Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

Пусть параллельно поляризованная волна падает на плоскую границу раздела двух немагнитных диэлектриков

Под воздействием поля преломленной волны вторая среда поляризуется: дипольные моменты молекул второй среды ориентируются параллельно вектору напряженности электрического поля преломленной волны (рис.7.5).Упорядочение ориентированные молекулярные диполи второй среды излучают электромагнитные волны, суперпозиция которых и образует в первой среде плоскую отраженную волну. Молекулярный диполь (его можно считать элементарным электрическим вибратором) не излучает вдоль своей оси. Следовательно, отраженная волна не сможет возникнуть, если оси упорядоченно ориентированных молекулярных диполей будут параллельны направлению, в котором должна распространяться отраженная волна. Указанная ориентация молекулярных диполей имеет место при выполнении условия φ + θ= π/2, из которого следует, что cos φ =

Таким образом, в

рассматриваемом случае плоская параллельно поляризованная волна целиком проходит во вторую среду при угле падения

В случае нормальной поляризации молекулярные диполи ориентируются перпендикулярно плоскости падения и, следовательно, перпендикулярно направлению распространения отраженной волны. Перпендикулярно своей оси молекулярный диполь (ЭЭВ) излучает одинаково во всех направлениях. Поэтому в данном случае угла Брюстера не существует: от границы раздела двух немагнитных диэлектриков

нормально поляризованная волна отражается при любом угле падения.

Используя перестановочную двойственность уравнений Максвелла, легко показать, что в

случае сред, у которых отражение отсутствует при падении нормально поляризованной волны под углом

Параллельно поляризованная волна в этом случае отражается при любом угле падения. Анализ возможности полного прохождения волны во вторую среду в более общем случае,

когда и может быть

проведен на основе решения уравнений относительно cos φ. Плоские волны круговой и эллиптической поляризации (см. 6.2) можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных плоских волн, одна из которых

161

поляризована нормально, а другая - параллельно плоскости падения. Так как условия существования угла Брюстера для параллельной и нормальной поляризаций различны, то волны с круговой и эллиптической поляризациями будут отражаться при любых углах

падения Однако при этом соотношение между амплитудами нормальной и параллельной составляющих в отраженной и преломленной волнах будет иным, чем в падающей волне. Это приводит к изменению поляризации отраженной и преломленной волн по сравнению с падающей. В частности, если плоская волна с круговой поляризацией падает под углом Брюстера для одной из двух образующих ее линейно поляризованных волн, то отраженная волна оказывается линейно поляризованной, а преломленная - эллиптически поляризованной.

7.5. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД 7.5.1. Две диэлектрические среды

Определим условия, при которых в случае падения плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух идеальных диэлектриков отсутствует преломленная волна, т.е. имеет место полное отражение. Угол преломления Э может изменяться от нуля до π/2. Значение θ = π/2 является предельным. Назовем угол падения φ= φкр при котором θ= π/2, критическим углом. Полагая во втором законе Снеллиуса θ = π/2, получаем

Так как sin φкр не может быть больше единицы, полученное равенство возможно лишь в том случае, если k2<k1 т.е. при условии, что вторая среда является оптически менее плотной, чем первая (п2< n1).

При углах падения, больших критического, по-видимому, должно иметь место полное отражение, т.е. по абсолютной величине коэффициент отражения должен быть равен единице. Проверим это предположение.

Это означает, в частности, что средняя плотность потока энергии одинакова в падающей и отраженной волнах.

Таким образом, для возникновения полного отражения необходимо выполнение двух условий:

162

вторая среда должна быть оптически менее плотной по сравнению с первой (k2<k1 или п2<

n1 );

угол падения должен быть больше критического (φ> φкр).

Выпишем выражения для поля в первой среде для случая нормальной поляризации. Сложим поля (7.6) и (7.8) и учтем, что в рассматриваемом случае Положим в (7.8) φ 1 =φ и вынесем за скобки exp и используя формулы Эйлера, получаем

Аналогично записывается поле в первой среде в случае параллельно поляризованных волн. Очевидно, что в этом случае вектор Ё1т будет иметь две составляющие Ё1тх и E1mz, а вектор Н1т - только составляющую H1ту.

Из полученных формул следует, что в первой среде электромагнитное поле имеет структуру плоской волны, распространяющейся вдоль поверхности раздела (вдоль оси Z), и представляет собой направляемую волну, направление распространения, которой определяется (направляется) границей раздела. Поверхности равных фаз образуют семейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векторов Е и Н зависят от координаты х и угла падения φ. Поверхности равных амплитуд образуют семейство плоскостей, перпендикулярных оси X. Так как ПРА и ПРФ не совпадают друг с другом (они образуют взаимно перпендикулярные плоскости), то волна является неоднородной плоской волной.

