Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

может быть сохранена. При этом прилегающий к плоскости х = хп слой диэлектрика (х„<х<0) будет представлять собой направляющую систему открытого типа. В рассматриваемом случае в диэлектрическом слое распространяется Е-волна, распределение амплитуд составляющих векторов поля которой совпадает при х> хn с приведенным на рис.10.50. Структура поля (линии векторов Е и Н) этой волны для случая, когда металлизирована плоскость x=x1, показана на рис.10.51. Отметим, что волну, распространяющуюся в диэлектрическом слое, ограниченном металлической плоскостью, можно рассматривать как суперпозицию парциальных волн, возникающих при полном отражении первичной ТЕМ -волны от поверхности идеального проводника (х = х1) и от границы раздела двух диэлектриков (х = 0), как показано на рис.10.52. Полное

отражение от границы раздела (х = 0) возможно при углах падения При

условия полного отражения не выполняются, и слой диэлектрика перестает играть роль волновода. Для слоя фиксированной толщины d условие

выполняется при вполне определенном значении частоты f= fKp, называемом критической частотой. Поэтому волна в рассматриваемой системе может распространяться лишь при f > fKp.

При полном отражении нормально поляризованной плоской волны от плоской границы раздела двух диэлектриков образуется направляемая Н-волна (см.7.4). Рассуждая далее так же, как в случае параллельной поляризации, придем к аналогичной направляющей системе c волной типа Н.

Таким образом, в системе, состоящей из металлической * пластины, покрытой слоем диэлектрика, при f>fKp могут распространяться направляемые Е- и H-волны. В общем случае (при конечной проводимости металлической пластины) будут распространяться гибридные волны. Отметим некоторые особенности волн в такой направляющей системе: электромагнитная энергия переносится как в диэлектрике, так и в прилегающей воздушной среде; амплитуды составляющих векторов поля в воздухе экспоненциально убывают по мере удаления от поверхности диэлектрика; средний за период поток энергии в направлении нормали к границе раздела "воздух-диэлектрик" равен нулю; фазовая скорость направляемых волн меньше фазовой скорости ТЕМ -волны в воздухе (поэтому, как уже отмечалось, такие волны называют медленными).

Свойство границы раздела двух диэлектриков направлять поток электромагнитной энергии сохраняется и при ее цилиндрическом искривлении (рис. 10.53), т.е. одиночный провод, покрытый слоем диэлектрика, является волноводом, по которому можно передавать электромагнитную энергию.

Можно выбрать толщину слоя диэлектрика таким образом, что он будет направлять волну и без ограничивающей его металлической пластины. Направляемую волну в этом случае

251

можно представить в виде суперпозиции парциальных ТЕМ -волн, распространяющихся путем полного отражения от обеих границ раздела диэлектрика с менее плотной средой. Как уже отмечалось, направляющие свойства границы раздела двух диэлектриков сохраняются и при ее цилиндрическом искривлении. Поэтому направляющей системой является не только диэлектрический слой, но и диэлектрическая трубка и сплошной диэлектрический цилиндр (рис. 10.54).

Рассмотрим более подробно некоторые из перечисленных направляющих систем.

10.7.2. Металлическая плоскость, покрытая слоем диэлектрика

Пусть на идеально проводящей плоскости х = 0 расположен слой идеального диэлектрика (μг=1,σ = 0) толщиной d с относительно диэлектрической проницаемостью εr>1 (рис.10.55). В направлении осей Y и Z слой имеет неограниченные размеры. Среда при х > d- воздух (εr2 = 1, μr2 = 1, σ2 = 0). Предположим

жим вначале, что по данной системе в направлении оси Z распространяется Е-волна (Еz≠О, HZ= 0). Поперечные составляющие векторов Е и Н выражаются через Еz по формулам (9.19), (9.20). Предположим, что поле волны не зависит от переменной у, и, как обычно, выделим зависимость от координаты z в виде множителя exp (-iβz), где р - пока неизвестная постоянная. При этом продольная составляющая вектора Ёт принимает вид Emz = = Emz(x,z) = Е°(х) exp (-iβz). Функция Е°z(х) должна удовлетворять

уравнению Гельмгольца (9.2), которое в рассматриваемом случае имеет вид

252

Решая (10.79), можно найти γ1 и по (10.78) рассчитать α. После этого легко вычисляются параметр β и постоянные А и С.

