Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

(λ≈1 мкм). Как правило, применяемые на практике одноволновые световоды или, как их называют в литературе, одномодовые световоды, работающие на основной волне диэлектрического волновода, имеют dc≈ 3...5 мкм и dОб≈50 мкм, при этом величины пс и nоб отличаются не более чем на 3%. На рис. 10.65 показаны поперечное и продольное сечения такого световода; на продольном сечении изображены парциальные волны, соответствующие распространяющейся по световоду волне. На этом же рисунке изображено распределение вдоль радиуса коэффициента преломления сред, образующих световод. Одномодовый световод, как и любой диэлектрический волновод, обладает дисперсией, поскольку и фазовая скорость основной волны зависит от частоты и величина коэффициента преломления стекла является функцией частоты. Дисперсия ограничивает полосу передаваемых по световоду частот, т.е. вносит искажения в передаваемые сигналы. Если на вход световода подать сигнал в виде импульса, то по мере распространения этот импульс будет расширяться, причем величина расширения зависит как от степени дисперсии, так и от длины пути, проходимого сигналом по световоду. Расширение импульса эквивалентно сужению полосы пропускания световода и часто оценивается эквивалентной шириной полосы пропускания, выраженной в мегагерцах на километр [МГц/км]. При передаче импульсных сигналов обычно такое искажение сигналов оценивается величиной километрического уширения, выраженной в наносекундах на километр [Нс/км]. Расчеты и эксперименты показывают [28], что изготовленные на основе кварцевого стекла одномодовые световоды имеют минимальную дисперсию в области λ≈ «1,3...1,4 мкм. В этой области такие световоды имеют наибольшую полосу пропускания.

Весьма малые поперечные размеры сердечника одномодовых световодов вызывают достаточно серьезные трудности при их изготовлении, что сильно удорожает производство. Кроме того, малый диаметр сердечника затрудняет эффективный ввод мощности от источника в световод и предъявляет весьма жесткие требования к устройствам соединения таких световодов. Как правило, для возбуждения одномодовых световодов приходится использовать дорогостоящие полупроводниковые лазеры [23]. Поэтому одномодовые световоды применяют в случае, если требуется передавать значительные объемы информации на достаточно большие расстояния (более нескольких сотен или тысяч километров).

Для передачи небольших объемов информации на не очень большие расстояния (несколько десятков километров) используют многомодовые световоды, имеющие, как правило, dC≈50 МКМ И dCБ ≈ 120MKM (рис.10.66). Изготовление таких волокон гораздо проще и дешевле. Увеличение диаметра сердечника по сравнению с диаметром сердечника одномодового световода обеспечивает два преимущества: возможность

261

работы таких световодов с достаточно простыми и дешевыми некогерентными источниками излучения (светодиодами) и менее жесткие требования к устройствам соединения световодов. Из-за значительной величины dc по многомодовому световоду может распространяться множество различных типов волн (порядка 1000), которые и переносят передаваемые по световоду сигналы. Каждую из распространяющихся волн можно представить парциальными волнами (лучами), движущимися под определенным углом к нормали к границе раздела сердечник - оболочка. На рис.10.66 показаны три луча, соответствующие трем волнам, распространяющимся по волокну,

Для сохранения достаточно большого диаметра сердечника (как у многомодового волокна) и одновременного уменьшения величины модовой дисперсии на практике применяют так называемые градиентные световоды (рис. 10.67). Такие световоды имеют, как правило, dC ≈50 мкм и dOб≈80 мкм. Сигнал по таким световодам передается многими типами волн. Для уменьшения величины модовой дисперсии используют сердечник, коэффициент преломления которого является функцией поперечной координаты r и, как правило, описывается формулой

где ∆ = (п0-поб)/п0, п0 - величина коэффициента преломления на оси сердечника, q- целое положительное число. Коэффициент преломления уменьшается от значения п0 (на оси сердечника) до значения лоб на границе с оболочкой.

