Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

Рис. 1.17. Географические (à), прямоугольные (á) координаты точек и прямоугольная координатная сетка (â)

ми, называют параллелью, а с одинаковыми долготами — меридианом.

Если для составления карты на большую территорию строят географическую сетку меридианов и параллелей, то для сост˝авления планов и карт в инженерной геодезии чаще всего исполь˝зуют

систему прямоугольных координат (ðèñ. 1.17, á). Положение точки

определяют относительно осей прямоугольных координат: а˝бс-

öèññ õõ и ординат óó. Система прямоугольных координат в геоде-

зии повернута относительно системы прямоугольных коорд˝инат,

принятой в математике, на 90°, после чего повернута около ос˝и

абсцисс на 180° (зеркальное изображение). При таком располож˝е-

нии осей углы в геодезии для ориентирования линий (дирекц˝ионные углы) отсчитывают от вертикальной оси по ходу часовой˝ стрелки, тогда как углы в тригонометрии отсчитывают от го˝ризон-

тальной оси против хода часовой стрелки. Благодаря этому ˝формулы тригонометрии и аналитической геометрии полностью˝ при-

41

менимы в геодезии. В связи с этим четверти системы координ˝ат в

геодезии пронумерованы по ходу часовой стрелки (см. рис. 1.17, á). Положение каждой точки определяется абсциссой õ и ординатой ó, знаки которых зависят от четверти, в которой находится точка. Эта зависимости приведена ниже:

Для небольших участков местности система прямоугольных˝ координат может иметь начало в любом месте. В государственн˝ой системе координат за ось ординат принимают линию экватор˝а, за

ось абсцисс — направление осевого меридиана.

На бумаге через определенные расстояния проводят линии, п˝а- раллельные осям координат (через 1, 0,5 км и т. д.), составляющи˝е

прямоугольную сетку (рис. 1.17, â). Эта сетка нужна как для составления плана (нанесения точек по координатам), так и дл˝я оп-

ределения координат точек по плану.

Многие карты, кроме географической, имеют прямоугольную

сетку. Существуют формулы для перевода географических ко˝ординат в прямоугольные и обратно.

Положение точки по высоте (в третьем измерении) характери˝- зуют третьей координатой — высотой. Высоты подписывают на

планах и картах или выражают условными обозначениями.

1.16. ОРИЕНТИРОВАНИЕ КАРТЫ ПО БУССОЛИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЗИМУТОВ И ДИРЕКЦИОННЫХ УГЛОВ ДЛЯ ЛИНИЙ НА КАРТЕ

Для большинства территорий земной поверхности карты (пла˝- ны) составляют на нескольких листах, причем число листов в˝ зависимости от площади и масштаба может быть очень большим.˝ Лист карты обычно представляет собой трапецию, основания˝ми которой являются отрезки параллелей, а боковыми сторонам˝и — отрезки меридианов. Юго-западная часть трапеции, вершина ˝которой (точка Â) имеет северную широту 55°10′ и восточную долготу 36°15′, показана на рисунке 1.18, à.

Линия ÑÂ представляет направление географического мериди-

ана. Другие линии, проведенные сверху вниз (например, ED), ÿâ-

ляются линиями прямоугольной координатной сетки, паралл˝ель-

ными осевому меридиану (оси абсцисс). По расположению этих˝ линий относительно меридианов, сравнивая рисунки 1.16 и

1.18, à, видим, что осевой меридиан находится восточнее этого листа карты (осевой меридиан и меридиан ÑÂ в Северном полушарии должны сходиться к северу), а угол γ между линиями ÑÂ è ED — отрицательное сближение меридианов.

