Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

времени и, кроме того, отсутствует перемещение заряженных частиц (j = 0). При этих условиях система уравнений [1.52) и (1.53) распадается на две независимые системы:

Уравнения (1.55) содержат только векторы электрического поля, а (1.56)-только векторы магнитного поля. Это означает, что в данном случае электрические и магнитные явления независимы.

Явления, описываемые системой уравнений (1.55), принято называть электростатическими. Электростатические поля-это поля, созданные неподвижными, неизменными по величине зарядами. Система уравнений (1.55) является полной системой дифференциальных уравнений электростатики.

Уравнения (1.56) характеризуют поля, создаваемые постоянными магнитами. Они также могут быть использованы для анализа свойств магнитного поля, созданного постоянными оками в области, в которой плотность тока проводимости равна нулю (j = 0) и которая не сцеплена с током (не охватывает его линий). Явления, описываемые системой (1.56),

называют магнитостатическими, а соотношения (1.56) - уравнениями магнитостатики.

При наличии постоянного тока электрическое и магнитное поля уже нельзя считать независимыми. Электромагнитное поле, созданное постоянными токами, называют стационарным электромагнитным полем. Система уравнений Максвелла в этом случае принимает вид

Вкачестве самостоятельного класса выделяют также так называемые квазистационарные процессы, т.е. процессы, протекающие достаточно медленно. В этом случае в первом уравнении Максвелла при наличии тoка проводимости можно пренебречь током смещения: rot H = j. Однако в тех случаях, когда токов проводимости нет (например, емкость в цепи переменного тока), токи смещения необходимо учитывать, при этом rot H =.- dDldt. Второе уравнение Максвелла при анализе квазистационарных процессов записывается в обычной форме: rot H =- dD/dt.

Вобщем случае используют полную систему уравнений Максвелла (1.52) и (1.53).

Вслучае гармонических во времени колебаний систему (1.52) удается упростить с помощью искусственного приема, получившего название метода комплексных амплитуд.

1.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 1.6.1. Метод комплексных амплитуд

Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими. В буквальном переводе "монохроматический" означает "одноцветный". Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты.

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону

- амплитуда; φ - начальная фаза; ω = 2πf = 2π/T; a f и T-частота и период гармонического колебания, вводится в рассмотрение комплексная функция

31

Величину принято называть комплексной амплитудой функции ψ. Для перехода от комплексной функции ψ к исходной функции ψ нужно взять от ψ реальную часть

Аналогично вместо вектора

можно ввести в рассмотрение комплексный вектор

- комплексная амплитуда вектора а.

Для перехода от комплексной амплитуды ам к мгновенному «значению исходной функции нужно вычислить реальную часть произведения ам на exp (i ψt):

Отметим, что в общем случае вместо разложения вектора а по ортам декартовой системы координат (1.58) может оказаться необходимым разложение по каким-либо другим ортогональным векторам, что не вносит в рассмотрение никаких принципиальных изменений. Если функции а и ψ удовлетворяют линейным уравнениям, то таким же уравнениям будут удовлетворять соответствующие комплексные функции а и ψ. Однако определение комплексных функций во многих случаях оказывается проще определения исходных функций. Это объясняется тем, что дифференцирование комплексной функции

интегрирование по времени -делению на

1.6.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому при изучении монохроматических электромагнитных полей можно вместо векторов Е и Н рассматривать комплексные векторы

32

Уравнение (1.62) является первым уравнением Максвелла для монохроматического поля. Величина е, определяемая формулой (1.61), характеризует электрические свойства среды и называется комплексной

диэлектрической проницаемостью среды. Ее значение зависит от частоты. Входящая в (1.61) величина ст/(сое) равна отношению амплитуд плотностей тока проводимости и тока смещения (подробнее об этом - в 1.6.3) и называется тангенсом угла электрических потерь

(рис. 1.13):

Отметим, что комплексная диэлектрическая проницаемость Е определяется выражением (1.61) только в тех случаях, когда можно пренебречь поляризационными потерями, т.е. потерями энергии на периодическое изменение поляризации среды. Если этими потерями пренебречь нельзя, следует считать, что

33

-вещественные числа, отношение которых определяет

фазовый сдвиг между векторами D и Е. При этом входящая в (1.62) комплексная диэлектрическая проницаемость

(1.61) достаточно положить В случае анизотропной по отношению к электрическому полю &реды комплексная

диэлектрическая проницаемость является Гензором. Конкретный вид тензора || ε || зависит от свойства среды.

