Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

Отметим, что вывод формулы (11.38) и получаемый результат не изменяются, если вместо диафрагм на вход и выход резонатора включить любые другие неоднородности без потерь. Например, в прямоугольных резонаторах широко применяются неоднородности, состоящие из нескольких штырей (рис.11.20). Подбором количества стержней, их диаметра и расстояний между ними можно получить значения коэффициента отражения, соответствующие заданным значениям нагруженной добротности резонатора [57]. В полосковых и коаксиальных линиях роль неоднородности может выполнять зазор (щель) в центральном проводнике (рис.11.21).

11.4. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

Характерным признаком квазистационарных резонаторов является весьма четко выраженное пространственное разделение электрического и магнитного полей у колебания с наименьшей резонансной частотой, т.е. энергия электрического и магнитного полей концентрируется преимущественно в различных частях объема резонатора. Это позволяет рассматривать квазистационарные резонаторы, в которых возбуждается колебание с низшей резонансной частотой, как обычные колебательные контуры с сосредоточенными постоянными, причем те части объема, где концентрируется энергия электрического и магнитного полей, эквивалентны соответственно емкостному и индуктивному элементам контора. Если величина индуктивного и емкостного сопротивлений элементов известна, то резонансная частота квазистационарного резонатора может быть рассчитана по формуле

На рис.11.22 и 11.23 изображены тороидальный резонатор, применяемый в клистронах, и резонатор магнетрона соответственно.

В случае тороидального резонатора электрическое поле почти полностью сосредоточено в зазоре шириной d (рис.11.22). Емкость эквивалентного резонансного контура равна емкости зазора между параллельными пластинами резонатора, которая рассчитывается по

формуле Эта формула является приближенной, так как не учитывает искажение поля на краях конденсатора. Магнитное поле концентрируется преимущественно в боковых полостях резонатора. Если пренебречь неравномерностью распределения магнитного поля вдоль оси Z, можно считать, что вектор Н имеет только

281

поверхности внутреннего цилиндра, а r-расстояние от оси Z до рассматриваемой точки. Магнитный поток, проходящий через боковые полости резонатора,

где S┴ - площадь половины поперечного сечения резонатора, пронизываемая магнитными

Аналогично для ячейки магнетронного резонатора {рис.11.23) получаем

282

Глава 12 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ СВЧ

12.1. ПОНЯТИЕ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СХЕМЕ ЦЕПИ СВЧ. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ 12.1.1. Цепь СВЧ (тракт СВЧ)

Радиосистемы, работающие в диапазоне 30 МГц <f<3000 ГГц, обычно можно представить в виде некоторых устройств, соединенных отрезками линий передачи. Часть такой системы, расположенную между начальным и оконечным устройствами (например, между антенной и радиопередающим или радиоприемным устройством), называют трактом СВЧ или цепью СВЧ. Подобный тракт осуществляет передачу электромагнитной энергии от передатчика к антенне или от антенны к приемнику, обеспечивает требуемый режим работы выходных или входных цепей передатчика или приемника, выполняет частотное и поляризационное разделение и объединение передаваемых сигналов и ряд других функций. Отметим, что цепью СВЧ называют также и отдельные части тракта СВЧ. Наиболее распространенными элементами СВЧ цепей являются отрезки линий передачи, переходные и стыковочные узлы между линиями разных типов, согласующие и настроечные элементы, сумматоры, делители и ответвители мощности, поляризационные устройства, фильтры, фазовращатели, коммутаторы и переключатели, невзаимные устройства с намагниченными ферритами и др. Перечисленные и некоторые другие элементы СВЧ рассмотрены в последующих главах.

Процессы передачи электромагнитных сигналов в цепях СВЧ и в образующих их элементах являются весьма сложными. Их можно было бы проанализировать на основе решения соответствующих краевых задач электродинамики. Однако строгая постановка и решение таких задач даже для сравнительно простых элементов цепей СВЧ возможны далеко не всегда. А для применяемых на практике цепей СВЧ из-за их конфигурационной сложности решение краевых задач в строгой постановке в настоящее время практически невозможно. На практике при анализе сложных цепей СВЧ применяют метод декомпозиции (разбиения): цепь СВЧ разбивается на ряд элементов, которые анализируются независимо. При этом каждый такой элемент рассматривается как независимая электродинамическая система.

