Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

Однородными называют среды, параметры ε, μ и σ которых не зависят от координат, т.е. свойства среды одинаковы во всех ее точках. Среды, у которых хотя бы один из параметров ε, μ илиσ является функцией координат, называют неоднородными.

Если свойства среды одинаковы по разным направлениям, то среду называют изотропной. Соответственно среды, свойство которых различны по разным направлениям, Называют анизотропными. В изотропных средах векторы Р и Е, D и Е, а также М и Н, В и Н параллельны, а в анизотропных средах они могут быть не параллельными. В изотропных средах ε, μ и σ -скалярные величины. В анизотропных по крайней мере один из этих параметров ' является тензором. К анизотропным средам относятся, например, I кристаллические диэлектрики, намагниченная плазма и намагниченный феррит. В кристаллическом диэлектрике и намагниченной плазме тензором является диэлектрическая проницаемость ε. При использовании декартовой системы координат в общем случае тензор диэлектрической проницаемости может быть записан в виде матрицы

Величины называют компонентами тензора ||ε|. В частных случаях некоторые из них могут равняться нулю. Форма уравнения (1.5) остается прежней:

Чтобы записать уравнение (1.20) в проекциях на оси декартовой системы координат х, у, z, нужно раскрыть правую часть уравнения (1.20) по обычным правилам умножения матриц. В результате получим:

Непараллельность векторов D и Е (а также Р и Е) в анизотропной среде объясняется тем, что в общем случае направление возникающего в результате поляризации анизотропной среды вторичного электрического поля, созданного связанными зарядами вещества, составляет некоторый угол (отличный от 0 и π) с направлением первичного электрического поля.

В намагниченной ферромагнитной среде тензором является магнитная проницаемость. В общем случае в декартовой системе координат тензор магнитной проницаемости может быть представлен в виде

При этом форма уравнения (1.17) сохраняется:

Записывая уравнение (1.23) в проекциях на оси декартовой системы координат х, у, z, приходим к формулам, аналогичным

(1.21).

Удельная проводимость а также может быть тензорной величиной. Для таких сред закон Ома в дифференциальной форме (1.9) принимает вид j = || σ || ∙Е.

21

1.2.4. Графическое изображение полей

Векторное поле обычно изображают с помощью линий, которые в каждой точке касаются характеризующего его вектора (рис. 1.4). Их называют векторными линиями. Чтобы дать представление о величине поля, векторные линии проводят так, чтобы их число на единицу площади, расположенной перпендикулярно линиям, было пропорционально величине вектора. Там, где поле сильнее, линии проводят гуще, там, где оно слабее ,- реже. Линии

векторов, являющихся силовыми характеристиками поля, например, линии векторов Е и В, обычно называют силовыми линищ поля.

Пусть некоторое поле характеризуется вектором а и Г-одна из линий этого вектора (рис. 1.5). Начало декартовой системы координат х, у, z расположено в точке О. Проведем радиусы-векторы r и r1 = r + dr в точки N и N1 соответственно, расположенные на кривой Г достаточно близко друг к другу. Приращение радиуса-вектора dr можно записать в виде dr = xodx + yо dу + zodz, где х0, у0 и zo - координатные орты переменных х, у и z соответственно. Так как кривая Г-линия вектора а, то вектор dr должен быть параллелен вектору а, следовательно,

где ax = ax(x,y,z), ay = ay(x,y,z) и аг = аг (х, у, z) - проекции вектора а на оси X, Y и Z

соответственно. Соотношение (1.24) представляет собой уравнение линий вектора а.

1.3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 1.3.1. Первое уравнение Максвелла

Для описания электромагнитного поля было введено шесть векторов Е, Р, D, В, М и Н. Так как векторы электрического поля Е, Р, D связаны соотношением (1.4), а векторы магнитного поля В, М, Н-соотношением (1.15), то для определения электромагнитного поля можно ограничиться нахождением четырех векторов. Обычно в качестве таких векторов используют векторы Е, D, В и Н. В линейных изотропных средах, для которых справедливы соотношения (1.5) и (1.17), электромагнитное поле может быть полностью определено двумя векторами (обычно Е и Н).

Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопической электродинамике, подчиняются законам, впервые сформулированным в виде дифференциальных уравнений Дж.К. Максвеллом, которые были опубликованы им в 1873 г. Эти уравнения были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных и называются уравнениями Максвелла.

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока (закона Ампера). В домаксвелловской формулировке это уравнение могло быть сформулировано следующим образом: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по замкнутому контуру Г равна току /, пронизывающему данный контур:

22

где dl =τodl- элемент контура Г, направленный по касательной к Г; τ0-орт этой касательной, положительное направление которого выбирается в соответствии с обходом контура Г. В качестве контура Г может быть взят любой одновитковый замкнутый контур. До Максвелла под током / понимали только ток проводимости. В общем случае распределение тока / внутри контура Г может быть неравномерным. При этом

где j-вектор плотности тока проводимости; S-произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г; dS = nodS, a n0 - орт нормали к поверхности S (рис.1.6). Направление вектора п0 определяется направлением обхода контура Г. Пусть для определенности все точки поверхности S расположены с одной стороны относительно контура Г. Тогда, если смотреть вдоль вектора п0, обход контура Г будет идти по часовой стрелке. Такую * взаимосвязь направлений вектора п0 и обхода контура для краткости будем условно называть правовинтовоп системой. Подставляя (1.26) в (1.25), получаем

Уравнение (1.27), справедливое при постоянном токе, оказывается неверным в случае переменных процессов. Действительно, рассмотрим конденсатор, включенный в цепь переменного тока (рис. 1.7). Пусть Г-замкнутый контур, охватывающий провод, по которому течет переменный ток. Правая часть уравнения (1.27) представляет собой интеграл от плотности тока проводимости j по произвольной поверхности S, опирающейся на контур Г. Эту поверхность можно провести так, чтобы она либо пересекла провод (поверхность Si на рис. 1.7), либо прошла между обкладками конденсатора (поверхность S2). Интеграл в правой части уравнения (1.27) в первом случае равен току /, а во втором обращается в нуль. В то же время циркуляция напряженности магнитного поля по контуру Г (левая часть уравнения) не зависит от того, как проведена поверхность S. Это противоречие свидетельствует о непригодности уравнения (1.27) для описания переменных полей.

Максвелл дал обобщенную формулировку закона полного тока. Он ввел фундаментальное понятие тока смещения и, основываясь на работах Фарадея, предположил, что в случае переменных полей ток смещения с точки зрения образования магнитного поля равноценен току проводимости. Примером электрической системы, в которой преобладают токи смещения, может служить рассмотренный выше конденсатор в цепи переменного тока. Переменный ток может циркулировать между обкладками конденсатора даже в том случае, когда они разделены идеальным диэлектриком или находятся в вакууме и, следовательно, образование тока проводимости невозможно. Соединительный провод, по которому течет ток проводимости, окружен i кольцевыми линиями магнитного поля, которые как бы образуют "оболочку" вокруг всего провода. Максвелл предположил, что эта.) "оболочка" не обрывается у пластин конденсатора, а образует непрерывную поверхность, т.е. изменяющееся электрическое поле 5 конденсатора также окружено кольцевыми линиями магнитного поля. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля.Это дало

23

основание ввести понятие о новом виде тока, получившем название тока смещения. Плотность тока смещения onределяется формулой

Как и плотность тока проводимости, она измеряется в А/м2.

Подчеркнем, что ток проводимости и ток смещения в вакууме имеют различную физическую сущность. Ток проводимости -это упорядоченное движение свободных электрических зарядов. Ток смещения в вакууме соответствует только изменению электрического поля и не сопровождается каким-либо движением электрических зарядов.

В вакууме D = е0Е И уравнение (1.28) принимает вид Ток смещения в вакууме не сопровождается выделением тепла.

Рассмотрим общий случай, когда ток смещения возникает в какой-либо среде. Вектор электрического смещения связан с векторами Е и Р соотношением (1.4). Подставляя это соотношение в (1.28), получаем

Первое слагаемое в правой части этой формулы совпадает с выражением для плотности тока смещения в вакууме, т.е. определяет как бы "чистый" ток смещения, не связанный непосредственно с движением зарядов. Второе слагаемое определяет ток смещения, обусловленный движением зарядов, связанных с атомами вещества, в результате действия переменного поля. Эту составляющую тока смещения можно рассматривать как своеобразный ток проводимости, так как она, по существу, обусловлена упорядоченным перемещением связанных зарядов. На ее поддержание в реальной среде затрачивается некоторая часть энергии электромагнитного поля.