Рассмотрим второе уравнение Максвелла для изотропной среды. Переходя в (1.39) к комплексным векторам и учитывая соотношение (1.17), получаем

При вещественных значениях μ- векторы В и Н изменяются сεεинфазно, что эквивалентно предположению об отсутствии магнитных потерь (затрат энергии на поддержание периодически изменяющейся намагниченности среды). Несинфазность векторов ВиН в случае гармонических во времени электромагнитных процессов можно учесть, введя комплексную магнитную проницаемость

Рассмотрим третье уравнение Максвелла. Переходя в (1.44) к комплексным функциям и учитывая соотношение (1.5), получаем

Если требуется учесть поляризационные потери, то в уравнении (1.69) следует ε заменить на ε (см. формулы (1.64) и (1.65)).

Четвертое уравнение Максвелла в комплексной форме имеет вид

Если среда характеризуется комплексной магнитной проницаемостью, в уравнении (1.70) следует заменить μ на μ Выпишем также уравнение непрерывности для монохроматического поля. Переходя в (1.48) к комплексным функциям, получаем

34

Преобразуем равенство (1.69) с учетом уравнения непрерывности. Из (1.71) следует, что Подставляя это равенство в (1.69), имеем

Третье уравнение Максвелла в комплексной форме (1.72) является следствием первого уравнения Максвелла. Действительно, беря дивергенцию от обеих частей равенства (1.62) и учитывая, что div rot H=О, приходим к уравнению (1.72). Аналогично уравнение (1.70) является следствием второго уравнения Максвелла.

Рассмотрим третье и четвертое уравнения Максвелла для частного случая однородной

изотропной среды. Так как параметры такой среды не зависят от координат, то уравнения (1.72) и (1.70) упрощаются и принимают вид

и

Таким образом, в качестве полной системы уравнений Максвелла для монохроматического поля можно использовать систему двух уравнений

Переходя в (1.75) к комплексным амплитудам векторов Е и Н, получаем

Напомним, что при анализе поля в среде без потерь в уравнениях (1.75) и (1.76) следует

заменить соответственно.

Уравнение непрерывности (1.71) также можно записать для комплексных амплитуд

(1.77)

1.6.3. Уточнение понятий о проводниках и диэлектриках

Среды могут сильно отличаться друг от друга по величине удельной проводимости, поэтому электромагнитные поля в таких средах могут обладать разными свойствами. Чем больше величина а, тем больше плотность тока проводимости в среде при той же напряженности электрического поля. Часто для упрощения анализа вводят понятия

идеального проводника и идеального диэлектрика. Идеальный проводник-это среда с бесконечно большой удельной проводимостью . В идеальном диэлектрике

вещественные скалярные функции или постоянные. В идеальном проводнике может существовать только ток проводимости, а в идеальном диэлектрике только ток смещения. В реальных средах имеется как ток проводимости, так и ток смещения. Поэтому проводниками принято называть среды, в которых ток проводимости намного превосходит ток смещения, а диэлектриками - среды, в которых основным является ток смещения. Такое деление сред на проводники и диэлектрики имеет

35

относительный характер, так как существенно зависит от скорости изменения электромагнитного поля.

В случае монохроматического поля комплексные амплитуды векторов плотности тока

и является критерием деления сред на проводники и диэлектрики.

Если tgδ»1, среду называют проводником, если tg δ«1 —диэлектриком. Из соотношения (1.78) следует, что диэлектрические свойства сильнее проявляются при более высоких частотах.

Металлы имеют большую удельную проводимость. Например, у холоднотянутой меди ст = 5,65-107 См/м, у железа σ=1,0-107 См/м. Поэтому у металлов tgδ»1 на всех частотах, используемых в радиотехнике. У типичных диэлектриков, наоборот, удельная проводимость очень мала, например у кварца σ = 2-10-17См/м; у стекла σ = 10 -12 См/м.