Постановка и решение краевых задач, соответствующих отдельным элементам, существенно проще, чем для всего устройства в целом. Используя или решение электродинамической задачи или результаты экспериментального исследования, если подобное решение получить не удается, для каждого выделенного элемента строят такое описание, которое позволяет находить влияние этого элемента на передаваемые электромагнитные сигналы. Обычно описание элементов цепи представляют либо в виде одной из матриц (матрицы рассеяния, матрицы передачи и др.), либо в виде эквивалентной схемы, состоящей из отрезков эквивалентной линии передачи, в которую тем или иным способом включены сосредоточенные элементы L, С, R и трансформаторы. Имея подобные универсальные описания всех элементов цепи СВЧ, можно определить все требуемые характеристики цепи (см. 12.3).

Обычно при построении математической модели цепи СВЧ для упрощения анализа отрезки линий передачи, соединяющие входящие в эту цепь устройства, заменяют отрезками эквивалентной линии, а устройства рассматриваются как некоторые многополюсники. Электромагнитные процессы в эквивалентной линии описываются скалярными функциями (напряжением 0т и током iт), зависящими лишь от продольной координаты z. Эти функции строятся на основе векторных функций Ёт определяемых для каждой линии из решения соответствующей электродинамической задачи (см. гл.10). Отметим, что указанную упрощенную модель отрезка линии передачи можно использовать лишь в диапазоне частот, где соблюдается одноволновый режим работы линии. Кроме того, эта модель непригодна для определения ряда характеристик цепи СВЧ, например таких, как максимальная мощность, передаваемая по цепи СВЧ, или

283

величина взаимной связи между элементами цепи СВЧ, построенной на отрезках линий передачи открытого типа, и некоторых других.

Рассмотрим переход к эквивалентной линии. Для TЕМ-волн в линиях передачи, структура поля которых в поперечной плоскости имеет потенциальный характер, можно, используя векторы Ёт и Нт, однозначно определить соответствующие им напряжение 0т и ток iт. При этом для волны, распространяющейся по линии без потерь вдоль оси Z, можно записать

где k- коэффициент фазы рассматриваемой волны.

В гл.10 были определены Um(z) и lm(z) для TЕМ-волн в двухпроводной и коаксиальной линиях. Зная функции (12.1), можно вычислить волновое сопротивление линии ZB = Um(z)/im{z) и среднюю за период мощность, переносимую волной по линии:

Для линии передачи, в которой распространяются Е-, Н- или смешанные волны, напряжение и ток в эквивалентной линии могут быть выражены через контурные интегралы от функций Em┴ и Нт┴ соответственно; указанные функции описывают поперечные составляющие полей в рассматриваемой линии передачи. В отличие от случая TЕМ-волн у Е-, Н- и смешанных волн поле, описываемое функциями Ёт┴ и Нт┴ не является потенциальным. Поэтому значения функций Um(z) и im(z) определяются неоднозначно: они зависят от выбора контуров интегрирования. Для устранения этой трудности при переходе к эквивалентной линии заранее оговаривают форму указанных контуров. Рассмотрим, как вычисляются напряжение, ток и волновое сопротивление для волны Н10, бегущей вдоль оси Z прямоугольного волновода. Используя выражение (10.18) для составляющей Ёту волны Н10, определяем комплексную амплитуду напряжения между точками, лежащими на средних линиях широких стенок при х = а/2:

Изменив форму контура либо методику определения напряжения и тока, можно получить другие выражения для ZB. Однако во всех случаях формула для имеет вид где А-числовой коэффициент, зависящий от способа вычисления

величин Неопределенность в выборе этого коэффициента существенного значения не имеет, так как при инженерном проектировании цепей СВЧ

284

важно знать отношение волновых сопротивлений соединяемых отрезков линий, а не конкретные значения каждого из них.

