Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

передачи. Так как сигнал предполагался узкополосным, то эта скорость должна мало отличаться от скорости распространения энергии v3 монохроматической волны, т.е. v3≈ vгp. Как показывают расчеты по формуле (1.162), на которых не будем останавливаться, в линиях передачи закрытого типа и некоторых других направляющих системах без потерь v3= vгp. Поэтому скорость распространения энергии v3 в идеальных линиях передачи можно определять по формуле (9.42) с учетом (9.41):

Как и следовало ожидать, vэ < с для Е-, Н- и гибридных волн, 1 v3= с для ТЕМ-волн. Зависимость v3 от частоты для Е-, И- и смешанных волн показана на рис. 9.2. При λ. = λкр скорость распространения энергии равна нулю и по мере повышения частоты приближается к скорости света в данной среде.

Этот же вывод о соотношении между v3 и с для Е-, Н- и смешанных волн следует непосредственно из концепции парциальных волн. Как уже отмечалось, Е-, Н- и гибридные волны, распространяющиеся вдоль оси Z, могут быть представлены в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн, распространяющихся по зигзагообразному (или криволинейному) пути под некоторым углом φ к оси Z. Скорость распространения энергии парциальных ТЕМ-волн совпадает со скоростью света в среде, заполняющей линию передачи. Так как зигзагообразный путь длиннее, чем прямой путь вдоль оси Z, то скорость распространения энергии Е-, И- и гибридных волн меньше скорости распространения энергии ТЕМ-волн и равна v3 = v3TEM cos ф = с cos ф.

9.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ 9.7.1. Мощность, переносимая электромагнитной волной по линии передачи

Средний за период поток энергии через элементарную площадку dS, расположенную в поперечном счении S± линии передачи, равен dPcp = Re Пz dS, где

Перепишем соотношение (9.32) для комплексно сопряженных векторов и подставим его в (9.44). Раскрывая получающееся при этом двойное векторное произведение по формуле (П.31), приходим к равенству

где E0 - максимальное значение напряженности электрического поля в линии передачи,

безразмерная функция, Зависящая только от поперечных координат (в общем случае ζ, η) и определяющая структуру электрического поля в поперечном сечении линии, a Zcл -характеристическое сопротивление распространяющейся волны. Напомним, что для ТЕМ-, Е- и W-волн Zcл равно Zc> Zc Еи ZCH соответственно.

Таким образом, средний за период поток энергии Рср через поперечное сечение линии передачи или, что то же самое, средняя мощность, переносимая волной по линии передачи, определяется выражением

9.7.2. Предельная и допустимая мощности

Как видно из формулы (9.46), передаваемая по линии мощность Рср пропорциональна Е02, т.е. чем больше Рср, тем больше максимальное значение напряженности электрического поля. Поэтому при увеличении передаваемой мощности в направляющей системе может возникнуть электрический разряд, те. наступит электрический пробой воздуха или

211

диэлектрического заполнения. Плотность тока проводимости в разрядном промежутке достигает относительно больших значений (15 А/см2 и более), что приводит к интенсивному выделению тепла и резкому повышению температуры в месте пробоя. Кроме того, активное сопротивление разрядного промежутка ввиду значительной плотности электронов в нем (до 1015 электрон/см3) мало, и пробой вызывает почти полное короткое замыкание линии передачи в том сечении, где происходит разряд. Поступление мощности в нагрузку практически прекращается, так как большая часть энергии падающей волны отражается от места, где произошел пробой. Это может привести, например, к выходу из строя генератора, либо к другим нежелательным эффектам.

Увеличение уровня передаваемой средней мощности по реальной линии передачи приводит к увеличению мощности потерь в металлических элементах линии и заполняющем диэлектрике, что сопровождается нагревом последних. Если при этом нагреве температура любого материала, из которого изготовлена линия, достигает некоторой предельной величины, происходит его разрушение (например, расплавление диэлектрика) и наступает так называемый тепловой пробой. Поэтому максимальное значение передаваемой по линии мощности ограничено как электрическим, так и тепловым пробоем.

Для определения максимальной передаваемой по линии мощности вводят понятия предельной и допустимой мощностей. Предельной (Рпред) называют наименьшую мощность, при которой возникает либо электрический, либо тепловой пробой в режиме бегущей волны (см. гл.12). Допустимую мощность (Рдоп) принимают в несколько раз

меньше предельной: Рд0П= (0,2...0,3) Рпред. Это связано с тем, что появление отраженных волн в реальной линии (см. гл.12) приводит к увеличению напряженности электрического

поля в отдельных сечениях линии, что может привести к электрическому или тепловому пробою при мощности существенно меньшей Pnpeд.

