Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

ней части этой горы, — 215, второй — 210, третьей — 205, четвер-

той — 200 м (эта горизонталь утолщена и ее высота подписана˝ в двух местах).

При выборе высоты сечения рельефа учитывают:

масштаб плана или карты (чем крупнее масштаб, тем меньше

высота сечения рельефа); характер рельефа местности (для горной местности высота ˝се-

чения рельефа больше, чем для равнинной); требуемую точность и детальность, определяемые хозяйствен-

но-техническими соображениями (чем точнее и детальнее тр˝ебу-

ется изобразить рельеф, тем меньше должна быть высота его˝ сече- ния).

Высота сечения рельефа, обычно применяемая при съемках,

приведена ниже:

Если отдельные детали рельефа, находясь между горизонтал˝я-

ми, не отображаются при выбранной высоте сечения, то в этих˝ местах проводят полугоризонтали прерывистыми линиями (см.

ðèñ. 1.11, á), а иногда и четвертьгоризонтали, т. е. линии, проходящие через точки с одинаковыми высотами, кратными полови˝не

и четверти высоты сечения рельефа.

1.12. УКЛОН ЛИНИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСОТ ТОЧЕК, ЛЕЖАЩИХ МЕЖДУ ГОРИЗОНТАЛЯМИ

При проектировании каналов, дорог, направлений движения

тракторных агрегатов на пашне, изучении эрозии почв опред˝еля-

ют уклоны линий местности. Уклоном i линии называют отноше-

ние превышения h между двумя точками к горизонтальному про-

ложению s между ними, т. е.

Исходя из формулы (1.4) и рисунка 1.3, á уклон линии — это тангенс угла наклона, поэтому

Уклон линии в зависимости от знака превышения может быть положительным или отрицательным. Уклон линии, превышение˝ и угол наклона, определенные в одном и том же направлении, им˝е- ют один и тот же знак.

31

Рис. 1.13. Графики заложений, выраженные через уклон i и угол наклона ν

Ï ð è ì å ð: h = +3,58 ì, s = 84,7 ì, i = tg ν = +3,58/84,7 = +0,0423; ν = 2°25′. Уклон часто выражают в тысячных долях единицы, в данном сл˝учаеi = +42 тысячных, или i = +4,23 %.

Уклон линии между точками, лежащими на соседних горизонталях, равен отношению высоты сечения рельефа к расстояни˝ю между этими точками, определенному по плану. Уклон линии

между этими точками можно быстро и просто определить граф˝и-

чески при помощи графика заложений1 (рис. 1.13), который изображают на крупномасштабных картах.

Графики заложений дают возможность определить уклон i (в тысячных долях или в процентах) или угол наклона ν (в граду-

сах). Графики строят так. Для интересующих уклонов или угло˝в наклона (табл. 1.2) при принятой высоте сечения рельефа вычи˝с-

ляют горизонтальные проложения по формулам

s= h/i è s = h/tg ν = hctg ν.

1.2.Данные для построения графиков заложений при hñ = 2,5 ì

1Заложением называют горизонтальное проложение между двумя последовательными (соседними) горизонталями по заданному направл˝ению.Заложением ската называют горизонтальное проложение между двумя последовательными горизонталями по нормальному (перпендикулярному) направле˝нию к горизонталям.

32

Затем на вертикальной линии откладывают произвольные

(преимущественно равные) отрезки и против их концов подпи˝сы-

вают значения уклонов или углов наклона (см. рис. 1.13). От полу˝- ченных точек на вертикальной линии по перпендикулярам к н˝ей откладывают значения горизонтальных положений в масшта˝бе

плана (карты) и через их конечные точки проводят линию. При˝

пользовании графиком заложений расстояние между точкам˝и на соседних горизонталях (где требуется определить уклон) б˝ерут в

раствор циркуля-измерителя и прикладывают его к номограм˝ме так, чтобы одна ножка была на вертикальной линии, а другая ˝— на

кривой по перпендикуляру к вертикальной линии, после чего˝ против ножки циркуля измерителя отсчитывают уклон или уг˝ол

наклона, интерполируя тысячные доли уклона или доли граду˝са на глаз. По расстоянию, отмеченному пунктиром (см. рис. 1.13),

определяют уклон, который равен 23 тысячным, или угол накло-˝ на, равный 1,3°.

Следует иметь в виду, что график заложений пригоден для ра˝-

боты на плане (карте) лишь того масштаба и такой высоты сеч˝е- ния рельефа, для которых он построен.

Пользуясь уклоном, можно решить задачу, предусмотренную формулой (1.5), т. е. вычислить высоту точки Â, зная высоту точки

À, уклон линии и горизонтальное проложение между этими точ˝ками. Согласно формуле (1.7)

т. е. превышение равно произведению уклона и горизонтальн˝ого

проложения. Тогда формулу (1.5) можно записать так:

Можно определить высоту точки Â, лежащей между горизонталями (рис. 1.14, à) или между точками с известными высотами.