Существует ряд сред, занимающих промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, например вода, почва и др. (у морской воды σ = 3...5 См/м, у влажной почвы σ = 10-3 …10-5 См/м, у дистиллированной воды σ = 2-10-4 См/м). Такие среды (их называют полупроводящими) на одних частотах являются проводниками (σ »εω), а на других – диэлектриками (σ >>εω).

1.6.4. Понятие о времени релаксации

Из уравнения непрерывности (1.48) вытекает важное следствие. Рассмотрим безграничную однородную изотропную среду, обладающую отличной от нуля

проводимостью (σ ≠ 0). Так как в этом случае то соотношение (1.48) принимает вид Решая это уравнение, получаем

экспоненциально убывает со временем. Промежуток времени τ, в течение которого заряд в каком-либо малом элементе объема уменьшается в е раз, называется временем релаксации. Приравнивая единице показатель степени в формуле (1.79), получаем

выражение . Время релаксации для хорошо проводящих сред очень мало. Например, для металлов τ имеет порядок 10-18с; для морской воды-2·10-10 с. Даже при σ =2·10-4 См/м (дистиллированная вода) τ не превышает 10-6 с.

То, что объемная плотность заряда в каждой точке внутри проводящей области, например внутри металлического объекта, экспоненциально убывает со временем, не означает, конечно, что заряды исчезают. Если рассматриваемая область окружена непроводящей средой, заряды задерживаются на границе области (например, на внешней поверхности металлического объекта), образуя весьма тонкий заряженный слой. Однако этот процесс не сопровождается появлением зарядов во внутренних точках проводящей области, в которых в начальный момент они отсутствовали.

1.7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 1.7.1. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей

36

Уравнениями Максвелла в дифференциальной форме удобно пользоваться при анализе электромагнитных полей в средах, параметры ε, μ и σ а которых - непрерывные функции координат (или не зависят от координат). На практике, однако, рассматриваемая область может состоять из двух (и более) разнородных сред. При анализе макроскопических свойств поля обычно считают, что параметры ε, μ и σ (или по крайней мере один из них) на границе раздела сред меняются скачком. При этом пользоваться уравнениями Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела неудобно, и для изучения поведения векторов поля при переходе из одной среды в другую следует исходить из уравнений Максвелла в интегральной форме (1.54).

Соотношения, показывающие связь между значениями составляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называют граничными условиями.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соответственно из третьего (1.43) и четвертого (1.46) уравнений Максвелла в интегральной форме. Сравнивая эти уравнения, замечаем, что равенство (1.46) может быть формально получено из уравнения (1.43), если в последнем заменить D на В и положить ρ = 0. Поэтому ограничимся выводом граничного условия для нормальной составляющей вектора D, а из него указанными преобразованиями получим граничное условие для нормальной составляющей вектора В.

На поверхности раздела So двух изотропных сред, характеризуемых параметрами соответственно, в. окрестности произвольно выбранной точки

М выделим достаточно малый элемент . Элемент S должен быть достаточно мал, чтобы, во-первых, его можно было считать плоским, а, вовторых, чтобы в обеих средах распределение нормальной компоненты вектора D можно было считать равномерным в пределах S.

Построим на элементе ΔS прямой цилиндр высотой 2Δ/h так, чтобы его основания находились в разных средах (рис.1.14), и применим к нему третье уравнение Максвелла в интегральной форме (1.43):

37

Если заряд не сосредоточен на поверхности раздела, т.е. не является поверхностным, то при любой конечной величине объемной плотности

заряда р правая часть формулы (1.82) равна нулю, а нормальная компонента вектора D непрерывна при переходе из одной среды в другую:

Особый интерес представляет случай, когда заряды распределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие заряды называют поверхностными и характеризуют плотностью поверхностных зарядов ps (ее часто называют также поверхностной плотностью зарядов), определяемой соотношением

где ∆Q - заряд на элементе поверхности ∆S. Как видно из (1.84), ρs измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).