Величина Pnpeд, связанная с электрическим пробоем определяется предельной напряженностью электрического поля Е0=Епред, при которой возникает электрический разряд. Для воздуха при нормальном атмосферном давлении и нормальной ионизации

(=10элекг/(с•см3) Еnpeд =30кВ/см). В свою очередь Рпред, связанную с тепловым пробоем, определяют по температуре, при которой возникает тепловое разрушение материалов,

образующих линию.

Отметим, что в линиях передачи с воздушным заполнением и в случае, когда линия работает в импульсном режиме с высокой скважностью, более опасен электрический пробой. В линиях с диэлектрическим заполнением, отличным от воздуха, а также, если по линии передается большая мощность в непрерывном режиме, более опасен тепловой пробой.

При необходимости передачи по линии высокого уровня мощности избегают применения линий с диэлектрическими вставками или с твердым диэлектрическим заполнением, а используют воздушное заполнение или заполнение специальными газами (элегаз) или жидкими диэлектриками (например, нонан, декан, гексан, гептан), которые имеют Е пред >100 кВ/см. С такой же целью линии передачи заполняют воздухом или иным газом под давлением, в несколько раз превышающим атмосферное. При этом возрастает вероятность столкновения образующихся свободных электронов с положительно заряженными ионами газа, что снижает их концентрацию и увеличивает Е пред. Величина Епред увеличивается и при существенном понижении давления газа, заполняющего линию, по сравнению с атмосферным давлением, поскольку вероятность столкновения свободных электронов с молекулами газа резко снижается:

Для увеличения Рпред. связанной с тепловым пробоем в линиях с диэлектрическим заполнением, используют диэлектрики с более высокой предельной температурой (например, разные виды керамики).

9.8. ЗАТУХАНИЕ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ 9.8.1. Коэффициент ослабления

212

Проведенный анализ общих свойств направляемых волн был выполнен в предположении, что линия передачи является идеальной (не вносит потерь). Зависимость векторов поля от координаты z была принята в виде множителя ехр (- iβz), где постоянная β могла быть либо чисто действительным, либо чисто мнимым числом.

Распространение волны в реальной линии передачи сопровождается уменьшением переносимой мощности. Это связано: 1) с рассеянием части мощности в металлических проводниках линии; 2) с затуханием волны в заполняющем диэлектрике; 3) с излучением части мощности в окружающее пространство (в линиях передачи открытого типа).

В этом случае зависимость векторов поля от координаты z обычно принимают в виде exp(-γz), где γ = α + iβ – комплексная величина, называемая постоянной распространения.

Параметры аир называют коэффициентом ослабления и коэффициентом фазы

соответственно (α = Re γ, β = Im γ).

Отметим, что постоянную γ часто вводят в рассмотрение и при анализе волн, распространяющихся в безграничной однородной среде. В этом случае она связана с использованной в гл.6 комплексной постоянной k = β -iα соотношением γ = i k.

Зависимость комплексного вектора Пойнтинга от координаты z определяется множителем ехр (- 2 α z). Также зависит от z и мощность бегущей волны (средний за период поток энергии через поперечное сечение линии передачи, соответствующий рассматриваемой волне):

Pcp=P0exp(-2 α z), (9.47)

где Ро = РСр(0)-средний за период поток энергии через сечение z = 0. Разность между потоками энергии Pcp{z) и Pcp(z + ∆z), проходящими через сечения с координатами z и z + ∆z соответственно, равна средней за период мощности джоулевых потерь ∆Рпср на отрезке линии между указанными сечениями ∆РПср= PCp(z) -PCp(z + ∆z). Разделив обе части этого равенства на ∆z и перейдя к пределу при ∆z→0, найдем среднюю за период мощность джоулевых потерь Рпср, приходящуюся на единицу длины линии:

где α м - коэффициент ослабления, обусловленный потерями энергии в металлических проводниках линии; α д - коэффициент ослабления, обусловленный потерями энергии в заполняющем линию диэлектрике; α Σ - коэффициент ослабления, обусловленный потерями энергии волны за счет излучения из линии.

Следует отметить, что в линиях передачи закрытого типа α Σ = 0. При конструировании линий передачи открытого типа стараются как можно сильнее уменьшить излучение энергии из линии в окружающее пространство. Поэтому в реальных линиях, применяемых на практике, α Σ <<α м или α Σ << α д и α Σ можно пренебречь по сравнению с α м или α д.