Рассмотрим графическое решение трансцендентного уравнения (10.79). Поскольку для рассматриваемых волн α>0, то обе части (10.79) должны быть положительными. На рис. 10.56 построены значения левой и правой частей уравнения (10.79) в зависимости от величины γ1d при εr= 2. Значения правой части (10.79) лежат на окружности с центром в

начале координат и радиусом зависящим как от рабочей частоты, так и от толщины слоя диэлектрика и его диэлектрической проницаемости. Значения левой части уравнения (10.79) будут положительными при γ1 > 0, если значения γ1d

находятся в интервалах , где п = 0,1, 2..... Точки пересечения окружности, на которой лежат значения правой части уравнения (10.79), с кривыми, изображающими положительные значения левой части (10.79), соответствуют значениям γ1d являющимся корнями уравнения (10.79). Как видно, при фиксированных f, d и εr окружность пересекается с конечным числом кривых, изображающих левую часть уравнения, т.е. существует конечное число корней уравнения (10.79), каждому из которых соответствует определенное значение параметра β. Это означает, что в рассматриваемой линии может распространяться конечное число Е-волн, которые будем обозначать

253

£<п). При R<n существует лишь один корень уравнения (10.79) (одна точка пересечения кривых на рис.10.56), при этом в линии может распространяться лишь одна (основная) волна типа Е. Структура поля этой волны показана на рис.10.51. Так как данный корень существует при любых f и d, то для основной Е-волны 4Р= 0, т.е. эта волна может распространяться в рассматриваемой линии при любой толщине диэлектрика и на любой частоте. При % < R < 2п в линии кроме основной сможет распространяться еще одна (высшая) Е-волна (существуют две точки пересечения кривых на рис.10.56). Чем больше R, тем большее количество волн типа Е может распространяться по линии. В общем случае может распространяться конечное число Е-волн, критические длины волн

которых определяются из условия R = nn, л =1, 2..... Подставляя выражение для R, получаем к £(n) = 2d^zr-Vn.

Анализ магнитных волн, распространяющихся вдоль оси Z по рассматриваемой линии (рис. 10.55), проводится аналогично. В этом случае поперечное волновое число yt является корнем следующего трансцендентного уравнения: y-i ctg (yid) =- s,a. Дом-ножим обе части этого уравнения на d и разделим на гг. Подставляя затем значение а из (10.78), получаем

10.7.3. Плоский диэлектрический волновод

Плоская диэлектрическая пластина с диэлектрической проницаемостью εr >1, расположенная в однородной изотропной среде с меньшей диэлектрической проницаемостью (например, в воздухе), также представляет собой направляющую систему, по которой могут распространяться Е- и H-волны, а при σ≠ 0 - гибридные. Такую направляющую систему (линию) обычно называют плоским диэлектрическим волноводом.

254

Введем декартову систему координат x,y,z, как показано на рис. 10.57. Толщина пластины равна 2d, а ее размеры вдоль осей У и Z неограниченны, диэлектрик считается идеальным (μr =1, σ = 0). Предполагаем, что волна распространяется вдоль оси Z.

Анализ волн в плоском диэлектрическом волноводе проводится так же, как для слоя диэлектрика на металлической плоскости. Анализ показывает, что в плоском диэлектрическом волноводе при фиксированных частоте и толщине пластины может распространяться конечное число медленных

Е- и Н-волн. Основной волной является Е-волна низшего типа, у которой fKp= 0. Распределение амплитуд составляющих векторов поля этой волны вдоль оси X показано на рис.10.58, а структура поля изображена на рис. 10.59. Одноволновый режим

выполняется при

10.7.4. Металлический цилиндр, покрытый слоем диэлектрика

Однопроводная линия в виде цилиндрического проводника, покрытого слоем диэлектрика, известна в литературе как линия Губо. Приближенный анализ волн в такой линии можно провести,

рассматривая ее как металлическую пластину, покрытую слоем диэлектрика и свернутую в цилиндр (рис. 10.53).

Основной волной в идеальной линии Губо является волна типа Е, структура поля которой показана на рис. 10.60. Затухание волны при распространении по линии определяется потерями энергии в металле и диэлектрическом слое. Чем толще слой диэлектрика и тоньше диаметр проводника, тем, очевидно, выше затухание волны. Поэтому, например, в сантиметровом диапазоне волн толщину слоя выбирают достаточно малой - порядка 0,05...0,1 мм, а диаметр проводника берут не менее 1 мм. При этом коэффициент

255

ослабления для основной волны в такой линии с диэлектрическим слоем из полистирола оказывается в 2...3 раза меньше, чем в прямоугольном волноводе на тех же частотах. Однако существенная зависимость параметров распространяющейся волны в линии Губо от расположенных вблизи линии проводящих тел, а также от атмосферных условий приводит к ограниченному использованию ее на практике.

Следует отметить, что волна Е, изображенная на рис. 10.60, может распространяться вдоль проводника и при отсутствии диэлектрической оболочки, если на его поверхности из-за окисления образовалась тонкая пленка с относительно низкой проводимостью, играющая роль диэлектрического слоя.

