Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

Если на границе раздела отсутствуют поверхностные токи, правая часть равенства (1.93) равна нулю. В этом случае касательная составляющая вектора Н оказывается непрерывной:

Касательная составляющая вектора В, наоборот, претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей:

Особый интерес представляет случай, когда токи распределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие токи называют поверхностными. Плотность поверхностных токов (ее часто называют также поверхностной плотностью) определяется соотношением

где i0- единичный вектор, указывающий направление движения положительных зарядов в данной точке; ΔL-элемент линии, перпендикулярный вектору i0; /-ток, протекающий через ΔL (рис.1.16). Плотность поверхностных токов измеряется в амперах на метр (А/м). В этом случае правая часть равенства (1.95) уже не будет равна нулю. Считая распределение поверхностного тока на отрезке ΔL равномерным (если это не выполняется, нельзя считать равномерным распределение касательной составляющей вектора Н), преобразуем правую часть указанного равенства следующим образом:

где jSN - проекция вектора js на направление No. Подставляя это выражение в (1.93) и деля обе части получающегося равенства на l, приходим к соотношению

Уравнение (1.97) справедливо для любого направления касательной τo, и его можно переписать в векторной форме

где Н1 и Н2 - значения вектора Н у границы раздела в первой и во второй средах соответственно.

Уравнения (1.97) и (1.98) показывают, что при переходе через границу раздела, по которой текут поверхностные токи, касательная составляющая вектора Н претерпевает разрыв, величина которого определяется значением плотности поверхностных токов в рассматриваемой точке. Переходя в уравнении (1.97) к касательным составляющим вектора В, получаем

41

Отметим, что поверхностные токи, как и поверхностные заряды, обычно вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя токов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального токового слоя касательная составляющая вектора Н непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального токового слоя бесконечно тонким (т.е. поверхностными токами) приходится считать, что Hτ изменяется скачком.

Граничное условие для касательной составляющей вектора Е может быть формально получено из равенства (1.97) на основе i указанных выше изменений. Полагая в (1.97)jSN = О и заменяя касательные составляющие вектора Н на соответствующие касательные составляющие вектора Е, приходим к соотношению:

Равенство (1.99) показывает, что касательная составляющая вектора Е непрерывна при переходе через границу раздела двух сред. Касательная составляющая вектора D, наоборот, претерпевает разрыв, величина которого зависит от соотношения между диэлектрическими проницаемостями. Выражая E1τ и Е2τ в равенстве (1.99) через D1τ и D2τ, получаем

Граничные условия, полученные для составляющих векторов электрического поля, показывают, что на границе раздела векторы Е и D преломляются. Обозначим углы между нормалью п0 к поверхности раздела и векторами Е1 и Е2 соответственно через си и α2 (рис.

1.17). Так как то, используя граничные условия (1.86) и (1.99), получаем, что при отсутствии поверхностных зарядов на границе раздела справедливо следующее соотношение:

В изотропных средах векторы Е и D направлены одинаково. Поэтому соотношение (1.100) определяет также преломление вектора D. Очевидно, аналогичное соотношение может быть получено и для векторов магнитного поля. Пусть α1 и α2- углы между нормалью п0 и векторами H1 и Н2. Тогда, как следует из уравнений (1.89) и (1.94), имеет место соотношение

42

В случае изотропных сред это равенство определяет также изменение ориентации вектора

В.

1.7.3. Граничные условия на поверхности идеального проводника

Таким образом, на поверхности раздела любых двух изотропных сред должны выполняться следующие граничные условия:

Уравнения (1.1.01) составляют полную систему граничных условий. Они справедливы для любых электромагнитных процессов, рассматриваемых в макроскопической электродинамике. Не включенные в систему (1.101) граничные условия для составляющих Dτ, Еп, Вτ и Нп являются следствиями соотношений (1.101) и уравнений состояния (1.53). Граничные условия (1.101) можно записать также в векторной форме:

При изучении переменных электромагнитных полей вблизи поверхности металлических тел часто предполагают, что рассматриваемое тело является идеально проводящим. При этом граничные условия упрощаются, так как в среде с σ = ∞ поле отсутствует. Действительно, плотность тока проводимости j должна быть ограниченной величиной. Поэтому из закона Ома в дифференциальной форме (1.9) следует, что напряженность электрического поля внутри идеального проводника должна быть равна нулю. Полагая во втором уравнении Максвелла Е = 0, получаем dB/dt= 0. Так как поле считается переменным, то последнее равенство выполняется только при В = 0.