Вернемся к закону полного тока. Как уже указывалось, Максвелл предположил, что уравнение (1.25) имеет частный характер, так как не учитывает токов смещения. Для того чтобы оно было справедливым и в случае переменных полей, нужно в его правую часть помимо тока проводимости / ввести ток смещения /см:

Уравнение (1.31) сформулировано применительно к контуру конечных размеров. Оно представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Максвеллом этот закон был сформулирован также в дифференциальной форме. Для перехода к дифференциальной форме воспользуемся теоремой Стокса (П.20). Заменяя в уравнении (1.31) циркуляцию вектора Н интегралом от rot H по поверхности S, получаем

24

Так как S-произвольная поверхность, то равенство (1.32) возможно только в том случае, если

Равенство (1.33) называют первым уравнением Максвелла. Векторное уравнение (1.33) эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые в декартовой системе координат х, у, z имеют вид

1.3.2. Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея, который формулируется следующим образом: если замкнутый контур Г пронизывается переменным магнитным потоком Ф, то в контуре возникает ЭДС е, равная скорости изменения этого потока:

Знак минус в правой части формулы (1.34) означает, что возникающая в контуре ЭДС всегда как бы стремится воспрепятствовать изменению потока, пронизывающего данный контур. Это положение известно под названием "правило Ленца".

До Максвелла считалось, что уравнение (1.34) справедливо только в случае проводящего контура Г. Максвелл предположил, что это уравнение будет справедливо и в том случае, когда рассматриваемый контур представляет собой замкнутую линию, проведенную в непроводящей среде.

Пусть Г-произвольный одновитковый замкнутый контур, a S-произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г (рис.1.6). Электродвижущая сила, наводимая в этом контуре

а магнитный поток Ф связан с вектором В соотношением

где dS = nodS; п0-орт нормали к поверхности S, образующий правовинтовую систему с обходом контура Г (рис.1.6). Подставляя (1.35) и (1.36) в (1.34), получаем

Соотношение (1.37) сформулировано для контура конечных размеров и называется

вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Максвеллом это уравнение было сформулировано также в дифференциальной форме.

25

Предположим, что контур Г неподвижен и не изменяется со временем. В этом случае производную по времени в правой части уравнения (1.37) можно внести под знак интеграла. Преобразовывая левую часть равенства (1.37) по теореме Стокса, имеем

Так как S-произвольная поверхность, соотношение (1.38) возможно только в том случае, если

Равенство (1.38) называют вторым уравнением Максвелла. Переходя к декартовой системе координат х, у, z, получаем три скалярных уравнения:

1.3.3. Третье и четвертое уравнения Максвелла

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S с зарядом Q, сосредоточенным внутри этой поверхности:

где dS = nodS; n0 - орт внешней нормали к поверхности S.

До Максвелла уравнение (1.40) рассматривалось только в применении к постоянным полям. Максвелл предположил, что оно справедливо и в случае переменных полей.

Заряд Q может быть произвольно распределен внутри поверхности S. Поэтому в общем случае

где ρ-объемная плотность зарядов; V- объем, ограниченный поверхностью S. Объемная плотность зарядов

где ΔQ - заряд, сосредоточенный в объеме ΔV. Размерность ρ-кулон на кубический метр (Кл/м3).

Подставляя (1.41) в (1.40), получаем

Уравнение (1.43) обычно называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме преобразуем левую часть этого уравнения по теореме Остроградскогo—Гаусса (П. 19). В результате получим

26

Это равенство должно выполняться при произвольном объеме V, что возможно только в том случае, если

Соотношение (1.44) принято называть третьим уравнением Максвелла. В декартовой системе координат оно записывается в виде

Из равенства (1.44) следует, что дивергенция вектора D отлична от нуля в тех точках пространства, где имеются свободные заряды. В этих точках линии вектора D имеют начало (исток) или конец (сток). Линии вектора D начинаются на положительных зарядах и заканчиваются - на отрицательных.