Вотличие от плоской волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде и всегда являющейся поперечной, в рассматриваемой волне имеются продольные (параллельные направлению распространения) составляющие векторов поля.

Вслучае нормальной поляризации вектор Н имеет как оперечную Нх, так и продольную Нz составляющие, а вектор Е целиком лежит в поперечной плоскости. В случае параллельной поляризации, наоборот, вектор Е имеет и продольную Ez, и поперечную Ех составляющие, а вектор Н целиком лежит в поперечной плоскости.

Фазовая скорость рассматриваемой волны

Из формулы (7.30) видно, что фазовая скорость уменьшается с увеличением угла падения. Ее минимальное значение при φ→π/2 равно скорости света в первой среде.

Длина волны λz вдоль направления распространения (оси Z) или (что то же самое) длина рассматриваемой направляемой волны Λ вычисляется по формуле

163

Она больше длины волны, свободно распространяющейся в первой среде но

меньше, чем длина волны, свободно распространяющейся во второй среде т.е.

Изменение составляющих векторов Е и Н в первой среде вдоль любой линии, перпендикулярной поверхности раздела (т.е. параллельной оси X, имеет характер стоячей волны (рис.7.6) с длиной

(7.34)

Поперечные составляющие векторов Е и Н изменяются синфазно. Продольная составляющая вектора Н (или Е) сдвинута по фазе относительно поперечных составляющих векторов Е и Н на π/2.

Комплексный вектор Пойнтинга определяется выражением

Здесь знак "+" соответствует случаю нормальной поляризации, а знак "-" - параллельной поляризации. Постоянная у в зависимости от типа поляризации падающей волны равна

или Из (7.35) следует, что комплексный вектор Пойнтинга имеет две составляющие Пх и ПZ, сдвинутые по фазе на π/2.

Среднее значение вектора Пойнтинга

Следовательно, в среднем энергия распространяется только в направлении оси Z, т.е. вдоль поверхности раздела. В направлении, перпендикулярном поверхности раздела, существует только реактивный поток энергии.

164

Имеется бесчисленное множество плоскостей, перпендикулярных оси X, на которых касательная к ним составляющая напряженности электрического поля (Еу в случае нормальной и Ег в случае параллельной поляризаций) и нормальная составляющая напряженности магнитного поля тождественно равны нулю (см. рис.7.6). Точки пересечения этих плоскостей с осью X определяются из уравнения cos (k1x cos φ+ψ/2)=0 где ψ равно ψ┴ или ψ║ в зависимости от поляризации волны. Например, в случае нормальной поляризации

На таких плоскостях (см. рис.7.6) векторы Е и Н автоматически удовлетворяют условиям, эквивалентным граничным условиям на поверхности идеально проводящего металла. Кроме того, поток энергии (как активный, так и реактивный) через эти плоскости тождественно равен нулю (ПX =0). Это означает, в частности, что, если бы одна из этих плоскостей (например, х = хn действительно была идеально проводящей, то структура поля над этой плоскостью, т.е. при хn > х > -∞, осталась бы прежней.

Средняя скорость распространения энергии направлена вдоль оси Z. Для ее определения выделим в поле рассматриваемой волны энергетическую трубку (см.1.8.5), через боковую поверхность которой поток энергии в любой момент времени равен нулю. Например, в случае нормальной поляризации в качестве такой трубки можно выделить объем, заключенный между двумя соседними плоскостями, которые определяются уравнением (7.37). Этот объем может быть произвольно протяженным вдоль оси У. Так как в пределах поперечного сечения этой трубки значения вектора Пойнтинга П и объемной плотности электромагнитной энергии w зависят от переменной х, то для вычисления скорости переноса энергии нужно воспользоваться формулой (1.161). При этом получим

где Пср и wcp - средние за период значения вектора П и w соответственно. Вычисляя входящие в это выражение интегралы, получаем

Таким образом, скорость распространения энергии меньше скорости света в первой среде. Из формул (7.30) и (7.39) следует, что произведение фазовой скорости на скорость распространения энергии равно квадрату скорости света в первой среде:

Vф VЭ=1/ε1μ1=С21 (7.40)

Перейдем к анализу свойств поля, возникающего во второй среде. В случае нормальной

поляризации векторы и определяются формулами (7.9). Так как при полном отражении от границы раздела двух диэлектриков cos θ является мнимой величиной, удобно ввести обозначение

165

Формулы для поля параллельно поляризованной волны записываются аналогично и могут быть получены из выражений (7.43) на основе перестановочной двойственности уравнений Максвелла.