Как следует из законов Снеллиуса, если плоская волна падает на границу раздела двух сред из более плотной среды (n1>n2) под углом φ (или под углом 90°- φ к границе раздела), то направление распространения преломленной волны будет составлять с границей раздела угол меньший, чем 90°-φ, поскольку в этом случае θ > φ. Если же падающая плоская волна распространяется в менее плотной среде {п1<п2), то направление распространения преломленной волны будет составлять с границей раздела угол больший, чем 90°-φ. На этом основании можно утверждать, что если плоская волна движется в среде с плавно изменяющейся величиной коэффициента преломления под некоторым углом к направлению изменения величины п, то в общем случае направление распространения волны будет плавно искривляться. Поэтому в градиентном волокне траектории лучей, соответствующих различным типам волн и направленных под разными углами к оси сердечника, будут криволинейными (рис. 10.67): чем больший угол с осью составляет направление луча, тем по более длинной траектории он перемещается, и наоборот. Однако луч, распространяющийся по самой длинной траектории, будет иметь самую высокую среднюю фазовую скорость, поскольку его траектория проходит через области сердечника с самым низким значением коэффициента преломления (вблизи оболочки). Напомним, что фазовая скорость плоской волны обратно пропорциональна величине п среды. В свою очередь, луч, распространяющийся вдоль оси сердечника, имеет самую низкую фазовую скорость, поскольку его траектория проходит в области сердечника с самым высоким значением n. Фазовый сдвиг, получаемый каждым лучом при прохождении конечного отрезка волокна, прямо пропорционален длине траектории и обратно пропорционален средней фазовой скорости луча. Поэтому выбором величины q в

262

(10.89) можно в значительной степени уменьшить разность фазовых сдвигов, получаемых разными лучами при прохождении конечного отрезка волокна, т.е. уменьшить разность фазовых скоростей различных волн в градиентном волокне.

Наиболее часто на практике применяют градиентные волокна с q = 2, которые называют параболическими. Такие волокна по сравнению с многомодовыми имеют значительно меньшую величину модовой дисперсии, что приближает их к одномодовым волокнам

[23].

10.7.7. Замедляющие структуры

Поверхностная волна образуется при выполнении определенных условий на границе раздела сред. Одним из параметров, характеризующих поверхностную волну, является так называемый поверхностный импеданс (поверхностное сопротивление) Zs, равный отношению комплексных амплитуд касательных составляющих векторов Е и Н, вычисленных на границе раздела, вдоль которой распространяется поверхностная волна. Рассмотрим, например, поверхностную Е-волну, распространяющуюся в воздухе вдоль плоского диэлектрического волновода (рис. 10.57) или вдоль диэлектрического слоя, ограниченного с одной стороны металлической пластиной (10.55). Как было показано в 10.7.2, комплексная амплитуда продольной составляющей напряженности электрического

Это позволяет на поверхности структуры записать импедансное граничное условие (см. 2.2.2)

Величину ZSM часто называют поверхностным импедансом.

Как видно, пока существует поверхностная волна, т.е. выполняется неравенство β2 > ω2еоμо или α > 0, поверхностный импеданс Zs является реактивным, индуктивным по характеру. Это означает, что у распространяющейся волны составляющие Emz и Нту сдвинуты по фазе на π/2. При этом отсутствует средний за период поток энергии, переносимый волной вдоль нормали к границе раздела. Отсутствие активного потока энергии вдоль нормали к границе раздела является характерным признаком поверхностной волны. Поэтому поверхностная волна типа Е будет возникать во всех случаях, когда на границе раздела поверхностный импеданс будет чисто реактивным и индуктивным.

Существуют различные способы создания структур, имеющих чисто индуктивный поверхностный импеданс для распространяющихся вдоль них поверхностных (медленных) волн. Такие структуры получили название замедляющих [8]. Например, можно прорезать поперечные (по отношению к направлению распространения волны) канавки в металлической пластине, как показано на рис. 10.68. Канавки имеют ширину s и глубину h и отстоят друг от друга на расстояние t. При этом образуется гребенчатая структура. Каждую канавку такой гребенчатой структуры можно рассматривать как короткозамкнутый отрезок линии длиной h. Поэтому на частотах, для которых глубина канавки h не превышает четверти длины волны в линии, входное сопротивление канавки будет чисто реактивным (потери энергии в проводнике считаем пренебрежимо малыми) и индуктивным (см. гл.11). Если число канавок на отрезке, равном длине волны, достаточно велико, т.е. s + <<λ можно пренебречь влиянием тонких металлических перегородок в структуре и считать, что при x = h (рис.10.68) расположена плоскость, в любой точке которой поверхностный

