн в эллиптическом волноводе можно получить, рассматривая его как деформацию

233

круглого волновода. При этом волны Н11с (рис.10.24,а) и Н11s (рис.10.24,б) круглого волновода преобразуются в волны Н11с рис.10.26,а) и Н11s (рис.10.26,б) эллиптического

волновода. Критические длины этих волн зависят от эксцентриситета e где а и b - большая и малая полуоси эллипса (рис.10.25). При небольшой эллиптичности

возрастает (рис. 10.27). Основной волной эллиптического волновода является волна Н11с. Ее критическая частота может быть рассчитана по приближенной формуле [64]

где f - частота, ГГц; а - большая полуось, см. Погрешность определения f кР по формуле (10.45) не превышает 1 %.

Обычно используют волноводы с отношением b/а = 0,5...0,6, при этом обеспечивается наибольшая полоса одномодового режима при относительно малом затухании. Например, при b/а = 0,5 критическая частота первого высшего типа (в этом случае им является волна Н21с, а не Н11s) в 1,82 раза превышает критическую частоту основной волны, а затухание на основной волне в эллиптическом волноводе оказывается меньше, чем в прямоугольном с таким же периметром.

В антенной технике нашли применение также гибкие гофрированные эллиптические волноводы. Они выпускаются промышленностью в виде отрезков длиной в несколько сотен метров, намотанных на кабельные барабаны.

10.4. КОАКСИАЛЬНАЯ ЛИНИЯ

10.4.1. TEМ-волна

Коаксиальная линия (рис. 10.28) является направляющей системой закрытого типа, состоящей из двух соосных проводников, изолированных друг от друга. Как обычно, будем считать, что проводники обладают бесконечно большой проводимостью, а пространство между ними заполнено идеальным диэлектриком с параметрами ε и μ. При этих предположениях в коаксиальной линии могут распространяться волны ТЕМ, Е и Н. Так

234

как то во всех линиях, в которых может распространяться ТЕМ-волна, эта волна является основной.

Совместим ось Z цилиндрической системы координат r, φ, z с осью внутреннего проводника коаксиальной линии (рис. 10.28). Векторы Е и Н ТЕМ-волны представим в виде

Формулы (10.46) справедливы в области R1≤ r ≤R2l где R1-радиус центрального проводника, а R2-внутренний радиус внешнего проводника. Структура поля ТЕМ-волны в коаксиальной линии показана на рис. 10.29. Как и у любой другой TЕМ-волны, фазовая скорость и скорость распространения энергии TЕМ-волны в коаксиальной линии равны скорости света в среде, заполняющей линию.

Так как поле в поперечном сечении линии (векторы Е° и Н°) у ТЕМволны имеет потенциальный характер, можно говорить о токе и напряжении в коаксиальной линии. Комплексные амплитуды тока и разности потенциалов между центральным и внешним проводниками равны соответственно im =/°exp(-ikz) и

Отметим, что волновое сопротивление линии можно выразить через ее погонную емкость. В случае ТЕМ -волны в любой однородной идеальной линии текут только продольные поверхностные токи. Их плотность js связана с плотностью поверхностных зарядов ps уравнением непрерывности divjs=-дρs/дf, которое можно переписать в виде

Интегрируя последнее равенство по контуру поперечного сечения проводника, по которому течет рассматриваемый ток, получаем

235

где Qm-комплексная амплитуда заряда на единицу длины проводника. Учитывая формулу (3.72), получаем

где C1 - погонная емкость линии. В случае коаксиальной линии С1 определяется формулой

(3.76), в которой нужно только положить Подставляя затем

(3.76) в (10.50), приходим к формуле (10.49).

Внутренний проводник коаксиальной линии может быть сплошным, сплетенным из отдельных проволочек, либо трубчатым. Обычно этот проводник выполняется из меди или с целью увеличения механической прочности из биметаллической проволоки (стальная проволока, покрытая слоем меди). Внешний проводник в зависимости от назначения линии представляет собой либо полую трубу (рис.10.30) - жесткая коаксиальная линия, либо выполняется в виде оплетки (рис.10.31) из медной проволоки или ленты - гибкий коаксиальный кабель.

Изоляция гибких радиочастотных коаксиальных линий выполняется либо из сплошного диэлектрика (рис. 10.31) с малыми потерями (полиэтилен, фторопласт и др.), либо в виде диэлектрических шайб (рис.10.30). Более подробно конструкции коаксиальных линий описаны в [67] и [68].