42

Рис. 1.18. Схемы ориентирования карты по буссоли (à), определения склонения магнитной стрелки и сближения меридианов (á), вычисления дирекционного угла по магнитному азимуту (â)

При ориентировании карты по буссоли нужно иметь в виду, что два противоположных ребра ab è ef (ñì. ðèñ. 1.18, à) коробки

(квадратной или прямоугольной) буссоли параллельны нуле˝вому

диаметру кольца, поэтому одно из этих ребер (ab) прикладывают к

меридиану ÑÂ. Если склонение магнитной стрелки равно нулю, то надо вращать карту до тех пор, пока нулевые штрихи кольца б˝уссоли окажутся против концов магнитной стрелки. Если склонение не равно нулю, а, например, равно +10° (восточное), то карту вра˝- щают до тех пор, пока северный конец магнитной стрелки ока˝-

жется против штриха с надписью 10° к востоку от нуля.

Если буссоль круглая, то ее накладывают на линию ÑÂ òàê, ÷òî-

бы нулевой диаметр располагался над этой линией.

Направление линии на карте, т. е. ее азимут или дирекцион-

ный угол, определяют при помощи геодезического транспорт˝и-

ра, отличающегося от ученического большим размером. Радиу˝с его обычно около 12 см. Для определения дирекционного угла˝

линии KL (ñì. ðèñ. 1.18, à) надо при помощи транспортира измерить на карте угол αKL. Если известно сближение меридианов в точке Ê, то географический азимут можно вычислить согласно формуле (1.13)

ÀKL = αKL + γK.

43

Для измерения азимута по карте надо через точку Ê провести

линию, параллельную ближайшему меридиану, воспользовавш˝ись делениями минут на рамке (в данном случае можно воспользо˝- ваться и линией ÑÂ), после чего при помощи транспортира изме-

ðèòü óãîë ÀKL.

Чтобы вычислить магнитный азимут Àì линии KL, надо знать склонение магнитной стрелки; тогда в соответствии с форму˝лой

(1.11)

Àì = Àã – δ.

На картах под нижней рамкой часто приводят схематическое˝

изображение склонения магнитной стрелки и сближения мер˝идианов (рис. 1.18, á).

З а д а ч а. Вычислить значение румба r линии ON (ðèñ. 1.18, â) посредством дирекционного угла, если известен магнитный румб этой лин˝ии ЮВ: r¢ = ЮВ:56°15¢, склонение магнитной стрелки d = +8°30¢ и сближение меридианов

g= –2°15¢.

Ðå ø å í è å.

1.Магнитный азимут линии ON Àì = 180° – 56°15² = 123°45¢ [согласно формулам (1.15)].

2.Географический азимут Àã = 123°45¢ + 8°30¢ = 132°15¢ [согласно формуле

(1.11)].

3.Дирекционный угол a = 132°15¢ – (–2°15¢) = 134°30¢ [согласно формуле

(1.13)].

4.Значение румба r = 180° – 134°30¢ = 45°30¢, а направление линии ЮВ:45°30¢ [согласно формулам (1.15)].

Приведенную задачу можно просто и наглядно решить соглас˝но рисунку 1.18, â.

Так как известен магнитный румб, то через начальную точку˝Î линии ON íàäî

провести направление магнитного меридиана, обозначив ег˝о стрелкой, и линию ON в направлении ЮВ под углом 56°15¢ к меридиану. Далее, через точку Î провести направление географического меридиана. Так как склон˝ение магнитной стрелки положительное (восточное), то северное направлен˝ие магнитного меридиана будет отклонено от северного направления географи˝ческого меридиана к

востоку, а значит, северное направление географического м˝еридиана проводят от северного направления магнитного меридиана с отклонени˝ем к западу на 8°30¢ и обозначают звездочкой.

Далее, через точку Î проводят линию, параллельную осевому меридиану. Так как сближение меридианов отрицательное, то точка Î находится к западу от осевого меридиана, а следовательно, осевой меридиан будет ра˝сположен к востоку от точки Î. Для Северного полушария, в котором находится территория˝ России, осевой и другие географические меридианы будут сходитьс˝я к северу, поэтому северное направление линии, параллельной осевому меридиан˝у, проведенное через

точку Î, будет отклоняться от направления географического мерид˝иана к западу под углом 2°15¢. Относительно этой линии и линии ON определим искомый румб.