Для этого через точку Â проводят прямую ÀÑ как кратчайшее рас-

стояние между горизонталями и по плану определяют рассто˝яния

ÀÑ è ÀÂ = s. Решение задачи сводится к вычислению h в формуле

(1.10). На профиле местности (рис. 1.14, á) h = Â′Â, а высота сече-

ния рельефа hñ = Ñ′Ñ. Из подобия треугольников ÀÑ′Ñ è ÀÂ′Â следует, что

h/s = hc/AC.

Íî hc/AC = i, поэтому h = is. Теперь по формуле (1.10) определим искомую высоту точки Â.

33

Рис. 1.14. Определение высоты точки, лежащей между горизонтал˝ями

Ï ð è ì å ð: hc = 2,5 ì, ÍÀ = 127,5 ì, ÀÑ = 137 ì, s = 94 м. Тогда ÍÂ = = 127,5 + (2,5/137) · 94 = 127,5 + 0,0182 · 94 = 127,5 + 1,7 = 129,2 ì.

Такое определение положения точки называют линейным интерполированием.

Если профиль местности между соседними горизонталями вы˝- ражается не прямой линией, а выпуклой или вогнутой, т. е. ук˝лон между точками À è Ñ неоднороден, то при решении задачи опи-

санным способом высоту точки  (ðèñ. 1.14, â) определяют приближенно с погрешностью, равной отрезку ¢². Если точка лежит между горизонталями с одинаковыми высотами, то устано˝- вить высоту указанным способом невозможно. Можно лишь ска˝- зать, что высота точки  (ðèñ. 1.14, ã) больше 126 и меньше 127 м. Поэтому высоты характерных точек рельефа на седловинах, вершинах гор, дне котловин и т. д. получают из измерений на мес˝тности и выписывают на планы и карты.

1.13. ОРИЕНТИРОВАНИЕ ЛИНИЙ МЕСТНОСТИ. АЗИМУТЫ

При проектировочных работах требуется знать расположен˝ие

объектов по отношению к странам света. Карты и планы соста˝вляют так, что верхние их края являются северными. Для этого пр˝и измерениях на местности линии ориентируют по направлени˝ю

34

Рис. 1.15. Схемы ориентирования линий (à, á) и определения горизонтального угла (â) по азимутам

географического меридиана, т. е. линии пересечения плоскости географического меридиана1 с горизонтальной плоскостью.

Направление астрономического меридиана на местности оп˝ределяют из астрономических наблюдений или при помощи гироскопических˝ приборов — гиротеодолита, гирокомпаса.

При составлении плана на небольшой участок местности раз˝-

решается линии ориентировать по направлению магнитного меридиана, т. е. по линии, получающейся в пересечении вертикальной плоскости, проходящей через полюсы магнитной стрелки ком˝паса (буссоли), с горизонтальной плоскостью.

Направления географического (обозначенного звездочкой˝ на рис. 1.15) и магнитного (обозначенного на рис. 1.15 стрелкой) меридианов, как правило, не совпадают. Горизонтальный уго˝л, образованный направлениями этих меридианов, называют склонением магнитной стрелки δ (ñì. ðèñ. 1.15, à). Склонение может быть восточным, когда северное направление магнитного мери-

диана отклоняется от направления географического мерид˝иана к

востоку, и западным — в случае отклонения северного направления магнитного меридиана к западу. Восточное склонение им˝еет

1Географический меридиан — обобщенное понятие об астрон˝омическом и геодезическом меридианах.

Плоскость астрономического меридиана проходит через направление отвесной линии в данной точке и параллельна оси вращения Земли.

Плоскость, проходящую через нормаль к поверхности земног˝о эллипсоида в данной точке и его малую ось, называют плоскостью геодезического меридиана.

Плоскость, проходящая через данную точку и ось вращения З˝емли, называют плоскостью геоцентрического меридиана.

35

знак «плюс», западное — «минус». Склонение изменяется с изме-

нением места и времени (на территории России оно колеблет˝ся от 30° в северной оконечности Новой Земли до –14° в районе Верхоянска). В европейской части России восточное склоне˝ние колеблется от 0° (в районе Калининграда) до 20° (в районе На-

ðüÿí-Ìàðà).

На одном и том же месте земной поверхности в течение веков˝

происходит изменение склонения магнитной стрелки в пред˝елах десятков градусов, при этом полный период колебания склон˝ения

совершается в течение более четырех веков. Такое изменени˝е

склонения называют вековым.