10.7.5. Круглый диэлектрический волновод

Рассмотрим распространение электромагнитных волн вдоль бесконечно длинного диэлектрического цилиндра радиуса а, расположенного в безграничной однородной изотропной среде. Диэлектрик и окружающая среда считаются идеальными (σ = 0) и характеризуются параметрами ε,μ 0 и ε 0 ,μ0 соответственно.

Введем цилиндрическую систему координат r,φ ,z, ось Z которой совместим с осью цилиндра. Как обычно, зависимость от координаты z выделим в виде множителя exp(-iβz), где β-подлежащая определению постоянная. При этом продольные составляющие векторов Ёт и Нт записываются в виде Emz =

где т=1,2,3..... а А, В, φ0 и ψ0- некоторые постоянные. В области 2 поле должно представлять собой поверхностную волну, амплитуды составляющих векторов поля которой экспоненциально убывают с удалением от поверхности цилиндра. Поэтому

должно выполняться соотношение и параметр γ2 удобно представить в

виде Решения уравнения (10.28), справедливые в области 2 и удовлетворяющие данному требованию, имеют вид

256

Поперечные составляющие векторов Е° и Н° вычисляются через Ez и Нz° по формулам (9.8) и (9.9). Подставляя явные

выражения для EXv° и НХу°, где х = r,φ и v=1;2 в соотношения (10.83), приходим к системе четырех уравнений, содержащих неизвестные постоянные А, В, С, D, φ0 и ψ0. Анализируя эту систему, замечаем, что входящие в нее уравнения при т ≠ 0 будут совместными

только при Для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство

Из данной системы видно, также, что при т ≠ 0 волна, распространяющаяся по круглому диэлектрическому волноводу, должна иметь продольные составляющие и у вектора Е, и у вектора Н, т.е. является гибридной. При т = 0 одна из составляющих Ez или Нz может равняться нулю, т.е. возможно существование независимых Е- и Н-волн с осесимметричной структурой поля (такие волны часто называют симметричными).

Исключая в указанной системе уравнений, соответствующей т ≠ 0, постоянные А, В, С и D, приходим к трансцендентному уравнению

Решая (численно или графически) уравнение (10.84), находим параметр β и вычисляем постоянные γ1и α. После этого расчет структуры поля и остальных параметров гибридной волны не вызывает затруднений.

В случае т = 0 правая часть уравнения (10.84) обращается в нуль, и оно распадается на два независимых уравнения

257

Убывание поля в радиальном направлении вне цилиндра определяется параметром а. Чем меньше а, тем медленнее убывает поле, тем меньшая часть мощности бегущей волны переносится непосредственно по диэлектрическому цилиндру. Значение а = 0 соответствует критической длине волны. Используя выписанные выше выражения параметров у-| и а через коэффициент фазы р, получаем соотношение

При f<fKp волны типа Е в диэлектрическом волноводе распространяться не могут.

Таким образом, свойства симметричных Е-волн в круглом диэлектрическом волноводе аналогичны свойствам Е-волн в диэлектрическом слое, расположенном в однородной среде (или в диэлектрическом слое, расположенном на металлической плоскости).

Анализ симметричных (т = 0) Н-волн проводится аналогично. В этом случае А = С= 0 и требуется найти корни уравнения (10.86), отличие которого от (10.85) несущественно. При m≠0 в диэлектрическом волноводе могут распространяться только гибридные волны, у которых отличны от нуля

И EZ, Hz.

Анализ гибридных волн несколько более сложен, так как требуется найти корни более сложного трансцендентного уравнения (10.84). Однако общие закономерности распространения гибридных волн сходны с описанными выше для симметричных Е-волн. Исключение составляет основная волна диэлектрического волновода ЕН11ей соответствует значение m=1 и первый корень

258

уравнения (10.84), т.е. n=1). Структура поля этой волны показана на рйс.10.61. Так как критическая частота волны ЕH11 равна нулю, то формально данная волна может существовать на любых частотах. Однако это не означает, что с помощью диэлектрического волновода можно передавать энергию на сколь угодно низкой частоте. Электромагнитная волна в диэлектрическом волноводе переносит энергию не только внутри стержня, но и в окружающем его пространстве. В качестве параметра, характеризующего протяженность поля волны в поперечном направлении, обычно используют так называемый граничный радиус поля rо = 1/α. Расчеты показывают, что через площадь, ограниченную окружностью радиуса r0, переносится 80-90% мощности бегущей волны. Поэтому для распространения волны по диэлектрическому волноводу необходимо иметь вокруг него свободное пространство в радиусе (2-3)r0. Это обычно и вызывает трудности при использовании такого волновода. Как показывает анализ, при уменьшении частоты уменьшается а и, следовательно, увеличивается г0, т.е. все меньшая часть энергии распространяется внутри стержня и все большая - в окружающем его пространстве. Поэтому, хотя критическая длина волны ЕH11 равна нулю, существует нижняя граница рабочего диапазона при ^использовании этой волны, определяемая допустимым значением граничного радиуса, т.е. должно выполняться условие r0<r0доп. Со стороны верхних частот рабочий диапазон при использовании волны ЕН11 должен быть ограничен критической частотой волны Е01, определяемой из (10.88).