В отличие от вектора D истоками (стоками) вектора Е могут быть как свободные, так и связанные заряды. Чтобы показать это, перепишем уравнение (1.44) для вектора Е. Подставляя соотношение (1.4) в (1.44), получаем εo div E = ρ- div ρ. Второе слагаемое в правой части этого равенства имеет смысл объемной плотности зарядов ρр, возникающих в результате неравномерной поляризации среды (такие заряды будем называть

поляризационными): divP=-ρP. (1.45)

Поясним возникновение поляризационных зарядов на следующем примере. Пусть имеется поляризованная среда (рис. 1.8). Выделим мысленно внутри нее объем V, ограниченный поверхностью S. В результате поляризации в среде происходит смещение зарядов, связанных с молекулами вещества. Если объем ΔV мал, а поляризация неравномерная, то в объем ΔV с одной стороны может войти больше зарядов, чем выйдет с другой (на рис. 1.8 объем ΔV показан пунктиром). Подчеркнем, что поляризационные заряды являются "связанными" и возникают только под действием электрического поля. Знак минус в формуле (1.45) следует из 24

определения вектора Р (см.1.2.1). Линии вектора Р начинаются на отрицательных зарядах и оканчиваются на положительных. С учетом формулы (1.45) приходим к соотношению

из которого и следует сделанное выше утверждение, что истоками (стоками) линий вектора Е (силовых линий электрического поля) являются как свободные, так и связанные заряды.

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме совпадает с законом Гаусса для магнитного поля, который можно сформулировать следующим образом. Поток вектора В через любую замкнутую поверхность S равен нулю, т.е.

27

Это означает, что не существует линий вектора В, которые только входят в замкнутую поверхность S (или, наоборот, только выходят из поверхности S): они всегда пронизывают ее (рис. 1.9).

Уравнение (1.46) называют четвертым уравнением Максвелла в интегральной форме. К

дифференциальной форме уравнения (1.46) можно перейти с помощью теоремы Остроградского-Гаусса так же, как это было сделано в случае третьего уравнения Максвелла. В результате получим

div В = 0, (1.47)

Уравнение (1.47) представляет собой четвертое уравнение Максвелла. Оно показывает, что в природе отсутствуют уединенные магнитные заряды одного знака. Из этого уравнения также следует, что линии вектора В (силовые линии магнитного поля) являются непрерывными.

1.4. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДОВ

Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное соотношение, называемое уравнением непрерывности. Возьмем дивергенцию от обеих частей равенства (1.33). Учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, и используя уравнение (1.44), получаем

Правая часть уравнения (1.33) представляет собой сумму плотностей тока проводимости и тока смещения, т.е. плотность полного тока jnoлн = j + dD/dt, поэтому уравнение (1.48) эквивалентно условию divjполн=0. Равенство нулю дивергенции какого-либо вектора означает непрерывность линий этого вектора. Следовательно, уравнение (1.48) показывает, что линии плотности полного тока являются непрерывными, в то время как линии плотностей токов проводимости и смещения могут иметь начало и конец. Например, линии плотности тока проводимости начинаются в тех точках пространства, где плотность зарядов уменьшается, и оканчиваются там, где плотность зарядов возрастает.

Уравнение (1.48) тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной формой. Закон сохранения заряда можно сформулировать следующим образом. Всякому изменению величины заряда, распределенного в некоторой области, соответствует электрический ток /, втекающий в эту область или вытекающий из нее:

Покажем, что формулу (1.49) можно получить из уравнения (1.48). Проинтегрируем последнее по объему V. Преобразовывая левую часть получающегося равенства по теореме Остроград-ского-Гаусса, а в первой части меняя порядок интегрирования и дифференцирования, приходим к уравнению

уменьшается, и, наоборот, отрицателен (т.е. втекает в объем V), если заряд увеличивается.

Подчеркнем, что под током / в законе сохранения заряда понимается ток через всю поверхность S, ограничивающую объем V. Например, если в цилиндрическом проводнике мысленно выделить объем V, как показано на рис. 1.10, то ограничивающая этот

28

объем поверхность S будет состоять из трех частей: S = S1 + S2 + S3l и при

определении / нужно учесть токи, протекающие через оба торца (S1 и S2) и боковую поверхность (S3) рассматриваемого цилиндрического объема V.