На основе изложенного любую линию передачи можно заменить эквивалентной длинной линией, в которой распространяются соответствующие волны напряжения и тока. Отметим, что математическую модель в виде эквивалентной линии можно использовать и для линии передачи, в которой могут распространяться несколько типов волн. В этом случае для каждого распространяющегося по линии типа волны с помощью формул, аналогичных (12.3)—(12.5), строится своя эквивалентная линия, т.е. математическая модель образуется несколькими (по числу распространяющихся типов волн) эквивалентными линиями.

12.1.2. Линии передачи конечной длины. Неоднородности в линиях передачи

Пусть отрезок произвольной регулярной линии (рис.12.1) включен между генератором И оконечным устройством, которое в дальнейшем будем называть нагрузкой. Предположим, что линия работает в одноволновом режиме и по ней может распространяться волна

основного типа, электрическое поле которой описывается векторной функцией . Поскольку в конце линии в месте подключения нагрузки появляются новые границы раздела сред, то по сравнению с бесконечной линией в рассматриваемом случае изменяются краевые условия для векторов электромагнитного поля.

В результате этого на конце линии возникает новая, соответствующая изменившимся краевым условиям структура поля. Поскольку в регулярной линии в общем случае может существовать бесконечное число типов волн, отличающихся друг от друга структурой полей, то образовавшееся после подключения нагрузки поле должно быть суперпозицией этих волн. Однако, если линия работает в одноволновом режиме, амплитуды векторов поля всех типов волн, кроме основного, экспоненциально убывают в линии по мере удаления от нагрузки. Поэтому, если плоскость Т1 (рис.12.1,а), перпендикулярная оси Z, расположена на таком расстоянии от нагрузки, при котором в этой плоскости можно пренебречь амплитудами векторов поля всех высших типов волн, то во всех точках линии, находящихся левее плоскости Т1 кроме падающей будет распространяться лишь отраженная волна основного типа, электрическое поле которой описывается функцией

Если в месте подключения нагрузки образуется такая структура поля, при которой в ее составе отсутствует волна основного типа, то отраженная волна в линии не появится. При этом, если отсутствуют потери в линии, вся переносимая падающей волной энергия поглощается в нагрузке, что следует из закона сохранения энергии. В этом случае говорят, что линия идеально согласована с нагрузкой или что линия работает в режиме бегущей волны. Аналогичные процессы происходят и в месте подключения генератора к линии.

Рассмотрим еще один случай, часто встречающийся при анализе цепей СВЧ. Пусть в регулярной линии передачи расположена какая-либо неоднородность (рис.12.2,а), например в прямоугольный волновод помещен некоторый объект, электродинамические

285

параметры которого отличаются от параметров среды, заполняющей волновод (металлическая перегородка или штырь, диэлектрический цилиндр и др.)

К этому же случаю можно отнести и соединение (стык) двух линий передачи с разной формой или разными размерами поперечного сечения. Во всех случаях в месте расположения неоднородности изменяется структура поля по сравнению с полем в регулярной линии. Вблизи неоднородности поле имеет сложную структуру, обусловленную суперпозицией волн, которые могут существовать в данной линии. Если линия работает в одноволновом режиме, то, располагая перпендикулярно оси Z плоскости Т и Т1 на таком расстоянии от неоднородности, при котором в этих плоскостях можно пренебречь амплитудами векторов поля всех высших типов волн, можно утверждать, что во всех точках линии, находящихся левее плоскости Т, появится (в общем случае)

отраженная волна основного типа, напряженность электрического поля которой а во всех точках линии правее плоскости Т1 появится прошедшая волна основного типа