10.4.2. Электрические и магнитные волны в коаксиальной линии

Формулы для поля Е- и Н-волн в коаксиальной линии выводятся так же, как в случае круглого волновода. Однако при анализе волн в коаксиальной линии постоянную D в формуле (10.31) нельзя считать равной нулю, так как в области R1≤r≤R2 функция Неймана является ограниченной. В случае Е-волн из условий Ez°(R1,φ) = 0 и Ez°(R2l, φ) = 0 приходим к трансцендентному уравнению:

поперечного волнового числа являются корнями трансцендентного уравнения:

Корни уравнений (10.51) и (10.52) находятся численными методами.

Как показывает анализ уравнений (10.52) и (10.51), первым высшим типом волны в коаксиальной линии является при любом диаметре внутреннего проводника волна Н11. Структура этой волны в поперечном сечении линии показана на рис. 10.32. Критическую частоту волны Н11 в коаксиальной линии можно определить

236

достаточно точно, не решая уравнения (10.52). Действительно, если Ri = 0, то коаксиальная линия превращается в круглый волновод, низшим типом волны в котором является волна Н11. Введение вдоль оси круглого волновода тонкого металлического стержня, как это имеет место в коаксиальной линии, слабо влияет на распространение волны Н11 ввиду отсутствия у нее продольных составляющих вектора Е. Поэтому при малых значениях R1 критическая длина волны Н11 в коаксиальной линии приближенно равна критической длине волны Н11 в круглом волноводе, т.е.

Рассмотрим другой предельный случай, когда R1 = R2. Структура поля волны Н11 в плоскости поперечного сечения такой коаксиальной линии изображена на рис. 10.33, а. Для сравнения рядом (рис. 10.33, б) построена структура поля волны Н20 в прямоугольном волноводе, изогнутом по окружности большого радиуса

(R1>>b, где b = R2- R1 - размер узкой стенки прямоугольного волновода). Почти полное совпадение этих структур позволяет считать, что критические частоты волны Н11 в коаксиальной линии при R1 →R2 и волны Н20 в прямоугольном волноводе также совпадают. Критическая длина волны Н20 равна поперечному размеру широкой стенки а прямоугольного волновода. В изогнутом волноводе можно считать а = π (R1 + R2). Следовательно, при R1 →R2

При R1 <<R2 формула (10.54) дает значение ХкрН11 =3,14R2,

что менее чем на 10 % отличается от значения, вычисленного по формуле (10.53). Таким образом, можно без большой погрешности пользоваться формулой (10.54) не только при R1 ≈R2, но и при произвольных значениях R1 И R2.

10.4.3. Передача энергии по коаксиальной линии

В коаксиальной линии одноволновый режим сохраняется при λ> λкрН11 или с учетом формулы (10.54) при

237

Мощность, переносимая ТЕМ-волной по коаксиальной линии, в соответствии с (9.46) и

где Ео = /°ZС (2 π R1)- амплитуда напряженности электрического поля на поверхности внутреннего проводника (наибольшее значение составляющей Еr). Пользуясь формулой (10.56), нетрудно найти условие, при котором величина Е02 будет минимальной. Для этого выразим из (10.56) Е02 через РсрТЕМ и, считая РсрТЕМ и РсрТЕМ постоянными, найдем значение R2 соответствующее минимуму Е02. В результате получим соотношение In (R2/R1) = 0,5, из которого следует R2 = √eR1. При таком соотношении между радиусами проводников получается наибольшее значение предельной мощности Рпред, а волновое

сопротивление коаксиальной линии При воздушном заполнении линии пробой возникает при Ео = = 30 кВ/см. Подставляя это

значение в (10.56) и учитывая, что в рассматриваемом случае Zc= 120π, a In (R2/Ri) = 0,5, получаем

где величина Ri выражена в сантиметрах.

Если пространство между центральным и внешним проводниками коаксиальной линии заполнено полностью или частично диэлектриком, то максимальная мощность, которую можно передать по линии, в несколько раз ниже, чем рaccчитанная по формуле (10.57). Объясняется это как возможностью теплового пробоя диэлектрика, так и увеличением напряженности электрического поля в небольших (около 10-2... 10-3 см) воздушных зазорах между диэлектриком и центральным проводником коаксиальной линии, неизбежно возникающих даже при самом тщательном изготовлении линии. Можно показать, что напряженность электрического поля в зазоре в εг раз выше, чем максимальная напряженность в диэлектрике. Для предотвращения пробоя воздушного зазора предельная мощность должна быть уменьшена в εr2 раз.