43

Пусть идеально проводящей является вторая среда. Тогда D2= E2= В2= Н2= 0 и условия (1.101) принимают вид

1.7.4. Физическая сущность граничных условий

Выше было показано, что граничные условия для нормальных и касательных составляющих векторов электромагнитного поля имеют существенные различия. Выясним физические причины этого явления. Рассмотрим вначале граничные условия для составляющих вектора Е. Пусть имеются две изотропные среды с общей границей раздела, характеризуемые диэлектрическими проницаемостями ε 1и ε 2. Предположим вначале, что на границе раздела сред отсутствуют свободные поверхностные заряды (ps = 0). Под воздействием внешнего электрического поля обе среды поляризуются, причем вектор Р, характеризующий поляризацию, будет иметь разные значения в этих средах, так

как - Если вектор Е, а следовательно, и вектор Р перпендикулярны поверхности раздела (рис.1.18), то на ней появятся некомпенсированные поверхностные заряды, связанные с молекулами вещества. На рис.1.18 показан случай, когда ε2> ε1 И соответственно вторая среда поляризуется легче, чем первая. Это символически отображено на рис. 1.18, а тем, что во второй среде больше молекулярных диполей, ориентированных параллельно вектору Е. Образующиеся на границе раздела нескомпенсированные поверхностные заряды в рассматриваемом примере являются положительными (рис.1.18,6). Если векторы Е и Р параллельны поверхности раздела, то такие заряды не возникают (рис. 1.19). Очевидно, что при произвольной ориентации вектора Е

(или Р) у границы раздела величина появляющихся на ней не-скомпенсированных поверхностных зарядов определяется изменением значений нормальной составляющей вектора Р при переходе через границу раздела.

Выберем на поверхности раздела сред некоторую точку М и рассмотрим поведение составляющих вектора Е при переходе через границу раздела. Электрическое поле в рассматриваемой точке складывается из первичного поля, вызвавшего поляризацию сред, и вторичного поля, создаваемого поляризационными зарядами. Все заряды, кроме расположенных в непосредственной близости к рассматриваемой точке, создают в этой точке в соответствии с законом Кулона непрерывное поле. Исключение составляет поле, создаваемое некомпенсированными "связанными" поверхностными зарядами,

44

расположенными в непосредственной близости к точке М. Эти заряды создают в точке М дополнительное электрическое поле Е, нормальные к границе раздела составляющие которого по разные стороны от этой границы (ΔЕ1п и Е2п) равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.20), а касательные - равны по величине и направлению (аналогично полю точечного заряда, расположенного в точке М). Это означает, что касательная составляющая напряженности дополнительного электрического поля Е непрерывна, а нормальная имеет разрыв. Складывая дополнительное поле с первичным полем и полем всех остальных поляризационных зарядов, получаем, что у полного поля в точке М нормальная составляющая вектора Е имеет разрыв (Е1n≠Е2п), а касательная - непрерывна (Е1τ= Е2τ).

Очевидно, что наличие на границе раздела в точке М плотности свободных поверхностных зарядов (ps≠0) не может нарушить непрерывность касательной составляющей вектора Е, но приводит к изменению величины разрыва его нормальной составляющей.

Рассмотрим теперь граничные условия для составляющих вектора В. Пусть имеются две изотропные среды с общей границей раздела, характеризуемые магнитными проницаемостями μ 1 и μ2. Предположим вначале, что на границе раздела отсутствуют поверхностные токи, обусловленные движением свободных зарядов (js= 0). Под воздействием внешнего магнитного поля обе среды намагничиваются. На рис. 1.21, а показана система кольцевых электрических токов, эквивалентных ориентированным по полю магнитным моментам молекул, которую в средах I и II можно заменить противоположно направленными поверхностными токами (РИС. 1.21, б) c плотностями