Поэтому обычно при рассмотрении процессов передачи энергии от генератора к нагрузке (см. рис.12.1, а) и исследовании влияния неоднородности на распространение энергии по линии (рис. 12.2, а) переходят к эквивалентной схеме (рис.12.1,6 и 12.2,6). При этом участки линии, где существуют лишь падающие и отраженные волны низшего типа, представляют эквивалентной линией. Участок линии, находящийся левее плоскости Т (рис.12.1,а) с подключенным генератором и участок линии, находящийся правее плоскости Т1 с подключенной нагрузкой, представляют в виде эквивалентных двухполюсников (устройство с одним входом). Участок линии, содержащий неоднородность и находящийся между плоскостями Т и Т1 (рис. 12.2, а), представляют в виде эквивалентного четырехполюсника (устройства, имеющего вход и выход). Из теории линейных электрических цепей [28] известно, что двухполюсники и четырехполюсники могут быть представлены в виде эквивалентных схем (схем замещения), состоящих из сосредоточенных элементов L, С, R. Например, на рис.12.1,6" двухполюсник, представляющий отрезок линии с подключенной нагрузкой, изображен в виде комплексного сопротивления ZH, а отрезок с подключенным генератором - в виде генератора напряжения с внутренним сопротивлением Zr.

Отметим, что поскольку амплитуда и фаза векторов электромагнитного поля как отраженной волны, так и прошедшей зависят от конструкции неоднородности в линии или конструкции оконечного устройства, то параметры эквивалентных схем или элементы матриц, описывающих двухполюсники или четырехполюсники, могут быть определены либо с помощью решения соответствующей электродинамической задачи, либо с помощью эксперимента.

286

Рассмотрим передачу энергии от генератора к нагрузке по линии (рис.12.1,а). На рис.12.1,6 показана эквивалентная схема для этого случая. Пусть отрезок эквивалентной линии без потерь (α = 0) длиной l, имеющий волновое сопротивление ZB, возбуждается генератором напряжения с внутренним сопротивлением Zr= ZB. К концу отрезка подключена нагрузка ZH. Генератор создает в линии падающую волну, описываемую

функциями и Комплексную амплитуду напряжения падающей волны можно записать в виде

где -модуль и начальная фаза функции в начале координат (при z= 0). Начало оси Z совпадает с плоскостью Т1 а ее положительное направление указано на рис. 12.1. В общем случае подключение к линии произвольной нагрузки вызывает по-

явление в линии отраженной волны, описываемой функциями Комплексную амплитуду напряжения отраженной волны можно записать в виде

Отношение комплексной амплитуды напряжения отраженной волны к комплексной амплитуде напряжения падающей волны в произвольном поперечном сечении линии передачи называют коэффициентом отражения по напряжению в указанном сечении:

Полное напряжение Um(z) и полный ток im(z), возникающей

в произвольном поперечном сечении линии, являются суммой напряжений и токов падающей и отраженной волн соответственно в; этом сечении:

Из формулы (12.9), учитывая формулу (12.8), определим модуль полного напряжения в произвольном сечении линии:

287

На рис. 12.3 показана зависимость величины от координаты z, вычисленная по (12.12). Как видно, отраженная волна суммируется с падающей, что приводит к образованию повторяющихся минимумов и максимумов. При этом минимумы,

где n = 1, 2,3,.... Расстояние между ближайшими максимумами (или минимумами) всегда одно и то же и равно половине длины волны, соответствующей распространяющемуся типу волны в линии. В инженерной практике режим работы линии обычно характеризуют коэффициентом бегущей волны (КБВ)

Часто вместо КБВ используют обратную величину, называемую коэффициентом стоячей волны КСВ = 1/КБВ. В линии, идеально согласованной с нагрузкой, имеется только падающая волна (отраженная волна отсутствует) Г0=0; КБВ = КСВ = 1. Такой режим работы линии называют режимом бегущей волны. При полном отражении падающей

волны от нагрузки, когда Такой режим называют

режимом стоячей волны.

Следует отметить, что изображенная на рис. 12.3 зависимость получена в пренебрежении тепловыми потерями в линии. В этом случае как модуль коэффициента отражения |Г(z)|, так и величины КСВ и КБВ не изменяются вдоль линии. При учете тепловых потерь в линии (α≠0) в формулах (12.6)—(12.11) следует заменить (β на -iγ, где γ= α+ 1β1- коэффициент распространения рассматриваемой волны в линии. При этом амплитуды напряжений, соответствующих падающей и отраженной волнам, экспоненциально

288

убывают вдоль направления распространения волны в линии. Коэффициент отражения (12.8) вычисляется по формуле

следует заменить Го на Г0exp(-2αz) и β на β1. Распределение модуля полного напряжения вдоль линии с учетом тепловых потерь построено на рис. 12.4 (пунктирная линия).