263

импеданс ZSM является чисто реактивным и имеет индуктивный характер. Поэтому на частотах, на которых h < λ/4, вдоль рассматриваемой гребенчатой структуры, как и вдоль металлической плоскости с диэлектрическим слоем, могут распространяться медленные Е-волны. Электромагнитное поле низшей Е-волны в гребенчатой структуре при х > h аналогично полю поверхностной волны, распространяющейся вдоль слоя диэлектрика при х > d, изображенному на рис.10.51. Путем изменения глубины канавок можно изменять фазовую скорость распространяющейся поверхностной волны, поскольку при изменении глубины канавки изменяется ее входное сопротивление, т.е. величина ZSи, а при этом согласно (10.90) изменяются коэффициенты α и βдля поверхностной волны.

Отметим, что для поверхностных Н-волн поверхностный импеданс также будет чисто реактивным, но имеет емкостной характер [8]. Это необходимо учитывать при построении замедляющих структур с поверхностными медленными Н-волнами.

264

Глава 11 ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

11.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ 11.1.1. Общие сведения

На низких частотах в качестве колебательного контура (резонатора) широко применяется параллельное соединение сосредоточенных индуктивности и емкости. Колебательный процесс в такой системе возникает, как известно, в результате непрерывного обмена энергией между электрическим полем, сосредоточивающимся в конденсаторе, и магнитным полем, сосредоточивающимся в индуктивности. В диапазоне СВЧ создание контуров из сосредоточенных элементов с малыми потерями и соответственно высокой добротностью практически невозможно. Поэтому в этом диапазоне применяют преимущественно колебательные системы из элементов с распределенными параметрами (отрезки двухпроводной, коаксиальной линий, волноводов и др.).

Возможность построения таких систем вытекает из уравнений Максвелла. Действительно, согласно этим уравнениям переменное электрическое поле является источником переменного магнитного поля, а переменное магнитное поле, в свою очередь, возбуждает переменное электрическое поле, и т.д., т.е. обмен энергией между электрическим и магнитным полями происходит непрерывно в любой области пространства. Если какимлибо образом устранить излучение электромагнитных волн из некоторой области пространства и добиться отсутствия тепловых потерь, то обмен энергиями должен протекать сколь угодно долго. Это означает, что в изолированном от внешнего пространства объеме, заполненном средой без потерь, может существовать, как и в обычном резонансном контуре без потерь, незатухающий колебательный процесс. Подобные резонансные системы получили название объемных резонаторов.

Простейшие типы объемных резонаторов представляют собой часть пространства, ограниченную со всех сторон металлической оболочкой. Сюда, в частности, относятся резонаторы в виде короткозамкнутых отрезков коаксиальной линии, полых металлических

Волноводов и др. По аналогии с направляющими системами резонаторы этого типа называют закрытыми. Можно также почти полностью устранить излучение в окружающее пространство, используя явление полного отражения от границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями. В качестве примера на рис.11.1 показан объемный резонатор этого типа, представляющий собой отрезок диэлектрического волновода, торцы которого металлизированы. По аналогии с направляющими системами резонаторы, в которых отсутствует замкнутая металлическая оболочка, называют открытыми.

11.1.2. Свободные гармонические колебания в объемных резонаторах

265

Предположим, что в объеме Vo (в произвольном резонаторе) тепловые потери равны нулю и, кроме того, отсутствует обмен энергией между внешним пространством и внутренним объемом резонатора. Уравнение баланса (1.126) при этих условиях имеет вид

Рст =dWldt. (11.1)

Под влиянием источника в объеме Vo возникнут электромагнитные колебания. Пусть через некоторое время сторонний источник отключается. При этом за счет запасенной в резонаторе энергии колебательный процесс будет продолжаться сколь угодно долго и при отсутствии источников. В резонаторе возникнут свободные или, другими словами, не связанные со сторонним источником электромагнитные колебания. При Рст = 0 из (11.1) получаем

dWdf = O, (11.2)

