Материал первого семестра

Ф Э У Т 1 - 1 , 2 , 8 ( о с е н ь 2 0 0 7 )

Л е к т о р Л и с е е в И . А .

1 . П Р Е Д Е Л Ы

С в о й с т в а л и н е й н о с т и п р е д е л ь н о г о п е р е х о д а .

Предел суммы или разности … равен сумме или разности пределов …

Постоянный множитель можно вынести за знак предела.

П р е д е л п р о и з в е д е н и я и д р о б и

Предел произведения равен произведению пределов …

Предел отношения равен отношению пределов …

П р е д е л с т е п е н и и к о р н я

l i m a ( x )

l i m

( x )

l i m ( ( x ) p ) [ l i m ( x ) ] p ;

a x

; l i m n

( x ) n

l i m ( x ) .

x

x

x

x

x

l i m

1

(

1

) ,

l i m

1

0 (

1

0 )

,

l i m

sin x

1 , l i m ( 1

1

) x e .

x 0 x

0

x x

x 0

x

x

x

Другая запись второго замечательного предела

l i m

( 1

1

) x

e

x

x

Некоторые "неопределѐнности" :

Обратите внимание, в этих формулах единица и

нули – это не константы,

так обозначены переменные величины, имеющие пределом единицу или ноль.

y = х р ,

п о к а з а т е л ь н ы е : y = a x ,

л о г а р и ф м и ч е с к и е :

y = l o g a x

р > 1

р = 1

0 < р < 1

a > 1

a < 1

a > 1

a < 1

р < 0

k > 0

y

k

К о р е н ь к в а д р а т н ы й :

.

k < 0

x

/2

А р к т а н г е н с : y = a r c t g x .

Обратно пропорциональные функции

- /2

При стремлении аргумента х

к бесконечности многочлен P n ( x ) также стремится к бесконечности.

.

О с н о в н о е л о г а р и ф м и ч е с к о е т о ж д е с т в о :

A = e l n A

l i m a( x ) p( x ) l i m e ln a( x ) p( x )

l i m p( x ) ln a( x )

l i m e p( x ) ln a( x ) e x

...

x

x

x

Т а б л и ц а э к в и в а л е н т н о с т е й

Переменные величины р ( х ) и ( х )

называются эквивалентными при х →

, если

.

s i n ~

t g ~

a r c s i n ~

a r c t g ~

1 cos ~

a 2

e

– 1 ~

c – 1 ~ … …

l n ( 1 + ) ~

2

( 1 + ) p

1

1 ~ ...

– 1 ~ p

В частности:

1 1 ~ ...

1

2 .

Т О Ч К И Р А З Р Ы В А .

Функция y = f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если :

1) (первое определение непрерывности)

если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке,

т.е.

. Рис.

2) (второе определение непрерывности)

если в этой точке бесконечно малому приращению функции соответст-

вует бесконечно малое приращение аргумента, т.е.

.

Рис

Пусть функция

f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности

точки х 0 . При этом в са-

мой точке х 0 функция может быть определена, но может быть и не определена.

Точка х 0 называется

т о ч к о й р а з р ы в а функции f ( x) , если не выполняется условие

l i m

f ( x ) f ( x0 ) .

Это условие

x x0

может не выполняться по следующим причинам: 1) функция f (x ) не определена в точке х 0 ,

2) предел

функции f ( x ) в точке

х 0 не равен значению функции в этой точке ,

3)

хотя бы один из односторонних

пределов функции f ( x )

в точке

х 0 не существует или бесконечен.

Точка разрыва

х 0 называется т о ч к о й р а з р ы в а п е р в о г о р о д а , если в этой точке пределы

функции слева и справа существуют и конечны.

Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка разры-

ва называется т о ч к о й р а з р ы в а в т о р о г о р о д а .

Признак точки разрыва. Если функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точки

х 0 , а в самой точке х 0

– не определена,

то х 0 является точкой разрыва.

(Этот признак формулирует достаточное условие точки разрыва)

Рисунки …

1)

2)

– пределы f ( x ) в точке раз-

Л е к т о р Л и с е е в И . А .

М И И Г А и К ,

Ф Э У Т 1 - 1 , 2 , 8 ,

о с е н ь 2 0 0 7 г .

3 . Т Е Х Н И К А Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Я

Определение производной для функции

f ( x )

в т о ч к е

х :

y = f ( x )

f ' ( x ) l i m

f ( x x ) f ( x )

f ( x + x )

y

y

x

f ( x )

x 0

x

Г е о м е т р и ч е с к и й

смысл производной:

y = f ( x + x ) – f ( x )

f ( x ) = k = t g .

Здесь y – это приращение функции

x

у = f(x) в точке х,

соответствую-

x

x + x

щее приращению аргумента x.

Т а б л и ц а п р о и з в о д н ы х

Н е к о т о р ы е п р а в и л а д и ф ф е -

для "простых" функций

для "сложных" функций

р е н ц и р о в а н и я

c – п о с т о я н н а я ,

c = 0 .

А р г у м е н т x – н е з а в и -

А р г у м е н т с а м я в л я е т с я

с и м а я п е р е м е н н а я .

ф у н к ц и е й u = u ( x ) .

u = u ( x ) , v = v ( x ) .

x = 1

u 1 ( е с л и

u x )

С в о й с т в а л и н е й н о с т и .

( x p ) = p x p – 1

( u p ) = p u p – 1 u

[ u v ] = u v

[ с u ] = с u ; [

u

]'

1

u'

1

1

1

1

c

c

( x )' x 2

( u )' u 2 u

[ с + u ] = u ,

т . к . с = 0 .

1

1

П р о и з в о д н а я п р о и з в е д е н и я и

(

x )'

( u )'

u'

ч а с т н о г о ф у н к ц и й .

2

x

2

u

( u v ) = u v + v u

( e x ) = e x

( e u ) = e u u

u

u' v v' u

(

)'

( a x ) = a x l n a

( a u ) = a u l n a u

v

v 2

П р а в и л о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я

( ln x )'

1

( ln u )'

1

u'

с л о ж н о й ф у н к ц и и .

x

u

Если у = у ( u ) ,

u =

u ( x ) , то

1

1

y'x y'u u'x .

( log a x )'

( log a u )'

u

u'

x ln a

ln a

( s i n x )

( s i n u )

= c o s u u

Вычисление производной показатель-

= c o s x

но-степенной функции

y = ( x ) p ( x ) .

( c o s x )

= – s i n x

( c o s u )

= – s i n u u

Первый способ (с использованием ос-

новного логарифмического тождества):

1

1

( tg x )'

( tg u )'

u'

y = e

l n …

,

y ' = …

cos 2 x

cos

2 u

Второй способ (с предварительным ло-

1

( ctg u )'

1

u'

гарифмированием):