ответственно. Так как намагниченность сред различна (μ1≠ μ2), то эти эквивалентные поверхностные токи не компенсируют друг друга и суммарный поверхностный ток на границе раздела не равен нулю. Каждый элемент поверхностного тока создает вокруг себя замкнутые линии вектора В. Их структура показана на рис. 1.22 (плоскость, показанная на рис. 1.22, перпендикулярна плоскости, изображенной на рис.1.21). Нормальные к поверхности раздела составляющие этих элементарных полей попарно компенсируются, а касательные складываются. В результате у поверхности раздела в средах I и II появляются противоположно направленные магнитные поля В(1) и В(2) (см. рис.1.22). Поэтому касательные составляющие суммарного вектора В, определяемого суммой первичного и вторичного полей, имеют разные значения по разные стороны от границы раздела, т.е. B1τ ≠B2 τ. Нормальная составляющая суммарного вектора В остается непрерывной

45

(В1n = В2n).

Пусть теперь js ≠ 0. Из изложенного очевидно, что поверхностные токи не приводят к разрыву нормальной составляющей вектора В, т.е. граничное условие для этой составляющей остается прежним (В1п = В2п). Однако поверхностные токи изменяют величину разрыва касательной составляющей вектора В.

На основе аналогичных рассуждений нетрудно дать физическое объяснение и граничным условиям для составляющих векторов D и Н (см. [1]).

1.8. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 1.8.1. Сторонние токи и заряды

При рассмотрении уравнений Максвелла (1.52) под вектором j подразумевалась плотность тока проводимости, возникающего в проводящей среде под воздействием электромагнитного поля. Этот вектор удовлетворяет закону Ома в дифференциальной форме (1.9).Для упрощения реальной электродинамической задачи обычно вместо имеющейся на самом деле системы рассматривают некоторую модель. При этом часть системы вообще исключается из рассмотрения. Для учета влияния этой части системы во многих случаях ее заменяют введением некоторых токов, которые рассматриваются как первопричина возникновения электромагнитного поля и считаются заданными. Эти токи принято называть сторонними. Например, в гл.5 будет рассмотрено излучение электромагнитных волн элементарным электрическим вибратором. Ток в вибраторе обусловлен подведением к нему энергии от генератора. При анализе этот ток будет считаться известным, что позволит исключить из рассмотрения процессы, протекающие в генераторе, прохождение энергии по линии, соединяющей генератор с вибратором, и т.д., т.е. существенно упростит задачу. Если этого не делать и каждую проблему рассматривать во всей ее полноте, то любая конкретная задача становится трудноразрешимой.

Для учета сторонних токов следует первое уравнение Максвелла представить в виде

где jст - плотность сторонних токов в рассматриваемой точке пространства, a j - как и прежде, плотность тока проводимости, вызванного электромагнитным полем: j = σЕ. Аналогично сторонним токам вводится понятие сторонних зарядов. Они учитываются в третьем уравнении Максвелла:

где ρст - объемная плотность сторонних зарядов.

Второе и четвертое уравнения Максвелла остаются без изменений. В случае переменных полей функции jст ρст связаны уравнением непрерывности

При анализе многих вопросов вместо сторонних токов задаются сторонней напряженностью электрического поля Ест. В большинстве случаев при исследовании электродинамических явлений, под Ест подразумевается напряженность электрического поля, создаваемого зарядами и токами, расположенными за пределами рассматриваемой области. При изучении постоянного электрического поля под Ест иногда понимают напряженность поля сторонних электродвижущих сил неэлектрического происхождения (химических, диффузионных и др.). Введение Ест является таким же упрощением задачи, как и введение jст .Фактически оно исключает детальный анализ процессов, происходящих в какой-либо части пространства.

Выпишем также уравнения Максвелла для монохроматического поля в однородной среде, учитывающие сторонние источники:

46

Уравнение непрерывности для сторонних токов (1.113) в этом случае имеет вид

Третье уравнение Максвелла в комплексной форме

является следствием уравнений (1.114) и (1.116), а четвертое (div H = 0)- следствием уравнения (1.115).

Систему уравнений Максвелла в комплексной форме (1.114)-(1.115) можно переписать также для комплексных амплитуд:

1.8.2. Уравнение баланса мгновенных значений мощности

Как уже отмечалось в 1.1, электромагнитное поле является одной из форм материи. Как и любая другая форма материи, оно обладает энергией. Эта энергия может распространяться в пространстве и преобразовываться в другие формы энергии.

Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений мощности применительно к некоторому объему V, ограниченному поверхностью S (рис.1.23). Пусть в объеме V, заполненном однородной изотропной средой, находятся сторонние источники. Из общих физических представлений очевидно, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходоваться на джоулевы потери и на изменение энергии электромагнитного поля внутри V, а также может частично рассеиваться, уходя в окружающее пространство через поверхность S. При этом должно выполняться равенство

где Рст-мощность сторонних источников; РП-мощность джоулевых потерь внутри объема V; РΣ -мощность, проходящая через поверхность S; W-энергия электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V, a dW/dt- мощность, расходуемая на изменение энергии в объеме V.

В данном разделе будут использованы уравнения состояния (1.53). Эти уравнения не позволяют учесть потери энергии при поляризации и намагничивании среды. Поэтому слагаемое Рп в равенстве (1.120) фактически определяет мощность джоулевых потерь в объеме V, обусловленных током проводимости.

Уравнение (1.120) дает только качественное представление об энергетических соотношениях. Чтобы получить количественные соотношения, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Рассмотрим первое уравнение Максвелла с учетом сторонних

47

токов (1.111). Все члены этого уравнения - векторные величины, имеющие размерность А/м2.

Чтобы получить уравнение, аналогичное (1.120), нужно видоизменить первое уравнение Максвелла (1.111) так, чтобы его члены стали скалярными величинами, измеряющимися в ваттах. Для этого достаточно все члены указанного равенства скалярно умножить на вектор Е, а затем проинтегрировать полученное выражение по объему V. После скалярного умножения на вектор Е получаем

Используя известную из векторного анализа формулу div[E,H]= = Н rot Е - Е rot H, преобразуем левую часть соотношения (1.121) и заменим rot E его значением из второго уравнения Максвелла (1.39):

Подставляя это выражение в (1.121), получаем

В последнем слагаемом в правой части (1.122) изменен порядок сомножителей в скалярном произведении векторов dB/dt и Н. Это допустимо, так как Н dB/dt = дВ/дt· H. Данное изменение не является принципиальным и не дает никаких преимуществ при выводе рассматриваемого здесь уравнения баланса для мгновенных значений мощности. Однако при такой записи во всех членах уравнения (1.122) второй сомножитель (векторы jст, j, BDIdt и Н) является вектором, входившим ранее в первое уравнение Максвелла. Это обстоятельство позволит в дальнейшем (см. 1.8.4) несколько упростить вывод уравнения баланса в случае монохроматического поля (уравнения баланса комплексной мощности). Интегрируя почленно уравнение (1.122) по объему V, получаем

где направление элемента dS совпадает с направлением внешней нормали к поверхности S. При переходе от.(1.122) к (1.123) использована теорема Остроградского-Гаусса для перевода объемного интеграла от div[E, H] в поверхностный интеграл от векторного произведения [Е, Н]. Введем обозначение

и преобразуем подынтегральное выражение в последнем слагаемом в правой части

(1.123):

Подставляя (1.124) и (1.125) в (1.123) и меняя порядок интегрирования и дифференцирования, получаем

Выясним физический смысл выражений, входящих в уравнение (1.126).

48

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (1.126). Представим объем V в виде суммы бесконечно малых цилиндров длиной dl, торцы которых (dS) перпендикулярны направлению тока (вектору j). Тогда EjdV = EjdV=(Edl)(jdS) = dUdl = dPn, где dl =jdS -

ток, протекающий по рассматриваемому бесконечно малому цилиндру; dU = Edl - изменение потенциала на длине dl, a dPn -мощность джоулевых потерь в объеме dV. Следовательно, рассматриваемое слагаемое представляет собой мощность джоулевых потерь Рп в объеме V. Используя соотношение j = σЕ, для Рп можно получить и другие представления:

Формулы (1.127) можно рассматривать как обобщенный закон Джоуля-Ленца, справедливый для проводящего объема V произвольной формы.