Из формул (7.43) следует, что во второй среде электромагнитное поле имеет структуру плоской неоднородной волны, распространяющейся вдоль оси Z. Поверхности равной фазы (z = const) и равной амплитуды (х = const) взаимно перпендикулярны. Фазовая скорость и длина волны Λ = λz такие же, как в первой среде, и определяются формулами (7.30) и (7.32) соответственно. Имеются продольные составляющие векторов поля (Hz в случае нормальной поляризации и Ez в случае параллельной поляризации). Продольные составляющие сдвинуты по фазе относительно поперечных на π/2.

Вектор Пойнтинга имеет две составляющие Пz и /7z. При этом составляющая /7z является вещественной, а составляющая

7.5.2. Диэлектрик и идеальный проводник

166

Все выводы данного раздела получены в предположении, что обе среды являются идеальными диэлектриками. Тем не менее полученные выражения позволяют также исследовать случай, когда первая среда - диэлектрик, а вторая - идеальный проводник. Как уже отмечалось, Zc для идеального проводника равно нулю. Поэтому для перехода к случаю падения плоской волны из диэлектрика с параметрами ε и μ на плоскую идеально проводящую поверхность нужно в окончательных формулах положить Zc2 = 0. При этом

при любом угле падения φ. Следовательно, полное отражение от поверхности идеального проводника имеет место при любых углах падения. Поле во второй среде тождественно равно нулю, а в первой представляет собой направляемую волну, распространяющуюся вдоль границы раздела (вдоль оси Z).

На границе раздела (при х = 0) в рассматриваемом частном случае должно выполняться граничное условие Ёту ׀х=0 = 0. Легко убедиться что оно выполняется. Действительно, подставляя (7.44) в (7.37) и полагая n = 0, получаем х0 = 0. Это означает, что первая плоскость, на которой Ету = 0, совпадает с границей раздела.

Фазовая скорость, длина волны Λ и скорость распространения энергии в этом случае такие же, как при полном отражении от границы раздела двух диэлектриков, и определяются формулами (7.30), (7.32) и (7.39) соответственно. Структура поля вдоль оси Х также имеет характер стоячей волны с длиной λ х, определяемой выражением (7.34).

7.6. ПАДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Пусть плоская волна падает под углом φ на плоскую границу раздела двух сред, из которых первая - идеальный диэлектрик, а вторая обладает проводимостью. Общие формулы, определяющие поля падающей, отраженной и преломленной волн, можно использовать и в этом случае, если считать в них параметры k2 и Zc2 комплексными величинами. Из второго закона Снеллиуса (7.11) следует, что при этом sin 8 становится комплексным, так как k1 и sin φ - действительные числа, а k2 = k2 комплексная величина.

Это означает, что параметр θ нельзя рассматривать как геометрический угол, под которым распространяется преломленная волна. Введем обозначения

и х = const соответственно. Следовательно, волна (7.46) является неоднородной плоской волной. Направление распространения этой волны образует некоторый угол θД с осью X, который называют истинным (или действительным) углом преломления (рис.7.7). Поверхности равных фаз представляют собой параллельные плоскости, нормаль к которым образует с осями X и Z углы θд и π/2-θд соответственно. Уравнение,

167

определяющее такие плоскости, может быть также записано в виде х cos θД + z sin θД = const. Сравнивая это равенство с уравнением (7.47), находим, что

Отметим, что в рассматриваемом случае ПРФ повернуты относительно ПРА на угол θД (см. рис.7.7).

Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают в направлении нормали к поверхности раздела (вдоль оси X). Имеется продольная по отношению к направлению распространения преломленной волны составляющая вектора Н (в случае нормальной поляризации) или продольная составляющая вектора Е (в случае параллельной поляризации).

Поле в первой среде складывается из падающей и отраженной волн и не имеет принципиальных отличий от поля, возникающего при отражении волны от границы раздела двух диэлектриков.

Аналогичные результаты можно получить, анализируя случай параллельной поляризации. Практически важным является случай, когда вторая среда оптически намного плотнее первой:

Это означает, что при любом угле падения ср на поверхность хорошо проводящей среды преломленная волна распространяется практически вдоль нормали к поверхности раздела. Поверхности равных фаз и поверхности равных амплитуд при этом практически совпадают, и волну можно считать однородной. Продольная по отношению к направлению распространения составляющая вектора Н (или, в случае параллельной поляризации, вектора Ё)будет пренебрежимо мала по сравнению с поперечной составляющей. Можно считать, таким образом, что волна является поперечной, причем векторы Е и Н, в ней сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол

168

Иными словами, при анализе плоской волны, возникающей в результате преломления на поверхности хорошо проводящей среды, можно использовать все основные соотношения, полученные в 6.1.4 при исследовании свойств плоской волны, свободно распространяющейся в хорошо проводящей безграничной однородной изотропной среде.

