Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

распространяющаяся в положительном направлении оси Z. Поэтому в первом слагаемом в формуле (6.4) в соответствии с выбором вида множителя exp(-i kz) следует положить

В среде без потерь и формулы (6.13) переходят в (6.1).

При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол ψс увеличивается

от нуля до π/4, а модуль Zc убывает от до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной, величины характеристического сопротивления, т.е. к увеличению | Н | при заданном значении | Е |. Это обусловлено тем, что величина Н определяется как током проводимости, так и током смещения. В среде без потерь

141

существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях Е и ε токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости. Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим сначала случай, когда вектор. Ёm имеет лишь одну составляющую, например, Ёхт. Тогда вектор Нт также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную Ет (в рассматриваемом примере Нут). Считая вектор Ёо вещественным (Ё0=х0Е0) и переходя к мгновенным значениям векторов Е и Н из (6:13) получаем

Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами.

Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (Ёт и Нт) векторов Е и Н всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор Ёо имеет одну составляющую (например, Ёо =хоEо), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Более подробно вопрос о перпендикулярности мгновенных значений векторов Е и Н рассмотрен в 6.2. Поверхности равных фаз определяются уравнением z = const и представляют собой семейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают вдоль оси Z. Постоянную а называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь α= 0 и

амплитуды векторов Е и Н не зависят от координат. При σ≠0 поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов Е и Н которых не зависят от координат, называют однородными. При σ≠0 между векторами Е и Н имеется фазовый сдвиг. Вектор Н опаздывает по фазе

относительно вектора Е на угол В среде без потерь векторы Е и Н изменяются синфазно. При изменении а от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до π/4. На рис. 6.2 и 6.3 показаны зависимости мгновенных значений векторов Е и Н от времени tв некоторой фиксированной точке пространства (z = z0) в среде с σ≠0 (см. рис. 6.2) и в среде без потерь (см. рис.6.3). На рис.6.4 и 6.5 показаны зависимости тех же величин от координаты z в некоторый фиксированный момент времени t=t0 для случаев σ≠0 (см.рис.6.4) и σ =0 (см. рис. 6.5).

Фазовая скорость vф плоской волны находится так же, как в случае сферической волны (см.5.3). Используя формулу (6.13), рассмотрим перемещение ∆z ПРФ за время ∆t. В

результате придем к равенству из которого следует, что при σ≠0

142

В среде без потерь

же параметрами ε и μ. Так как то vф в среде с потерями меньше уф в среде без потерь с теми же ε и μ.

Параметр β, определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. Как видно из (6.16), при σ≠0 фазовая скорость зависит от частоты (tg δ =σ/(ωε)): с увеличением последней она возрастает. Предельное значение vФ при ω→∞ равно

Кроме того, величина vФ зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.

Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же ε и μ. Ее значение зависит от проводимости среды. При фиксированной частоте длина волны λ убывает с увеличением

σ; при σ = О длина волны Распространение волны сопровождается переносом энергии. При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга

содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси Z:

При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:

Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.

143

Возникновение реактивного потока энергии в среде с σ≠0 может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью j = σЕ, на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают электромагнитное поле: создают вторичную плоскую волну, которая складывается с первичной, происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.

Скороcть распространения энергии вычисляется по формуле (1.162) и равна фазовой скорости:

Как видно, при σ≠0 скорость распространения энергии зависит от частоты. В среде без

потерь одинакова при любой частоте. Характеристическое сопротивление волны Zc при σ≠ 0 также зависит от частоты. Модуль Zc возрастает с увеличением f. Его

предельное значение при f→∞ совпадает с характеристическим сопротивлением волны,

распространяющейся в среде без потерь с теми же ε и μ, т.е. равно Аргумент характеристического сопротивления ψс изменяется от π/4 (при f→0 ) до нуля (при f→∞). Из изложенного следует, что свойства плоской волны, распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны (VФ, V3, a, Zc и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при σ = 0, если характеризующие ее параметры е и ц зависят от частоты.

Вобщем случае вектор Ёт имеет две составляющие Ёхт и Ёут, между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор Нт также будет иметь две составляющие Нхт и Нут. Если составляющие вектора E по осям X и Y (Ех и Eу) изменяются синфазно, то поворотом осей координат X и У вокруг оси Z этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор

Ёт имеет одну составляющую. При наличии между составляющими Ёхт и Ёут фазового сдвига, не равного nπ, где п - целое число, волна имеет некоторые особенности, например при f→0 мгновенные значения векторов Е и Н не являются взаимно перпендикулярными (см.6.2). Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.

Рассмотрим два частных случая реальных сред: диэлектрики и проводники.