В линии с тепловыми потерями КБВ следует определять как отношение обязательно соседних минимального и максимального значений модуля полного напряжения. При удалении от нагрузки величина максимумов уменьшается, а минимумов возрастает, т.е. КБВ возрастает. Режим работы такой линии можно характеризовать двумя значениями КБВ: у нагрузки (КБВН) и у генератора (КБВГ), которые связаны формулой [29]:

Еще одной важной характеристикой процесса передачи энергии от генератора в нагрузку с помощью линии является коэффициент полезного действия (КПД), равный отношению средней мощности PcpH, поступающей в нагрузку, к средней мощности РсрпаД, переносимой падающей волной в начале линии (при z=l). Если в линии отсутствует отраженная волна, то вся мощность, переносимая падающей волной в точках подключения нагрузки, поступает в нагрузку, т.е.

Согласно (12.11) появление отраженной от нагрузки волны приводит к дополнительному уменьшению средней мощности, поступающей в нагрузку, в 1/(1-Г02) раз. Используя (12.17), запишем формулу для КПД:

Определим среднюю мощность тепловых потерь в линии (см. рис.12.1,а):

где РсрВх-средняя мощность, поступающая от генератора на вход линии; она равна средней мощности, отдаваемой генератором падающей волне Рсрпад минус средняя мощность Рсротр, переносимая отраженной волной при z=l (предполагается, что генератор идеально согласован с линией). Поэтому

289

На рис. 12.5 показаны рассчитанные по (12.18) и (12.21) графики зависимости КПД и отношения РсрПОТ/РСрПАД от КБВН при разных значениях полного затухания линии аl [дБ].

Как видно, полная передача энергии от генератора в нагрузку (КПД=1) будет при идеальном согласовании нагрузки с линией (Г0 = 0 и КБВН = 1) и отсутствии потерь в линии (αl=0). Отметим, что даже при отсутствии потерь в линии при КБВН<1 КПД <1 изза отражения части мощности от нагрузки.

Как уже отмечалось, максимальная величина мощности, которую может переносить падающая волна, ограничена тем значением, при котором в линии происходит электрический пробой или разрушение диэлектрического заполнения (тепловой пробой). При возникновении пробоя передача энергии по линии прекращается. Наличие отраженной волны в линии приводит к появлению в ней областей с повышенным значением напряжения (см. рис. 12.3) по отношению к напряжению падающей волны, что приводит к уменьшению электрической прочности линии. Например, при полном отражении от нагрузки (Го = 1) пробой в линии наступает при мощности падающей волны, составляющей 0,25 мощности падающей волны, приводящей к пробою в согласованной линии, когда Го = 0. Нередко волна, отраженная от нагрузки, оказывается причиной затягивания частоты генератора, питающего линию, при этом генератор начинает работать на частоте, несколько отличающейся от требуемой. Таким образом, при передаче энергии от генератора к нагрузке с помощью линии наиболее выгоден режим бегущей волны в линии, когда Го = 0 и КБВН = 1. В этом случае отсутствуют потери энергии на отражение, КПД максимален и зависит только от потерь, в линии рассеивается наименьшая мощность, электрическая прочность максимальна, нагрузка на генератор активна и не зависит от длины линии.

12.1.3. Полное эквивалентное сопротивление линии передачи

Процесс распространения волн в линии передачи, нагруженной на произвольное сопротивление ZH, может характеризоваться с помощью полного эквивалентного сопротивления линии Zn(z), которое в заданном сечении линии равно отношению комплексных амплитуд полного напряжения и полного тока в этом сечении. Используя (12.9) и (12.10), запишем формулу, связывающую полное сопротивление с коэффициентом отражения в произвольном сечении линии:

Из (12.23) следует формула, которая позволяет определить модуль Го и аргумент щ коэффициента отражения по известной величине ZH:

290