Отметим существенную особенность диэлектрического волновода: одноволновый режим работы для заданной рабочей частоты f(f< fкp) можно обеспечить как выбором (уменьшением) радиуса стержня а, так и уменьшением разницы между относительными диэлектрическими проницаемостями материала стержня и окружающего пространства: выбрав εr мало отличающимся от 1, можно обеспечить одноволновый режим даже при a>>λ. Это свойство и используют при конструировании диэлектрических волноводов в оптическом диапазоне волн, где рабочие частoты вёсьма велики .Обычно диэлектрические волноводы, предназначенные для работы в оптическом диапазоне волн, называют световодами.

Диэлектрические волноводы применяют в качестве линий передачи в миллиметровом (КВЧ), субмиллиметровом (ГВЧ) и оптическом диапазонах волн, где они обеспечивают передачу, большей мощности с меньшими потерями, чем металлические волноводы.

10.7.6. Световоды

В настоящее время наибольшее применение на практике для передачи оптических сигналов находят пленочные и волоконные световоды. Основу пленочного световода (рис.10.62) составляет диэлектрическая пленка с параметрами εпл, μо, выращенная на диэлектрической подложке или сформированная методами интегральной технологии. Подложка имеет параметры ε1, μ0; параметры среды над пленкой ε2, μо- Отметим, что чаще оптические немагнитные среды описываются с помощью коэффициента преломления п =√εr, при ЭТОМ предполагается, что магнитная проницаемость у всех рассматриваемых сред одинакова и равна μ0. Пленку можно рассматривать как плоский диэлектрический волновод (см.10.7.3). Для распространения волн по такому волноводу необходимо, чтобы nпл>n1 и ппл>п2. Подобные световоды используются для передачи света на небольшие расстояния, как правило, в пределах интегральной схемы оптического диапазона.

259

Волоконный световод состоит из диэлектрических сердечника и оболочки, диаметры которых равны dc и doб соответственно (рис. 10.63). Коэффициенты преломления сердечника и оболочки равны пс и nо6, причем пс>поб. Для защиты от внешних воздействий и повышения механической прочности световода на наружную поверхность оболочки наносят полимерное покрытие (на рисунке покрытие не показано). В данном случае полное внутреннее отражение парциальных волн, распространяющихся в сердечнике, происходит на границе между сердечником и оболочкой. Воз-

никающая при этом поверхностная волна распространяется в оболочке. Поэтому энергия, переносимая волнами по световоду, сосредоточена в сердечнике и оболочке. На оболочку можно наносить поглощающее покрытие, не влияющее на распространяющиеся по световоду волны и поглощающее энергию волн излучения, возникающих в световоде при его возбуждении источником (см. 15.2).

Обычно в качестве диэлектрика, из которого изготавливают сердечник световода, используют стекло, иногда для этой цели применяют различные полимеры. В качестве материала оболочки, как правило, также используют стекло, иногда полимеры [28]. Показатель преломления оболочки постоянен, а показатель преломления сердечника может быть как постоянной величиной, так и функцией поперечной координаты. В настоящее время получены волоконные световоды на основе кварцевого стекла, легированного германием, фосфором или бором, с достаточно малыми потерями в некоторых областях оптического спектра, называемых окнами прозрачности. На рис.10.64 показана типовая зависимость затухания в таком световоде, выраженная в дБ/км. Как видно из графика, существуют три окна прозрачности для распространяющихся по световоду сигналов λ≈0,85 мкм, λ≈1,3 мкм и λ≈1,5 мкм. Эти частотные диапазоны, как правило, и используют для передачи оптических сигналов по световодам.

По волоконному световоду, как по диэлектрическому волноводу, могут распространяться E-, Н- и гибридные волны. Поскольку критические частоты волн в диэлектрическом волноводе, как следует из результатов, полученных в 10.7.5, зависят не только от величины dc, но и от разницы коэффициентов преломления

то, выбирая достаточно близкие по величине пс и nоб,

можно обеспечить одноволновый или близкий к нему режим работы световода при достаточно больших значениях dc (много больших длины волны): Последнее обстоятельство весьма существенно из-за очень малой длины волны светового излучения

260