6.1.3. Волны в диэлектриках

Вдиэлектриках tgδ<<1, поэтому можно приближенно положить

Применяя дважды это приближенное равенство к выражению (6.7), получаем

144

Из полученных результатов следует, что параметры волны (β,λ,vф,vэ,Zc), распространяющейся в реальном диэлектрике, мало отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же ε и μ. Коэффициент ослабления α является малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свойства проявляются незначительно.

6.1.4. Волны в проводниках

В проводниках (например, в металлах) tg 5>> 1. Поэтому в выражениях для α и β можно пренебречь единицей по сравнению с tg 5. В результате получим

6.1.5. Затухание волн

Коэффициент ослабления α волны, распространяющейся в проводнике, большая величина. Поэтому амплитуды векторов поля резко уменьшаются вдоль направления распространения: волна быстро затухает. Пусть амплитуда напряженности электрического поля в точке с координатой z равна Ет (z), а амплитуда в точке с координатой z + l равна Em(z + I). Отношение

Em(z)/Em(z +l )= ехр(αl) (6.30)

145

показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны при прохождении ею расстояния l.

Затухание измеряют в неперах (Нп) и децибелах (дБ). Затухание в неперах определяют как натуральный логарифм отношения (6.30) In [Em (z)IEm (z + l)] = αl Затухание в децибелах определяют как двадцать десятичных логарифмов того же отношения:

Коэффициент α, таким образом, определяет затухание волны при прохождении ею пути в один метр и измеряется в неперах на метр (Нп/м).

Вычислим затухание волны, распространяющейся в меди, при частоте в 1 Мгц.

Коэффициент ослабления Это означает, например, что при прохождении волной расстояния в один миллиметр ее амплитуда уменьшается в

е14,8 раз, т.е. примерно в 2,67 миллиона раз. Приведенный пример показывает, что переменное электромагнитное поле на частотах радиотехнического диапазона практически не проникает в глубь проводника.

6.1.6. Глубина проникновения

Расстояние ∆°, при прохождении которого электромагнитное поле ослабевает в е раз, называют глубиной проникновения поля в среду. На расстоянии ∆° ослабление составляет 1 Нп, т.е. α∆° = 1 и, следовательно,

Как видно из формулы (6.32), глубина проникновения зависит от частоты: чем больше частота, тем меньше ∆°.

6.2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН

Ориентация векторов Е и Н относительно осей X и У в плоской волне, распространяющейся вдоль оси Z, зависит от источника, создающего волну. Пусть, например, волна создается элементарным электрическим вибратором, расположенным на оси Z параллельно оси X в среде без потерь. Тогда в области, примыкающей к оси Z и удовлетворяющей условиям, при которых сферическую волну можно приближенно считать плоской, вектор Е будет иметь одну составляющую Ех, а вектор Н- только составляющую Ну. Поле такой плоской волны в среде без потерь определяется формулами (6.15). При выводе этих формул предполагалось, что начальная фаза вектора Е (фаза в момент времени t = 0 в точке z = 0 или что, то же самое, фаза вектора Ёо) равна нулю. Если начальная фаза равна φ, то формулы (6.15) принимают вид

Так как векторы Е и Н взаимосвязаны (Н = (1/ZC) [zo, E]), ограничимся рассмотрением одного вектора Е. Из формулы (6.33) следует, что половину периода направление вектора

146

Е совпадает с направлением оси X, а другую половину периода - противоположно. Таким образом, в фиксированной точке пространства (z = const) конец вектора Е с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, а величина вектора изменяется в интервале [-Е0, Ео]. Волны, обладающие таким свойством, принято называть линейно поляризованными. Плоскость, проходящую через ось Z и вектор Е, называют плоскостью поляризации. В рассматриваемом примере плоскостью поляризации является плоскость

XOZ.

Если источником волны является элементарный магнитный вибратор, параллельный оси X, или элементарный электрический вибратор, параллельный оси Y, то вектор Е имеет, только составляющую Еу, а вектор Н- только составляющую Нх. Волна в этом случае также будет линейно поляризованной.

Предположим теперь, что волна создается двумя вибраторами, например взаимно перпендикулярными элементарными электрическими вибраторами, расположенными на оси Z, как показано на рис. 6.6. В этом случае вектор Е имеет две составляющие Ех и Еу, которые изменяются либо синфазно, либо с некоторым фазовым сдвигом в зависимости от соотношения между фазами токов вибраторов. Вектор Н при этом имеет также две составляющие Нх и Ну, связанные с Ех и Еу соотношениями (6.2). Аналогичный результат получается, если в качестве источника волны рассматривать любую другую более сложную систему, излучающую монохроматические электромагнитные волны. Таким

образом, в общем случае выражение для вектора Е плоской волны в среде без потерь записывается в виде

где Ехт и Еут - амплитуды составляющих Ех и Еу соответственно, а φ1 и t2-фазы этих составляющих в точке z = О при t = 0.