Подчеркнем, что амплитуды векторов Е и Н преломленной волны в металле быстро убывают с удалением от границы раздела и волна фактически существует лишь в тонком слое вблизи поверхности раздела.

7.7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛЕОНТОВИЧА-ЩУКИНА

Задача определения поля в присутствии металлических тел с конечной проводимостью имеет большое значение. Ее решение часто можно упростить введением приближенных граничных условий Леонтовича-Щукина. В отличие от обычных граничных условий, связывающих значения составляющих поля на границе раздела в разных средах, граничные условия Леонтовича-Щукина выражают связь между составляющими векторов Ё и Н в одной среде.

В 7.6 было показано, что при выполнении условия (7.49) плоская волна, падающая под любым углом ср на границу раздела двух сред, возбуждает во второй среде плоскую волну, распространяющуюся практически вдоль нормали к поверхности раздела. Так как ПРФ и ПРА такой волны практически совпадают, то ее можно считать однородной. При этом должны выполняться соотношения

где п0-единичная нормаль, внешняя к плотной среде.

Соотношение (7.52) называют приближенным граничным условием Леонтовича-Щукина.

Из него следует, что на поверхности реального проводника касательная составляющая напряженности электрического поля отлична от нуля. Отметим, что граничное условие Леонтовича-Щукина в предельном случае σ2→∞совпадает с обычным условием Е1τ=0, которое должно выполняться на поверхности идеального проводника.

169

Так как характеристическое сопротивление в случае хорошо проводящей среды мало, то и касательная составляющая вектора Е на поверхности такой среды будет мала. Однако она определяет нормальную к поверхности проводника компоненту вектора Пойнтинга, т.е. уходящий в металл поток энергии. В инженерных расчетах касательную составляющую вектора Е на поверхности реального проводника обычно не учитывают, кроме тех случаев, когда требуется определить потери в проводнике, т.е. считают, что структура поля над реальным проводником такая же, как и над идеальным проводником той же конфигурации.

Граничное условие (7.52) является приближенным. Это следует непосредственно из его вывода, при котором предполагалось, что образующиеся во второй среде волны распространяются строго по нормали к поверхности раздела. В действительности направление распространения образует некоторый (в случае металлов очень малый) угол с нормалью к поверхности раздела.

Условие (7.52) было получено в предположении, что граница раздела является плоской. При произвольной форме поверхности раздела условием (7.52) можно пользоваться только в тех случаях, если минимальный радиус кривизны поверхности Rmin значительно превышает глубину проникновения 0 (см. 6.1.6):

7.8. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ 7.8.1. Явление поверхностного эффекта

Выше (см. 6.1.5) было показано, что напряженность переменного электрического поля внутри металла, а следовательно, и плотность тока (j = σE) экспоненциально убывают по мере удаления от поверхности раздела. На высоких частотах весь ток фактически сосредоточен возле поверхности проводника. Это явление называют поверхностным эффектом или скин-эффектом.

В результате поверхностного эффекта как бы уменьшается сечение провода: эффективное сечение оказывается меньше геометрического. Это приводит к увеличению активного сопротивления провода. На высоких частотах оно может во много раз превысить сопротивление провода при постоянном токе. Кроме того, поверхностный эффект уменьшает магнитную энергию, сосредоточенную внутри проводника, что вызывает уменьшение внутренней индуктивности провода. Очевидно, что поверхностный эффект тем заметнее, чем больше радиус провода. Так как вследствие поверхностного эффекта центральная часть провода, по существу, не используется, то. на высоких частотах для экономии металла и уменьшения веса часто сплошные провода заменяют полыми.

Явление поверхностного эффекта позволяет использовать металлические экраны для защиты различных элементов электрических цепей от влияния на них переменного электрического поля. Если экран полностью охватывает объект, а его толщина составляет несколько глубин проникновения (Δ0), то внешнее электромагнитное поле практически сквозь него не проникает.

Очевидно также, что при этих условиях существующее внутри экрана поле, в свою очередь, не сможет проникнуть в окружающее пространство. Если защищаемый объект неполностью охватывается экраном, то электромагнитное поле будет частично проникать за экран в результате дифракции волн (см. гл. 8).

Следует отметить, что в случае постоянных и низкочастотных полей металлический экран не пропускает электрическое поле, но пропускает магнитное, если он выполнен из парамагнитного или диамагнитного металла.

7.8.2. Потери энергии в проводнике

Пусть металлический объект, размеры и минимальный радиус кривизны поверхности которого велики по сравнению с глубиной проникновения, находится в монохроматическом электромагнитном поле. Под воздействием этого поля в металле

170