Интеграл в левой части (1.126) отличается от первого слагаемого в правой части только тем, что в подынтегральное выражение вместо j входит jcт. Поэтому он должен определять мощность сторонних источников. Будем считать положительной мощность, отдаваемую сторонними токами электромагнитному полю. Электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц. Положительным направлением тока считается направление движения положительных зарядов. Ток отдает энергию электромагнитному полю при торможении образующих его заряженных частиц. Для этого необходимо, чтобы вектор напряженности электрического поля Е имел составляющую, ориентированную противоположно направлению тока, т.е. чтобы скалярное произведение векторов Е и jст было отрицательным (E jст <0). При этом левая часть равенства (1.126) будет положительной величиной. Таким образом, мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме V, определяется выражением

Для уяснения физического смысла последнего слагаемого в правой части уравнения (1.126) рассмотрим частный случай. Предположим, что объем V окружен идеально проводящей оболочкой, совпадающей с поверхностью S. Тогда касательная составляющая вектора Е на поверхности S будет равна нулю. Элемент поверхности dS совпадает по направлению с внешней нормалью n0. Следовательно, поверхностный интеграл в уравнении (1.126) будет равен нулю, так как нормальная компонента векторного произведения [Е, Н] определяется касательными составляющими входящих в него Векторов. Кроме того, предположим, что среда в пределах объема V не обладает проводимостью ( σ = 0). При этом в рассматриваемой области не будет джоулевых потерь, и первый интеграл в правой части уравнения (1.126) также будет равен нулю. В результате получим

Очевидно, что в рассматриваемом случае мощность сторонних источников может расходоваться только на изменение энергии электромагнитного поля. Таким образом, правая часть равенства (1.129) представляет собой скорость изменения энергии электромагнитного поля, запасенной в объеме V, т.е. соответствует слагаемому dW/dt в уравнении (1.126). Естественно предположить, что интеграл в правой части (1.129) равен энергии электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V:

49

Строго говоря, этот интеграл может отличаться от W на некоторую функцию g = g(х, у, z), не зависящую от времени. Нетрудно убедиться, что функция д равна нулю. Перепишем (1.130) в виде W=WЭ+WМ, где

Предположим, что электрическое и магнитное поля являются постоянными (не зависят от времени). В этом случае, как известно из курса физики (см. также гл.З и 4), выражения (1.131) и (1.132) определяют энергию соответственно электрического и магнитного полей в объеме V. Но это означает, что g = 0 и указанные выражения определяют мгновенные значения энергии электрического и магнитного полей в объеме V при любой зависимости от временила их сумма, определяемая формулой (1.130), действительно равна мгновенному значению энергии электромагнитного поля в объеме V.

Осталось выяснить физическую сущность поверхностного интеграла в уравнении (1.126). Предположим, что в объеме V отсутствуют потери и, кроме того, величина электромагнитной энергии остается постоянной (W= const). При этом уравнение (1.126) принимает вид

В то же время из физических представлений очевидно, что в данном частном случае вся мощность сторонних источников должна уходить в окружающее пространство (Рст = РΣ). Следовательно, правая часть уравнения (1.133) равна потоку энергии через поверхность S (пределу отношения количества энергии, проходящей через S за время Δt при Δt→0), т.е.

Естественно предположить, что вектор П представляет собой плотность потока энергии (предел отношения потока энергии через площадку ΔS, расположенную перпендикулярно направлению распространения энергии, к ΔS при ΔS →0). Формально математически это предположение не очевидно, так как замена вектора П на П1 = П + rot а, где а - произвольный вектор, не изменяет величину РΣ. Однако оно является верным и в частности, непосредственно вытекает из релятивистской теории электромагнитного поля

[11].

Таким образом, равенство (1.126) аналогично (1.120) и представляет собой уравнение баланса мгновенных значений мощности электромагнитного поля. Оно было получено Пойнтингом в 1884 г. и называется теоремой Пойнтинга. Соответственно вектор П называют вектором Пойнтинга. Часто используют также названия "теорема Умова-

Пойнтинга" и "вектор Умова-Пойн-тинга" с целью подчеркнуть тот факт, что формулировка закона сохранения энергии в общей форме с введением понятия потока энергии и вектора, характеризующего его плотность, впервые была дана Н.А. Умовым в

1874 г.

Отметим, что энергия может поступать в объем V не только от сторонних источников. Например, поток энергии через поверхность S может быть направлен из окружающего пространства в объем V. При этом мощность PΣ будет отрицательной, так как положительным считается поток энергии, выходящий из объема V в окружающее пространство (направление элемента dS совпадает с направлением внешней нормали к поверхности S).

Сторонние источники могут не только отдавать энергию, но и получать ее от электромагнитного поля. При этом мощность сторонних источников будет отрицательной.

50