В некоторых случаях представляет интерес определение отношения R2/R1 при котором разность потенциалов ∆U =│Uт│между внутренним и внешним проводниками минимальна. Используя формулу (10.47), находим, что минимум │Uт│ имеет место при

In (R2/R1) = 1. что соответствует волновому сопротивлению ZB =

Потери в коаксиальной линии складываются из потерь в диэлектрике, заполняющем линию, и потерь в металлических проводниках. Таким образом, коэффициент затухания α = αд + αм. При сплошном заполнении величина αд находится из выражения (9.52). Если заполнение частичное, то коэффициент ослабления αд', обусловленный потерями в диэлектрике, приближенно может быть определен по формуле

где VД - объем диэлектрического заполнения в коаксиальной линии единичной длины и VЛ- полный внутренний объем этой линии.

Определим затухание, обусловленное потерями в металлических проводниках. Амплитуда касательной составляющей магнитного поля, согласно (10.46), на поверхности центрального проводника равна E0/ZС , а на внутренней поверхности внешнего про-

238

Подчеркнем, что формула (10.60) выведена для случая резко выраженного поверхностного эффекта. На низких частотах поверхностный эффект в центральном проводнике проявляется слабо. В этом случае при определении потерь во внутреннем проводнике коаксиальной линии нужно учитывать результаты, полученные в 7.4.

Так как R, < R2, то большая часть энергии теряется в центральном проводнике. Увеличение радиуса R1 центрального проводника сопровождается уменьшением плотности тока проводимости в этом проводнике и соответствующим уменьшением потерь. Однако, с другой стороны, увеличение R1 при неизменной величине R2 влечет за собой понижение волнового сопротивления, что при заданной мощности приводит к увеличению тока в линии и соответствующему увеличению потерь. Поэтому следует ожидать существования оптимального соотношения между R, и R2, при котором затухание, вызываемое потерями в металлических проводниках, минимально. Полагая da/dR1 = 0, приходим к соотношению R2/R1 = 3,6, которому соответствует волновое

сопротивление

Как видно, разным критериям соответствуют свои оптимальные значения ZB. В соответствии с рекомендацией Международной электротехнической комиссии волновое сопротивление коаксиальной линии, предназначенной для передачи значительной мощности, выбирается равным 50 Ом (при εr= 1 и μr= 1), что приблизительно равно полусумме значений ZB, оптимальных по предельной мощности и по затуханию. Широко используются также коаксиальные линии с номинальным волновым сопротивлением 75 Ом.

Как показывают расчеты, на волнах короче 10 см суммарный коэффициент ослабления в коаксиальной линии значительно превышает коэффициент ослабления в металлических волноводах. Поэтому на таких волнах применяют лишь короткие отрезки коаксиальной линии.

10.5. ДВУХПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ

Двухпроводная линия, представляющая собой систему двух параллельных проводов, широко используется на практике. Строгий анализ основных собственных волн в такой линии при конечной проводимости проводов был проведен на основе решения уравнения Гельмгольца в биполярной системе координат [13]. Он является весьма сложным и здесь не приводится. Ограничимся рассмотрением идеальной двухпроводной линии, т.е. будем считать, что провода обладают бесконечной проводимостью и расположены в однородной изотропной среде без потерь. В такой линии возможно распространение ТЕМ-волн двух типов, которые принято называть однотактной и, двухтактной или соответственно четной и нечетной волнами, В любом поперечном сечении линии у однотактной волны токи в проводах синфазны, а у двухтактной -противофазны (имеют противоположное направление). Ограничимся рассмотрением двухтактной волны.

239

Поперечное сечение линии и используемая декартова система координат показаны на рис. 10.34. Расстояние между осями проводов dh = 2, радиусы проводов одинаковы и равны а. Комплексные амплитуды токов в первом (iт1) и втором (iт2) проводах (рис. 10.34) и векторы Ё и Н в соответствии с общей теорией ТЕМ-волн (см.9.4) представим в виде

При этом выполняется равенство Е°(х, у) =-grad u°(x, у), где функция и°(х, у) совпадает с электростатическим потенциалом в двумерной задаче о поле двух разноименно заряженных цилиндров, на одном из которых потенциал и°= V0 (первый провод), а на другом и°=- V° (второй провод). Эта задача рассматривалась в 3.6.3, и было показано, что электростатическое поле таких проводов эквивалентно полю двух разноименно заряженных нитей, проходящих через точки с координатами х = l, у = z = 0 (первая нить) и х =- l, у - z = 0 (вторая нить) параллельно оси Z. Погонные заряды первой и второй нитей обозначим через τ° и -τ° соответственно. Отметим, что по сравнению с формулами 3.6.3 здесь изменены обозначения (и0, V0 и τ° вместо и, V и τ т). Величины h,l и а связаны соотношением (3.56), аV°и τ°-формулой (3.57), в которой нужно только заменить Vна V° И τ°на τ°. В соответствии с формулой (3.49) имеем

240