Годовое изменение склонения в Европе в среднем близко к 5′,

причем западное склонение уменьшается, восточное увелич˝ивает-

ся. Наблюдают также суточное изменение склонения, при кото-

ром амплитуда колебания в средних широтах России доходит до 15′, летом она больше, чем зимой; в северных широтах больше,

чем в южных.

Склонение также изменяется под влиянием магнитных возму˝щений и бурь, связанных с полярными сияниями, солнечными пятнами. Показ˝ания магнитной стрелки сильно изменяются с изменением места наблюдения˝ в районах залегания магнитных руд. Такие отступления от среднего значения скл˝онения магнитной стрелки называют магнитными аномалиями.

Не следует работать с магнитной стрелкой в местах скоплен˝ия железа, вблизи полотна железной дороги и электролинии высокого напряже˝ния.

Все указанные изменения склонения магнитной стрелки, и ос˝обенно суточное склонение, не дают возможности точно определить направле˝ние магнитного меридиана, поэтому при отсутствии аномалий его находят с точностью до 15′.

Для ориентирования линий местности относительно меридиа-

на служит азимут — горизонтальный угол, который отсчитывают от северного направления меридиана по ходу часовой стрел˝ки до

направления данной линии.

Если линию ориентируют относительно географического ме˝- ридиана, то азимут называют географическим Аã (ñì. ðèñ. 1.15, à), если относительно магнитного меридиана, то магнитным Аì. Разность между географическим и магнитным азимутами равна с˝кло-

нению магнитной стрелки, т. е.

Азимуты могут иметь значения от 0 до 360° (см. рис. 1.15, á).

По азимутам сторон угла (см. рис. 1.15, â) можно вычислить го-

ризонтальный угол β как разность азимутов правой и левой сто-

ðîí:

36

Для определения магнитных азимутов используют буссоль — прибор в виде круглой коробки, в центре которой на шпиль насажена магни˝тная стрелка. Отсчет азимутов производят против концов магнитной стрелки по к˝ольцу буссоли, на котором нанесены градусные или полуградусные деления. Де˝ления на азимутальном кольце подписаны от 0 до 360° против хода часовой стрелки˝. При определении азимута нулевой диаметр кольца буссоли совмещают с на˝правлением линии, азимут которой определяют; нуль должен быть обращен к наб˝людаемому предмету, отсчет азимута производят по северному концу магнитно˝й стрелки.

1.14. ДИРЕКЦИОННЫЕ УГЛЫ. СБЛИЖЕНИЕ МЕРИДИАНОВ. РУМБЫ

После измерений на местности приступают к вычислительно˝й обработке результатов измерений, в частности вычисляют а˝зиму-

ты отдельных линий. Вычисления азимутов связаны с труднос˝тями, так как для прямой линии на земной поверхности в разных˝ ее

Рис. 1.16. Азимут прямой линии в разных ее частях (à), прямой и обратный азимуты (á), сближение меридианов, румбы, дирекционные углы (â)

37

точках азимут изменяется из-за непараллельности меридианов

(ðèñ. 1.16, à)1.

По этой причине прямой и обратный азимуты одной и той же линии различаются между собой не ровно на 180° (рис. 1.16, á). Поэтому для упрощения вычислений направлений линий испо˝льзуют дирекционный угол. В связи с этим на территории, для ко˝то-

рой составляют карты и планы, один из географических мери˝диа-

нов принимают за осевой — совмещают его с осью абсцисс си˝стемы прямоугольных координат, и относительно него ориентир˝уют

все линии местности.

Для проведения геодезических работ в государственной си˝сте-

ме координат на территории страны принимают несколько ос˝евых

меридианов. Например, в России осевыми принято считать ге˝о- графические меридианы, долготы которых кратны 3° (21, 24, 27,

30, 33° и т. д.) или кратны 3, но не кратны 6° (21, 27, 33° и т. д.).

Для работы на небольших участках местности за осевой разр˝е-

шается принимать произвольный географический или магни˝тный

меридиан, который пересекает территорию участка или нахо˝дится вблизи него.

В отличие от азимута дирекционный угол отсчитывают не от

направления меридиана, проходящего через данную точку (н˝ачало

линии), а от линии, параллельной осевому меридиану (оси абс˝-

цисс), поэтому дирекционным называют угол, отсчитываемый от северного направления линии, параллельной осевому мерид˝иану,

по часовой стрелке до направления данной линии2.

Дирекционные углы, как и азимуты, могут иметь значения от 0

до 360°, но они не изменяются для прямой линии во всех ее точ-

ках. Разность между азимутом À и дирекционным углом α называ-

Сближение меридианов можно также определить как горизон˝- тальный угол между направлением меридиана в данной точке˝ и

линией, параллельной осевому меридиану.

Согласно формуле (1.13) и рисунку 1.16, â сближение меридианов будет положительным для точек местности, находящихся˝ к востоку от осевого меридиана, и отрицательным — к западу˝ от осевого меридиана.