Пусть теперь на границе раздела имеются поверхностные заряды с плотностью ρs. В этом случае правая часть уравнения (1.82) уже не будет равна нулю. Считая распределение заряда на площадке ΔS равномерным (в противном случае нельзя считать равномерным распределение D1n и D2n), разделим обе части уравнения (1.82) на ΔS. В результате получим

D1n-D2n=ρs. (1.85)

Соотношение (1.85) показывает, что при переходе из одной среды в другую нормальная компонента вектора D претерпевает разрыв (скачок), равный плотности поверхностных

38

зарядов, распределенных по границе раздела. Выражая в этом соотношении D1n и D2n через Е1n и Е2п с помощью равенства D = εE, получаем граничное условие для нормальных компонент вектора Е:

Если на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды, то условие (1.86) можно представить в виде

Соотношение (1.87) показывает, что нормальная составляющая вектора Е при переходе через незаряженную поверхность раздела двух сред имеет разрыв, величина которого определяется отношением диэлектрических проницаемостей этих сред. Наличие плотности поверхностных зарядов ρs в рассматриваемой точке приводит к изменению величины разрыва, увеличивая или уменьшая его. При определенном значении ρs нормальная составляющая вектора Е может даже оказаться непрерывной.

Отметим, что поверхностные заряды обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя зарядов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального заряженного слоя составляющая Dn непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального слоя зарядов бесконечно тонким (т.е. поверхностными зарядами) приходится считать, что Dn изменяется скачком.

Граничное условие для нормальной составляющей вектора В, как уже отмечалось, формально может быть получено из (1.85), если положить ρs=0 и заменить D1n и D2n на В1л и В2n соответственно. При этом придем к соотношению

Из (1.88) следует, что составляющая Вn непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. В свою очередь, нормальная составляющая вектора Н имеет разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей. Выражая в равенстве (1.88) B1n и В2n через H1п и Н2п, получаем

1.7.2. Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей

Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического и магнитного полей могут быть получены соответственно из второго (1.37) и первого (1.31) уравнений Максвелла в интегральной форме. В рассматриваемом случае можно считать, что контур Г в уравнении (1.37) не зависит от времени. Поэтому, внося производную по t под знак интеграла, получаем

Сравнивая (1.90) с первым уравнением Максвелла (1.31), замечаем, что равенство (1.90) формально может быть получено . из уравнения (1.31), если в последнем положить j = 0 и заменить Н на Е и D на В. Следовательно, можно ограничиться выводом граничного условия для касательной составляющей вектора Н из (1.31), а затем с помощью указанных преобразований получить граничное условие для касательной составляющей вектора Е.

Пусть So - граница раздела двух изотропных сред, характеризуемых параметрами

соответственно. Из произвольной точки MЄS проведем единичную нормаль n0, направленную из второй среды в первую (рис. 1.15). Через n0

39

проведем плоскость Р. На линии пересечения поверхности раздела So с плоскостью Р выделим достаточно малый отрезок l содержащий точку М. Размеры отрезка должны быть такими, чтобы, во-первых, его можно было считать прямолинейным, а во-вторых, чтобы распределение касательной составляющей вектора Н в пределах l в обеих средах можно было считать равномерным. В плоскости Р построим прямоугольный контур ABCD, как показано на рис. 1.15.

Стороны АВ и CD параллельны l и находятся в разных средах. -Кроме того, в точке М проведем единичную касательную τ0 к линии пересечения поверхности раздела S с плоскостью Р и единичную нормаль No к плоскости Р так, чтобы орты п0, τ0 и No составляли правую тройку векторов:

а обход контура ABCD образовывал правовинтовую систему с вектором No- Применим к контуру ABCD первое уравнение Максвелла (1.31):

где ΔS - площадь, охватываемая контуром ABCD, a dS = NodS. Левую часть этого равенства можно представить в виде суммы четырех интегралов:

Отметим, что стороны ВС и DA параллельны и равны 2 Δh, а направление элемента dl

определяется выбранным обходом контура: Устремляя h к нулю (при этом стороны АВ и CD рассматриваемого контура совпадут с

l) и учитывая, что функции Н и dDldt являются ограниченными, приходим к соотношениям

где Н1 и Н2 - значения вектора Н на границе раздела S в первой и второй средах соответственно, а Н1τ и H2τ- проекции векторов Н1 и Н2 на касательную τ0. Используя эти соотношения при переходе к пределу при Δh→0 в уравнении (1.92), получаем

40