Как видно на рисунке 1.18, â, название его ЮВ сохраняется, а значение будет равно 56°15¢ – 8°30¢ – 2°15¢ = 45°30¢.

1.17.ПРИРАЩЕНИЯ КООРДИНАТ. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

При привязке границ землепользований к геодезическим пу˝нктам, вычислительной обработке результатов измерений на м˝естно-

сти, связанной с составлением плана землепользования, при˝ про-

44

ектировании участков и других объектов, подготовке к пере˝несе-

нию проектов в натуру возникает необходимость вычислять˝ координаты и приращения координат точек местности, решать пря˝- мую и обратную геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача состоит в том, что по известным

(исходным) координатам начального пункта À (õÀ è óÀ) линии À (рис. 1.19), дирекционному углу этой линии αÀ и ее горизонталь-

ному проложению sAB вычисляют координаты конечной точки

 (õ è óÂ) этой линии, т. е. известны õÀ, óÀ, αÀÂ, sAB, надо вычис-

ëèòü õÂ, óÂ. Наиболее простой случай, когда линия ÀÂ расположе-

на в первой четверти системы прямоугольных координат и им˝еет северо-восточное направление, а дирекционный угол линии р˝авен значению румба, тогда

Здесь разности координат конечной Â и начальной À точек ли-

íèè ÀÂ называют приращениями координат этой линии. Приращениями координат линии называют ортогональные про-

екции горизонтального проложения этой линии на оси коорд˝и- нат. Их обычно обозначают õ è ó, поэтому равенства (1.17) пе-

репишем в виде

Они читаются так: координата конечной точки линии равна

сумме координаты начальной точки и приращения между ними˝

[сравните это с выражением, относящимся к формуле (1.5)]. Приращения координат могут быть

вычислены по дирекционному углу линии и ее горизонтальному проложению, являющемуся гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором катеты (приращения координат) получают по формулам:

45

1.3. Знаки приращений координат

Подставив выражения (1.19) в формулы (1.18), получим форму-

лы для решения прямой геодезической задачи:

Обратная геодезическая задача состоит в том, что по известным (исходным) координатам конечных пунктов линии ÀÂ (ñì.

рис. 1.19) вычисляют дирекционный угол и горизонтальное про˝- ложение этой линии, т. е. известны õÀ, óÀ, õÂ, óÂ, надо найти αÀ è

sAB.

По катетам прямоугольного треугольника (приращениям коо˝р-

динат) õÀÂ = õÂ – õÀ è óÀÂ = óÂ – óÀ можно вычислить дирекцион-

íûé óãîë

Здесь особое внимание обращают на знаки разностей (прира˝- щений) координат. Если требуется вычислить дирекционный ˝угол

αÀÂ, т. е. в направлении с точки À на точку Â, то, вычисляя разности, следует из координат конечной точки (õ è óÂ) вычесть коор-

динаты начальной точки (õÀ è óÀ). Эти знаки, согласно таблице

1.3, определяют название румба, а следовательно, и значение д˝и- рекционного угла. Если требуется вычислить дирекционный˝ угол αÂÀ, то это можно сделать по формуле

tg αÂÀ = (óÀ – óÂ)/(õÀ – õÂ).

Горизонтальное проложение sAB, согласно выражениям (1.19),

вычислим по формулам

Совпадение результатов, вычисленных по этим формулам, кон˝- тролирует вычисление s, которое должно всегда получаться положительным, и α, но не контролирует вычисление разностей коор-

динат. Поэтому их надо вычислять с особым вниманием.

46

Эту же задачу можно решить в обратной последовательности˝,

т. е. сначала вычислить sAB по теореме Пифагора:

=+

àзатем дирекционный угол по двум формулам для контроля, с˝о-

гласно выражениям (1.22):

sin αÀ = (ó – óÀ)/sAB; cos αÀ = (x – xÀ)/sAB.