т.е. в соответствии с законом сохранения энергии полная энергия, запасенная в изолированном от внешнего пространства объеме, при отсутствии потерь в любой момент времени остается постоянной. Однако соотношение величин электрической и магнитной энергий в общей неизменной сумме непрерывно меняется ввиду обмена энергией между переменными электрическим и магнитным полями. В общем случае изменение во времени напряженности электрических и магнитных полей в резонаторе носит негармонический характер. Особый интерес представляет случай, когда свободные колебания являются гармоническими. Пусть, например, Е = Ei sin ωot, где E1 - функция, зависящая от пространственных координат, а ωо - угловая частота свободных колебаний. В момент t = 0 напряженность электрического поля равна нулю. Равна нулю в этот момент и энергия, запасенная в электрическом поле. Но полная энергия в объеме Vo резонатора, как следует из (11.2), не зависит от времени. Следовательно, в момент t = 0 у рассматриваемого свободного колебания вся энергия сосредоточена в магнитном поле, что при гармонических колебаниях означает наличие фазового сдвига, равного π/2, между векторами Е и Н, т.е. Н = H1 cos ωot, где Н1 - функция пространственных координат. Переписывая (11.2) для гармонических колебаний с учетом формул (1.130)-( 1.132), получаем

11.1.3. Резонансные частоты свободных колебаний

В рассматриваемом случае уравнения Максвелла (1.33) и (1.39) можно переписать в виде

Слева в (11.6) стоит квадрат резонансной угловой частоты объемного резонатора, а справа - всегда положительная величина, равная отношению двух объемных интегралов. Численное значение каждого из этих интегралов зависит от формы объема Vo и его размеров, а также от характера подынтегральной функции. Поэтому резонансная частота резонатора зависит от структуры попей в резонаторе, его формы и размеров.

Структура полей в резонаторе, как и в направляющих системах, определяется путем решения уравнений Максвелла при определенных граничных условиях на поверхности,

266

окружающей объем Vo. В случае закрытых резонаторов без потерь задача сводится к решению трехмерного векторного волнового уравнения:

где S - внутренняя поверхность металлической оболочки резонатора, а n0 - орт нормали к этой поверхности.

Можно доказать, что уравнение (11.7) при граничном условии (11.8), как и аналогичные уравнения теории направляющих систем, имеет бесконечное число различных решений, каждому из которых согласно (11.6) соответствует определенное значение резонансной угловой частоты ω0, т.е. объемные резонаторы, в отличие от обычных контуров из сосредоточенных элементов, резонируют не на одной частоте, а на бесконечном множестве дискретных частот ωo1, ω02.....ω0p.....То колебание, которому при данных размерах резонатора соответствует минимальная резонансная частота ωО1, называют низшим колебанием. Отметим, что каждой резонансной частоте соответствует определенная структура электромагнитного поля в резонаторе.

Не исключено, что в объемном резонаторе резонансные частоты двух или большего числа колебаний с различной структурой полей совпадут. Обладающие этим свойством колебания принято называть вырожденными.

11.1.4. Добротность объемных резонаторов

Добротность резонаторов описывается равенствами (1.154) и (1.155). Сравнивая эти выражения с известными выражениями для добротности обычных колебательных контуров, можно убедиться в их тождественности.

Потери электромагнитной энергии в резонаторе складываются из потерь в среде, заполняющей резонатор, и потерь в металлической оболочке резонатора. Кроме того, часть энергии из резонатора передается через элементы связи в устройства, связанные с резонатором. Элементы связи объемных резонаторов с внешними устройствами, идентичные элементам связи в направляющих системах, во-первых, необходимы для возбуждения и поддержания незатухающих колебаний и, во-вторых, позволяют часть энергии из резонатора передать другим элементам аппаратуры (усилителю, линии передачи и др.). В открытых резонаторах дополнительно часть энергии теряется на излучение. Поэтому общие потери энергии в резонаторе

267

Строгий расчет величины каждого из видов потерь в объемном резонаторе встречает большие трудности, ибо, как правило, не удается найти решение уравнения (11.7), если не пренебречь потерями в оболочке, через элементы связи и т.д. Поэтому при анализе резонаторов обычно исходят из предположения, что небольшие общие потери, которые имеют место в резонаторе, не сказываются существенно на структуре полей в нем, т.е. предполагают, что в первом приближении структура поля в резонаторе с потерями и без них одинакова. В указанном приближении энергия, запасенная в резонаторе с малыми потерями и без потерь, практически одинакова. При этом потери в металле, среде, на излучение и потери, вызываемые передачей части энергии через элементы связи, можно рассчитывать независимо друг от друга. Исключением является случай, когда в резонаторе возбуждаются вырожденные колебания. При вырождении в резонаторе без потерь могут одновременно существовать на одной частоте два или несколько колебаний с различной структурой электрических и магнитных полей и соответственно с различной структурой токов проводимости на оболочке резонатора. Естественно, что величина потерь энергии для каждого колебания будет различна. Различие в величине потерь может вызвать некоторое различие в резонансных частотах, т.е. вырождение может исчезнуть. Соответственно изменится структура поля в резонаторе.