9.8.2. Затухание, обусловленное потерями в среде, заполняющей линию

Если комплексная диэлектрическая проницаемость заполняющего линию диэлектрика равна ε = ε'-iε", то постоянная распространения в такой линии γ = i β, где β находят из (9.11) при замене ε на ε. При этом

213

Отметим любопытный факт. Ранее было показано, что в линии без потерь Е-, Н- и гибридные волны на частотах f<fкp не распространяются. Однако, как видно из (9.53), при наличии потерь эти волны могут распространяться при f=fкр и даже на более низких частотах. Как видно из формулы (9.52), распространение волн в этом случае происходит со значительными потерями, независимо от того, что является причиной потерь.

При выводе формул (9.52) и (9.53) предполагалось, что учитываются потери, связанные с током проводимости и переменной поляризацией диэлектрика. Однако при распространении электромагнитной волны в слабо проводящих диэлектриках (воздух, стекло и др.) на достаточно высоких частотах (например, в оптическом диапазоне) затухание волны определяется также иными эффектами. На таких частотах величина кванта энергии становится соизмеримой с разностью энергий близко расположенных энергетических уровней атомов диэлектрика. Поэтому под влиянием электромагнитной волны может происходить переход электронов с более низкого энергетического уровня на более высокий, что сопровождается поглощением части энергии волны. Например, подобное поглощение наблюдается в парах воды на частотах 22...23 ГГц, а в молекулах кислорода на частотах, близких к 60 и 120 ГГц. В оптическом диапазоне возникает затухание волн, связанное с так называемым рэлеевским рассеянием [66].

9.8.3. Затухание, вызванное потерями в металлических элементах линии передачи

Анализ структуры поля в линиях передачи, сделанный в предположении идеальной проводимости ее металлических элементов, неточен для реальных линий с конечной проводимостью этих элементов. Однако так как проводимость металлических проводников весьма велика, то действительная структура поля волны мало отличается от структуры поля, полученной в предположении идеальной проводимости металлических элементов линии. Отличие в основном сводится к тому, что в соответствии с граничным условием Леонтовича-Щукина (7.52) у поверхности металлических частей линии передачи появляется весьма малая касательная составляющая вектора Е. Изменению структуры электрических силовых линий соответствует изменение структуры векторных линий магнитного поля. В частности, нормальная к поверхности металлических частей линии составляющая вектора Н не равна нулю. Однако, как уже отмечалось, эти изменения поля весьма малы, и обычно можно считать, что структура поля, найденная в приближении идеальной линии, практически не отличается от структуры поля в реальной линии. Изменение структуры токов в основном сводится к тому, что они в действительности текут не по поверхности, а проникают на некоторую глубину внутрь проводника.

Наличие отличных от нуля тангенциальных составляющих векторов Е и Н у поверхности металлических элементов линии передачи означает, что вектор Пойнтинга имеет составляющую, перпендикулярную этой поверхности, т.е. появляется поток энергии, направленный в металлические части линии передачи, и, следовательно, в них происходят джоулевы потери энергии (см.7.8.2).

214

Выделим на поверхности металлических частей линии передачи участок длиной ∆z, как показано на рис. 9.9. Средняя за период мощность тепловых потерь на отрезке проводника длиной ∆z согласно (7.57)

Подставляя (9.54) и (9.46) в (9.49), находим коэффициент ослабления, обусловленный потерями в металлических элементах линии передачи:

Как уже отмечалось, распределение векторов в линии передачи с металлическими элементами, обладающими конечной проводимостью, мало отличается от распределения тех же векторов в идеальной линии. Поэтому при вычислении α м по

формуле (9.55) можно использовать значения векторов найденные при анализе идеальной линии передачи.

215

Глава 10 НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

10.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД 10.1.1. Вывод формул для поля

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис. 10.1). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и Н и не могут существовать TЕМ-волны (см. 9.4). На рис. 10.1 показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а ≥ b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При а > b стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные (см. 9.2), то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую Еmz или Нтг соответственно. Составляющие Ётz и Нтz удовлетворяют уравнению Гельмгольца

где функция w равна Emz для Е-волн и Hmz- для H-волн, - коэффициент фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (10.1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (10.1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию w в виде w= w(x, у, z, t) = = w°(x, y)exp[i(ωt- β z)]. Очевидно, что функция w°(x, y) также удовлетворяет уравнению (10.1). Представим ее в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

216

Отметим, что в случае Е-волн значения т = 0и n = 0 не годятся, так как при этом случае Emz = 0 во всех точках внутри волновода.

Поперечные составляющие векторов поля выражаются через Emz соотношениями (9.19) и (9.20). Введем обозначение А•С = = EOz и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Е-волн в прямоугольном волноводе:

217

Подчеркнем, что индекс т в формулах (10.10а) и (10.106) имеет совершенно разный смысл. В (10.10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (10.106) индекс т - натуральное число, определяющее значение постоянной γх, как это следует из формулы (10.9).