1.18. ПРИВЯЗКА ТОЧКИ И ЛИНИИ К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПУНКТАМ

Помимо привязки границ землепользований к геодезически˝м

пунктам1 эту прямую геодезическую задачу решают при съемке и перенесении проекта в натуру полярным способом. Она состо˝ит в

вычислении координат точки 1 (рис. 1.20) и дирекционного угла линии 1—2 по известным (исходным) координатам точки Â, дирекционному углу линии ÀÂ, горизонтальным углам β è β1 è ãîðè-

зонтальному проложению линии

1Геодезический пункт — пункт геодезической сети, отмече˝нный на местности заложенным в землю центром и возведенным над ним наружным˝ знаком. Координаты центра пункта указаны в геодезических каталогах.

47

Измерение магнитного азимута по буссоли с введением поправки

за склонение магнитной стрелки и сближение меридианов. Эт˝от способ очень приближенный из-за неточного определения ма˝г- нитного азимута. Его применяют для составления плана на н˝е- большой участок местности. В этом случае иногда магнитный˝

азимут одной из линии на плане принимают за дирекционный угол.

Передача исходного дирекционного угла линии между двумя геодезическими пунктами À è Â (см. рис. 1.20), закрепленными (от-

меченными) на местности и имеющими координаты, на линию

1—2, дирекционный угол которой нужно определить. Измерения, связанные с передачей дирекционного угла на линию и к˝о- ординат на точку, называют привязкой их к пунктам геодезиче-

ñêîé ñåòè.

Рассмотрим последний способ. Если исходный дирекционный˝ угол αÀ линии À не известен, а известны только координаты то-

÷åê À è Â, то его вычисляют путем решения обратной геодезиче- ской задачи по формуле (1.21). Для вычисления дирекционного

óãëà α12 линии 1—2 на местности измеряют горизонтальные углы β при точке  è β1 при точке 1. Эти углы расположены справа по

ходу и называются правыми. Óãîë β связывает (примыкает) исходную сторону (линию) À со следующей линией Â1 и называется

примычным.

Для получения дирекционного угла αÂ1 воспользуемся тем, что

он не изменяется на всех точках линии. Поэтому исходный ди˝рек-

ционный угол αÀ из точки À перенесем в точку  (см. рис. 1.20), тогда

αÂ1 = αÀ – 180° – βÂ.

Теперь аналогично можно вычислить и дирекционный угол α12

линии 1—2:

α12 = αÂ1 + 180° – β1.

Две последние формулы отличаются одна от другой только зн˝а- ками перед 180°. Но –180° от +180° отличается на 360°, между тем известно, что целый период в 360° всегда можно к значению угл˝а

прибавить или исключить. Поэтому в этих двух формулах мож˝но

написать ±180°. Практически же удобнее принимать +180° и

пользоваться формулами:

которые читаются следующим образом: дирекционный угол последующей линии равен дирекционному углу предыдущей лин˝ии плюс 180° минус правый угол между этими линиями.

48

Если на местности измерены левые углы (например, вместо

правого β1 измерен левый λ1), то, подставив β1 = 360° – λ1 в выражения (1.23), получим

α12 = αÂ1 + 180° – (360° – λ1),

èëè

т. е. дирекционный угол последующей линии равен сумме дир˝ек-

ционного угла предыдущей линии и левого угла между этими ˝линиями минус 180°.

Пользуясь формулами (1.23) и (1.24), можно последовательно вычислить дирекционные углы большого числа линий, имея из˝-

меренные горизонтальные углы между ними.

Аналогично, последовательно пользуясь формулами (1.20),

можно вычислить координаты точки 1, затем точки 2 è ò. ä., çíàÿ

координаты исходной точки Â и измерив на местности линии DB1, D12, углы наклона этих линий и вычислив горизонтальные проло˝- жения sB1, s12 по формуле (1.1) с контролем по формуле (1.2).