Таким образом, зная азимут линии и сближение меридианов в˝

данной точке, можно вычислить дирекционный угол этой лини˝и. Абсолютное значение сближения меридианов увеличивается˝ с удалением от осевого меридиана и с увеличением широты местно-

1Направления географических меридианов параллельны межд˝у собой лишь для точек на экваторе.

2Дирекционный угол целесообразнее называть осевым азиму˝том по аналогии с географическим и магнитным азимутами, отсчитываемыми от˝ направлений географического и магнитного меридианов.

38

сти. Для астрономических меридианов сближение определяю˝т по

формуле1

ãäå Δλ — разность долгот между меридианом, проходящим через да˝нную точку, и осевым меридианом; ϕ — широта точки местности.

Например, для Москвы j » 56° и sin 56° » 0,8, каждой минуте

разности долгот соответствует примерно 1 км расстояния. С˝ледо-

вательно, на каждый километр расстояния от осевого мериди˝анаg изменяется на 0,8¢.

Сближение меридианов равно нулю, если точка находится на осевом меридиане (на оси абсцисс) или на экваторе. Для лини˝и

LN (ñì. ðèñ. 1.16, â), начало которой лежит на осевом меридиане, азимут равен дирекционному углу.

Иногда для удобства и контроля вычислений и графических построений дирекционные углы перевычисляют в румбы r, èçìå-

няющиеся от 9 до 90°. Румбом называют горизонтальный угол, от- считываемый от ближайшего направления линии, параллельн˝ой

осевому меридиану, до направления данной линии2. Чтобы на-

правление линии было вполне определенным, значению румба˝ приписывают название стран света: СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ. Например, румб СЗ:48°19¢ означает, что направление линии лежит между на-

правлениями на север и запад и составляет с линией, паралл˝ель-

ной осевому меридиану, угол 48°19¢. Соотношения между дирекционными углами и румбами на рисунке 1.16, â следующие:

Такие же соотношения имеем между географическими азиму-

тами и румбами, обозначенными на рисунке 1.16, â соответствен-

но буквами À è r¢, и магнитными азимутами и румбами, отсчиты-

ваемыми от ближайшего направления соответствующего геогра-

фического или магнитного меридиана.

1Эта формула выведена в разделе 11.5, в котором геодезические˝ долготы и широты обозначены соответственно L è Â.

2Целесообразно этот румб называть осевым.

39

Удобство и простота пользования дирекционным углом при

геодезических вычислениях в том, что прямой дирекционный˝ угол линии отличается от обратного на 180° (прямой и обратный рум˝бы равны по величине и отличаются один от другого противопол˝ожными названиями — СВ и ЮЗ, СЗ и ЮВ) и величина дирекцион-

ного угла прямой линии в любой ее точке есть величина пост˝оянная.

Прямые и обратные географические азимуты и румбы, прямые и обратные дирекционные углы и румбы линий BD è EF, лежащих по обе стороны от осевого меридиана (оси абсцисс), и сближе˝ния

меридианов для точек Â, D, E, F в северном полушарии показаны на рисунке 1.16, â.

Åñëè ÀBD è ÀEF — прямые азимуты линий BD è EF, òî ÀDB è ÀFE — обратные азимуты этих линий. Если aBD è aEF — прямые ди-

рекционные углы, то aDB è aFE — обратные; обозначение прямых и

обратных географических румбов r¢ и румбов r также показаны на рисунке 1.16, â. Соотношения между прямыми и обратными дирекционными углами, азимутами и румбами можно выразить

формулами:

1.15. СИСТЕМЫ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ И ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ

Положения точек земной поверхности на карте и плане опре-

деляют координатами. Наиболее часто пользуются географи˝че- скими и прямоугольными координатами.

Географическими координатами (ðèñ. 1.17, à) являются широта и

долгота точки. Географическая (астрономическая) широта j точки

Ì — угол между направлением отвесной линии, проходящей че˝рез эту точку, и плоскостью экватора. Географическая (астрономиче- ская) долгота l — двугранный угол, заключенный между плоско-

стью меридиана, проходящего через эту точку, и плоскостью˝ на- чального меридиана.

Угол, составленный нормалью к поверхности эллипсоида и пл˝оскостью экватора, называют геодезической широтой, а двугранный угол, заключенный между плоскостями геодезического и начального меридианов, — ˝геодезической долготой.

Широты бывают северные и южные, изменяются от 0 (на экваторе) до 90° (на земных полюсах). Долготы бывают восточные˝

и западные, изменяются от 0 (на начальном — Гринвичском ме˝- ридиане) до 180° (на тихоокеанской ветви Гринвичского мерид˝и- ана). Линию, проходящую через точки с одинаковыми широта-

40