Для перехода к случаю среды с отличной от нуля проводимостью нужно в (6.34) заменить k на β и положить Ехт =

значения амплитуд составляющих Ех и Еу соответственно в плоскости z = 0. При этом получим

Формулы (6.34) и (6.35) однотипны, и для дальнейшего достаточно исследовать любую из них, например (6.35). Волну (6,35) можно рассматривать как суперпозицию двух плоских линейно поляризованных волн с взаимно перпендикулярной ориентацией векторов Е, распространяющихся в одном направлении (вдоль оси Z). Характер изменения вектора Е волны (6.35) с течением времени в фиксированной точке пространства зависит от соотношения между начальными фазами φ1 и φ2 и от амплитуд Е°хт и Е°ут.

147

Угол θ (рис. 6.7) между осью X и вектором Е в фиксированной точке пространства (z) определяется соотношением

Как следует из формулы (6.36), угол θ зависит от соотношения между φ1 и φ2, а

также от отношения . В общем случае угол θ может изменяться со временем. Предположим вначале что начальные фазы φ1 и φ2 совпадают. Полагая в формуле (6.36) φ1=φ 2 φ, получаем

Следовательно, вектор Е, определяемый равенством (6.35) в любой момент времени, лежит в плоскости, проходящей через ocь Z и составляющей угол θ = arctg Eут /Exm с плоскостью XOZ(рис. 6.8).

Аналогичное явление имеет место также в том случае, когда разность между φ1 и φ2 равна целому числу π:

В фиксированной точке пространства конец вектора Е с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, составляющей с осью X угол θ = (-1)narctg(E°ym/E°xm). Таким образом, волна (6.35) при выполнении условия (6.38) является линейно поляризованной. Очевидно, что поворотом осей координат X и Υ относительно оси Z в этом случае можно добиться того, чтобы вектор Е в новой системе координат имел только одну составляющую Ех или Еу.

148

Равенство (6.39) означает, что угол θ в фиксированной точке пространства (z) увеличивается пропорционально t. Величина вектора Е при этом остается неизменной:

Таким образом, в фиксированной точке пространства вектор Е, оставаясь неизменным по величине, вращается с угловой частотой ю вокруг направления z0. Конец вектора Е при этом описывает окружность (рис. 6.9, а). Волны такого типа называют волнами с круговой поляризацией.

Нетрудно убедиться в том, что при Е°xт = Е°yт = Ео волна будет иметь круговую поляризацию, если

В зависимости от направления вращения вектора Е различяют волны с правой и елевой круговой поляризацией. В случае

правой круговой поляризации вектор Е вращается по часовой стрелке (если смотреть вдоль направления распространения волны), а в случае левой круговой поляризации -

против часовой стрелки.

В рассмотренном примере волна имеет правую круговую поляризацию. Очевидно, что такая же поляризация будет и в том случае, если

волна имеет левую круговую поляризацию.

Таким образом, вектор Е вращается в направлении от опережающей по фазе составляющей вектора Е к отстающей. На рис. 6.9, б показана ориентация вектора Е, соответствующего различным значениям координаты z в фиксированный момент вре-

149

мени, для случая плоской волны с круговой поляризацией, распространяющейся в среде без потерь. Линия, соединяющая концы векторов, является винтовой линией с шагом, равным длине волны. Ее проекция на плоскость XOY образует окружность (рис.6.9, а). С течением времени изображенная на рис.6.9,б винтовая линия, определяющая ориентацию вектора Е в зависимости от координаты z, вращается вокруг оси Z с угловой частотой ш. В случае среды без потерь этот процесс можно трактовать и как перемещение винтовой

линии вдоль оси Z со скоростью - скорость света в вакууме.

В случае среды с потерями линия, соединяющая концы векторов Е, вычисленных в один и тот же момент времени в разных точках оси Z, представляет собой спираль, радиус которой (расстояние от оси Z до спирали) изменяется вдоль Z по закону exp(-αz).

Отметим, что винтовая линия, соответствующая волне с правой круговой поляризацией, имеет левую намотку, и, наоборот, в случае волны с левой круговой поляризацией винтовая линия имеет правую намотку.

Из проведенного анализа следует что любая волна круговой поляризации является суперпозицией двух линейно поляризованных волн. Покажем, что всякую линейно поляризованную волну можно представить в виде суммы двух волн с круговой поляризацией. Пусть вектор Е линейно поляризованной волны колеблется в плоскости XOZ.

Комплексная амплитуда вектора Е в этом случае имеет вид

Первое слагаемое в правой части равенства (6.44) описывает волну с левой круговой поляризацией, а второе - волну с правой круговой поляризацией.

В общем случае вектор Е определяется формулой (6.35). В фиксированной точке пространства он изменяется и по величине, и по направлению. Найдем форму линии, описываемой при этом концом вектора Е. Введя обозначение ζ =ω t- kz, получим из (6.35) следующие соотношения:

150