11.1.5. Собственная добротность закрытых резонаторов

Собственная добротность произвольного резонатора, как следует из (11.12), зависит от Qмет, QД и Орад. В закрытых резонаторах радиационные потери отсутствуют, поэтому

268

то из (11.11) следует, что

Аналогично можно показать, что добротность, обусловленная магнитными потерями, равна отношению μ'/μ". Добротность QA резонатора, заполненного веществом с параметрами ε = ε'-iε" и μ= μ- iμ", находится из формулы

11.1.6. Связь между добротностью объемного резонатора и длительностью процесса свободных колебаний в нем

При наличии потерь свободные электромагнитные колебания в резонаторах должны быть затухающими. Чем выше собственная добротность резонатора, тем меньше потери в нем и тем дольше свободные колебания сохраняют заметную амплитуду. В соответствии с формулой (1.120) для закрытого резонатора при наличии джоулевых потерь должно выполняться соотношение

dW/dt=-PП. (11.19)

Очевидно, что в случае монохроматических колебаний мгновенные значения РП и W связаны, как и средние значения этих величин, равенством

PП=ωQW/Q. (11.20)

Подставляя (11.20) в (11.19) и интегрируя, получаем

W=Woexp(-ωQt/Q), (11.21)

где Wo - начальный запас энергии в резонаторе при t = 0.

Как видно из (11.21), запас энергии в резонаторе с потерями экспоненциально убывает. За время, равное t≈ 0,75 Q/fOi энергия, запасенная в резонаторе, уменьшится в 100 раз. Если Q= 104 и fo= 1000 МГц, то t = 7,5 мкс, что свидетельствует о весьма быстром затухании свободных колебаний даже в высокодобротных резонаторах. Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в резонаторы вводят постоянно восполняющие потери сторонние источники. При этом резонатор уже работает в режиме вынужденных, а не свободных колебаний.

269

В момент подключения стороннего источника резонатору сообщается некоторый начальный запас энергии, что влечет за собой возникновение свободных колебаний, рассмотренных в 11.1.2. Свободные колебания, как было показано выше, при наличии потерь в резонаторе весьма быстро затухают, а электромагнитные колебания с частотой источника, т.е. вынужденные колебания, поддерживаются за счет энергии последнего. Поэтому уже через небольшой интервал времени после включения стороннего источника частота электромагнитных колебаний в резонаторе практически не отличается от частоты электромагнитных колебаний стороннего источника. Согласно (11.21) длительность периода установления стационарного режима тем больше, чем выше добротность объемного резонатора и ниже частота электромагнитных колебаний.

Возбуждение электромагнитных колебаний в объемных резонаторах и вывод энергии из них основаны на тех же принципах, что и в линиях передачи (см.. гл.12).

11.2. РЕЗОНАТОРЫ В ВИДЕ ОТРЕЗКОВ РЕГУЛЯРНЫХ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ 11.2.1. Общие сведения

Теоретическое исследование структуры электромагнитных полей и других свойств объемных резонаторов, ограниченных сложной по форме оболочкой, встречает весьма значительные математические трудности, связанные с необходимостью нахождения решений трехмерного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющих - граничному условию (11.8). Задача существенно упрощается, если резонатор образован из отрезка линии передачи с известной структурой электромагнитного поля. Рассмотрим, например, отрезок закрытой линии передачи, в котором возбуждена волна одного типа, распространяющаяся в направлении, указанном на рис.11.2 сплошной стрелкой. Конец линии, удаленный от точки питания, замкнем накоротко с помощью идеально проводящей металлической пластины, перпендикулярной продольной оси линии (режим короткого замыкания). Начало координат совместим с короткозамыкающей плоскостью, ориентировав ось z параллельно продольной оси линии (см. рис.11.2).

Так как коэффициент отражения от идеально проводящей плоскости для касательной к ней (т.е. перпендикулярной оси Z) составляющей вектора напряженности электрического поля равен -1, то комплексная амплитуда этой составляющей в произвольном сечении рассматриваемого отрезка линии определяется выражением

270