Закон сохранения заряда (1.50) был получен из уравнения непрерывности. Очевидно, можно было бы поступить наоборот: постулировать закон сохранения заряда как экспериментальный закон а из него независимо от уравнений Максвелла вывести равнение непрерывности.

Используя уравнение непрерывности, можно обосновать постулированное ранее соотношение (1.28), определяющее вектор плотности тока смещения. Действительно, применяя теорему Стокса к левой части уравнения (1.27), выражающего закон Ампера, приходим к равенству

Так как div rot H = 0, то из соотношения (1.51) следует, что div j = 0. Последнее равенство заведомо несправедливо для переменных процессов, так как в этом случае должно выполняться уравнение непрерывности (1.48), вытекающее из закона сохранения заряда (1.50). Чтобы уравнение (1.51) стало пригодным для переменных процессов, его надо видоизменить, добавив в его правую часть некоторую функцию, имеющую размерность плотности тока и удовлетворяющую условию, что ее дивергенция равна dp/dt. В качестве такой функции следует взять функцию дD/dt, так как указанное условие будет выполнено в силу третьего уравнения Максвелла (1.44). Получающееся при этом уравнение будет полностью совпадать с первым уравнением Максвелла (1.33).

Отметим, что уравнение (1.33) было получено Максвеллом на основе аналогичных рассуждений.

1.5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ 1.5.1. Физическая сущность уравнений Максвелла

Выше были рассмотрены основные уравнения электродинамики. Каждое из них описывает те или иные свойства электромагнитного поля. Анализ электромагнитных процессов возможен только на основе системы уравнений электродинамики. Такой системой являются уравнения Максвелла

совместно с уравнениями, связывающими векторы D и Е, В и Н, j и Е, которые в случае линейных изотропных сред имеют вид

29

Уравнения (1.53) часто называют уравнениями состояния, а также материальными уравнениями; они характеризуют среду. Напомним, что в случае линейных анизотропных сред уравнения (1.52) остаются без изменения, а в уравнениях (1.53) параметры ε, μ , σ (по крайней мере один из них) будут тензорами (см. 1.2.3).

Наряду с уравнениями Максвелла в дифференциальной форме в ряде случаев удобно использовать уравнения Максвелла в интегральной форме:

На основе уравнений Максвелла можно сделать следующие выводы относительно свойств электромагнитного поля. Электрическое и магнитное поля тесно связаны между собой. Всякое изменение одного из них вызывает изменение другого. Независимое существование одного поля без другого (например, электрического без магнитного, или магнитного без электрического) возможно только в статическом случае. Источниками электромагнитного поля являются заряды и токи. Магнитное поле всегда вихревое, электрическое поле может быть и вихревым, и потенциальным и в общем случае представляет собой суперпозицию таких полей. Чисто потенциальным электрическое поле может быть только в статическом случае. Векторные линии электрического поля могут иметь истоки и стоки. Векторные линии магнитного поля (и линии вихревого электрического поля) всегда непрерывны. Применяя уравнение (1.31) к достаточно малому контуру, можно показать, что замкнутая линия магнитного поля, расположенная в непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывает линию плотности полного тока, проходящую через эту точку, и образует с ней правовинтовую систему (рис. 1.11). в общем случае направление линии магнитного поля определяется знаком суммарного

тока, сцепленного с этой линией. Аналогично из уравнения (1.37) следует, что замкнутая линия вихревого электрического поля, расположенная в непосредственной близости к рассматриваемой точке, охватывает проходящую через эту точку

линию вектора дВ/дt и образует с ней левовинтовую систему о рис. 1.12).

Уравнения, входящие в полную систему уравнений Максвелла 1(1.52) и (1.53), являются линейными уравнениями. Поэтому можно (утверждать, что электромагнитные поля удовлетворяют принципу (суперпозиции: поле, созданное несколькими источниками, можно (рассматривать как сумму полей, созданных каждым источником.

1.5.2. Классификация электромагнитных явлений

Система уравнений Максвелла охватывает всю совокупность электромагнитных явлений, относящихся к макроскопической электродинамике. В ряде частных случаев уравнения Максвелла упрощаются. Самым простым является случай, когда поле не зависит от

30