кой картографии, т.е. определить прямоугольные координаты

изатем характеристики проекции.

Вслучае, когда заданы характеристики проекции или часть из них, эта же система (293) позволяет определять уравнения п араллелей и меридианов (или их численные значения) и в целом искомые проекции на основе решения обратной задачи математической картографии.

решение системы дифф еренциальны х уравнений ЭйлераУрмаева (291).

Учитывая это, Г.А.Мещеряков получил систему уравнений

4.1.4. ПРОЕКЦИЯ ЧЕБЫШЕВА - НАИЛУЧШАЯ РАВНОУГОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ

В 1853 г. академик П.JI.Чебышев сформулировал теорему о н а и л у ч ш и х р авн оугольн ы х проекциях . Согласно этой теореме, наи лучш и м и равноугольны ми проекциям и для создания карт на конкретные территории является те из них,

проекции предложил в 1947 г. проф. Н.А.Урмаев [35]. Проекция Чебышева определяется на основе решения

обратной задачи математической картографии и включает решение двух задач:

- нахождение значений частных масштабов длин и других характеристик проекции в точках картографируемой области по заданному постоянному значению логарифма частного

проекции по имеющимся значениям частных масштабов длин

вточках картографируемой области.

Пер вая часть задачи сводится к решению уравнений

\п\х = F(q + iX),

непрерывная в области картографирования, ограниченной контуром Г.

Записав это уравнение в виде

In ц = (q + iX)n,

последовательно возводя в степени 1, 2, 3 ... правую часть и отделяя мнимую часть от действительной части полученного

ч/„ = viv«-i - Мл-l. e«-i = Vi®n-i + 0iv«-i;

q, qQ- изометрические широты в текущей и средней точках проекции;

а , Ь. - постоянные параметры проекции.

В случае, когда к а р то гр а ф и р у е м а я терри тори я имеет контур, симметричный относительно среднего прямолиней­ ного меридиана, то выражение (297) принимает вид

При этом, как было сказано, на контуре изображаемой территории соблюдаются граничные условия (295).

В работах проф. Н.А.Урмаева показано, что для решения уравнения Лапласа и, следовательно, нахождения частных масштабов длин во внутренних точках изображаемой области могут быть использованы вариационный метод Ритца, метод сеток, метод построения гармонической функции, наилучшим образом у д о вл е тв о р я ю щ и й граничным условиям, способ наименьших квадратов.

Наиболее удобным и эффективным, особенно при карто­ графировании территорий со сложными очертаниями, я в л я ­ ется последний способ.

Воспользуемся решением уравнения Лапласа в виде (297) и представим с учетом (296) ф ор м у л у для оп ределен и я натурального логарифма частного масштаба длин в точках рассматриваемой проекции в виде:

-для асимметричного относительно среднего меридиана варианта проекции

масштаба длин, определяемых по формуле (300) или (301) для нескольких точек контура, число которых больше числа определяемых коэффициентов.

Определив постоянные коэффициенты, можно вычислить значения частных масштабов длин во внутренних точках изображаемой области, т.е. решить первую часть задачи.

Вторую часть задачи решим с помощью дифф еренциаль ­

где /гг, п. - постоянные коэффициенты.

Для их вычисления продифференцируем выражения (305):

к к

кк

, а определяемыми - постоянные коэффициенты тр пг

Решив эту систему по способу наименьших квадратов, найдем искомые коэффициенты.

Теперь легко вычислить по формулам (305) прямоуголь­ ные координаты и по формулам (300) или (301) частные масштабы длин и другие характеристики в точках вариантов проекции.

П о л у ч е н н ы е п р о е к ц и и я в л я ю т с я н е п о с р е д с т в е н н ы м о тображ ением поверхности эллипсоида на плоскость и, согласно вы п о л н ен н ы м и с с л е д о в а н и я м многих у ч ен ы х (Д.А.Граве, Н.А.Урмаева, В.В.Каврайского и др.), обеспечи­ вает минимальные искажения длин в пределах изображаемой тер р и т о р и и и лучш ее их р асп р ед ел ен и е, м инимальную среднюю кривизну изображения геодезической линии по сравнению с любыми другими равноугольными проекциями.

Некоторым неудобством данного способа является то, что для получения коэффициентов т., п. в целях вычисления прямоугольных координат этой проекции по (305) в каждом конкретном случае необходимо составлять и решать систему

вида (309). Однако, при картографировании средних и малых по площади территорий можно эти коэффициенты получить по замкнутым формулам (Л.М.Бугаевский, С.Б.Мусрепов, 1990г.)

территории с симметричными контурами все коэффициенты

Ь, = 0).

Для создания карт крупных областей, особенно сильно в ы т я н у т ы х по ш и р о т е , в р я д е с л у ч а е в ж е л а т е л ь н о использовать проекцию Чебышева, выраженную в аналити­

получил вариант проекции, когда вся земная поверхность изображается в одном эллипсе с отношением полуосей 1:2.

Аналогично рассмотренному можно получить проекцию Чебышева для изображения полушарий, а также сферичес­

1962 г.). Определенный интерес вызывает проекция Чебышева, представляемая уравнением

удовлетворяющая граничному условию

1

c h <7 или X = + я .

Для определения прямоугольных координат проекции из (311) можно записать