Так, координаты точки 1 можно получить по формулам (1.20):

x1 = õ + sB1 cos αB1, y1 = y + sB1 sin αB1,

а точки 2 (если это необходимо) — по формулам:

x2 = õ1 + s12 cos α12, ó2 = ó1 + s12 sin α12.

Зная высоту исходной точки Â, получив из измерений на местности горизонтальные проложения линий sB1 è s12 и углы наклона линий местности νÂ1, ν12, можно последовательно вычислить высоты точек в соответствии с формулой (1.5):

Í1 = ÍÂ + hB1 = HB + sB1 tg νB1,

Í2 = Í1 + h12 = H1 + s12 tg ν12.

1.19.ПОНЯТИЕ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ

ÈИХ ТОЧНОСТИ. ПРАВИЛА СОСТАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ДОКУМЕНТОВ

Геодезия изучает форму и размеры поверхности Земли путем˝

измерений на местности углов и расстояний (линий) с помо-

щью специальных приборов. Эти измерения называют геодези˝-

ческими.

Точками местности являются вершины углов, в которых устанавливают угломерный прибор, а также начальные и конечные˝ точки линий, между которыми проводят измерения. По коорди˝-

49

натам этих точек составляют планы местности, инженерные п˝ро-

екты, которые переносят в натуру (на местность). В точках ил˝и между ними проверяют правильные измерения углов и линий при полевом контроле. Поэтому, чтобы воспользоваться этим˝и точками в дальнейшем, их закрепляют (обозначают) на местно-

сти различными знаками в зависимости от условий местности, назначения геодезических измерений, их точности, требова˝ний к

сохранности в течение полевого сезона или на многолетний˝ период.

Такими знаками могут быть деревянные колья или металличе˝-

ские стержни длиной 20…30 см, которые забивают вровень с зем˝- лей или оставляют на поверхности земли не более 2 см. Для бы˝строго разыскания знака вокруг кола выкапывают канавку в ви˝де

треугольника, квадрата или кольца диаметром 0,5…1 м и ширино˝й

0,1…0,2 м. Кол имеет круглое или квадратное сечение, центр кото˝- рого в верхнем срезе кола представляет вершину угла, над к˝оторой

устанавливают угломерный прибор и которая служит начало˝м или концом измеряемой линии. Для обозначения номера или назва˝-

ния точки рядом с колом иногда забивают второй кол — стор˝ожок, на возвышающейся части которого (0,1 м) подписывают номер

или название точки.

При необходимости сохранить обозначение точки на более

длительное время вместо кола или металлического стержня˝ в землю вкапывают отрезок металлической, гончарной, асбест˝оце-

ментной трубы или железобетонного столба длиной 1…1,5 м на

глубину 0,6…1,0 м. Вокруг знака вырывают канавку на штык лопаты, землю из канавы насыпают около знака в виде кургана (рис. 1.21, à), имеющего форму усеченного конуса, высотой

0,2…0,4 м и диаметром нижнего основания до 2 м. Для более точ-

ного обозначения точки на верхнем срезе столба выбивают д˝ве

взаимно перпендикулярные черты, пересечение которых слу˝жит вершиной измеряемого угла, началом или концом измеряемой˝ линии.

Поворотные точки границ землепользований, которые часто используют для измерений углов и линии между ними, обычно за˝- крепляют долговременными межевыми знаками. Они представляют собой железобетонные монолиты квадратного сечения то˝лщи-

ной не менее 10 см (с утолщением в нижней части) и длиной 1,2…

1,5 м, их закапывают в землю на глубину 0,8…1 м. Межевые знаки

окапывают кольцевыми канавами с возведением курганов вы˝со-

той до 0,4 м и диаметром нижнего основания 2,5 м. В верхней ча-

сти знака, возвышающейся над курганом, краской или теснен˝ием изображают номер межевого знака, обращенный в сторону сле˝дующей поворотной точки границы землепользования.

В качестве межевых знаков нередко используют каменные столбы, отрезки железных труб толщиной не менее 5 см и асбе˝с-

тоцементных — толщиной не менее 10 см, углового железа, ре˝ль-

50