Значение постоянной у± находится из формул (10.4) и (10.9):

Коэффициент фазы р вычисляется по формуле (9.14).

Таким образом, все параметры, входящие в формулы для поля Е-волн, кроме постоянной Е0z определены. При той постановке задачи, которая была здесь использована, постоянную EOz определить нельзя. Для ее нахождения требуются дополнительные данные: либо более конкретные сведения об источнике, создающем рассматриваемую волну, либо значение какой-нибудь составляющей векторов поля в точке, где эта составляющая отлична от нуля, либо задание мощности бегущей волны (т.е. задание среднего за период значения потока энергии через поперечное сечение волновода, соответствующего рассматриваемой волне). Для анализа вопросов, изучаемых в данной главе, конкретное значение постоянной EOz не требуется.

Прежде чем перейдем к анализу свойств поля Е-волн, описываемого выражениями (10.10), выведем формулы для поля Н-волн в прямоугольном волноводе. Волны Е и Н имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

В случае Н-волн (Hz≠0, Ёz=0) функция w = Hmz. Решение уравнения (10.1) строится так же, как для Е-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляющие вектора Ё на стенках волновода обращались в нуль, имеем

Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия следует преобразовать в условия для функции w. Поперечные составляющие вектора Ет выражаются через Hmz соотношением (9.14). Из этого соотношения и краевых условий (10.13) после перехода к функции w°(x, y) получаем

В отличие от (10.9) в случае Н-волн индексы т и п могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая Нz не зависит от переменных х и у и вектор Ё будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н-волн в прямоугольном волноводе:

218

Аналогично случаю Е-волн в формулах (10.17а) индекс т указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (10.176) т связано с постоянной ух соотношением (10.16).

Составляющие векторов поля Н-волн найдены с точностью до произвольного постоянного множителя Hoz , определение которого в рамках выбранной электродинамической модели невозможно (см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).

Легко показать, что поперечное волновое число γ┴ и критическая длина волны λкр в случае Н-волн также определяются формулами (10.11) и (10.12) соответственно.

Перейдем к анализу свойств Е- и Н-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (10.10) и (10.17), в прямоугольном волноводе возможно существование различных Е- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов т и п. Каждая пара значений индексов т и п определяет свои волны, которые обозначают Етп (в случае Е-

волн) или Нтп (в случае Н-волн). При этом у Е-волн m≥1 и n≥ 1, а у Н-волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при

фиксированном значении координаты z) аналогична структуре

стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн λх = 2а/т и λу = 2b/п в направлениях осей X и У соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (λх /2), укладывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси X. Аналогично индекс п равен числу полуволн (λх/2)- укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при n = 0-от координаты х, а при n= 0-от координаты y). Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов Ё и Н вдоль оси Z описывается множителем ехр (- iβz). Распространение волны происходит только при λ < λкр (предполагается, чтo в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (10.12).

219

Она зависит от размеров а и b и от индексов т и п. При увеличении значений индексов т и n и фиксированных размерах а и b значение λкр уменьшается. Наибольшую λкр среди всех возможных волн при а > b имеет волна Н10. Соответствующая ей λкр равна 2а. При а = b наибольшую λкр имеют две волны Ню и Н01. Волну, имеющую наибольшую λкр, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Длина волны в волноводе Λ, фазовая скорость VФ И скорость распространения энергии vэ вычисляются соответственно по формулам (9.17), (9.18) и (9.43), одинаковым для Е- и Н- волн. Характеристическое сопротивление Е-волн вычисляется по формуле (9.21), а Н-волн - по формуле (9.26).

Формулы (10.10) и (10.17) позволяют рассчитать и изобразить графически структуру поля (линии векторов Е и Н) любой из волн Етп или Нтп, распространяющихся в волноводе. В качестве примера на рис. 10.2 и 10.3 показаны структуры полей волн Е11 и Н10 соответственно в некоторый фиксированный момент времени в

случае λ < λкр для трех сечений волновода. С течением времени картины, изображающие структуру полей в продольных сечениях (сечения 2 и 3 на рис. 10.2 и 10.3), перемещаются вдоль оси Z с фазовой скоростью соответствующей волны.

Отметим, что, зная структуру поля волны Е11, легко построить структуру поля волны Етп при любых значениях индексов тип. Например, структура поля волны Е21 представляет собой объединение структур двух волн Е11 (рис. 10.4). Для построения структуры волны Етп нужно мысленно разделить волновод на т •п "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11, а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.

Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис. 10.5.

220