Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Материал первого семестра

.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
460.38 Кб
Скачать

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии

Ка фе др а в ы сш ей м ат е м ат и к и

Высшая математика (1 семестр)

Р а з д е л ы

Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование.

 

О сн о в н ы е фо р м ул ы п о т ем ам

стр.

 

 

1

Пределы

2

2

Точки разрыва (рисунков пока нет)

3

3

Техника дифференцирования

4

4

Приложения производной (в том числе, исследование функций)

5

5

Первообразные, подведение под знак дифференциала

6

6

Некоторые правила и формулы интегрирования (кое-что ещѐ надо вписать)

7

7

Приложения интегралов (формулы пока не вписаны)

7

8

Неберущиеся интегралы

8

9

Некоторые формулы тригонометрии (формулы пока не вписаны)

8

10

Касательная, нормаль

8

 

Составитель

Л и с е е в И. А.

П о с л е д н е е р е д а к т и р о в а н и е :

0 7 - 1 0 - 0 9 .

Ф Э У Т 1 - 1 , 2 , 8 ( о с е н ь 2 0 0 7 )

 

 

 

 

Л е к т о р Л и с е е в И . А .

 

 

1 . П Р Е Д Е Л Ы

 

 

 

 

 

С в о й с т в а л и н е й н о с т и п р е д е л ь н о г о п е р е х о д а .

 

 

 

 

Предел суммы или разности … равен сумме или разности пределов …

 

 

 

 

 

Постоянный множитель можно вынести за знак предела.

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е д е л п р о и з в е д е н и я и д р о б и

 

 

 

 

Предел произведения равен произведению пределов …

Предел отношения равен отношению пределов …

 

 

П р е д е л с т е п е н и и к о р н я

 

 

 

 

 

 

l i m a ( x )

l i m

( x )

 

 

 

 

l i m ( ( x ) p ) [ l i m ( x ) ] p ;

a x

; l i m n

( x ) n

l i m ( x ) .

x

x

x

 

x

 

 

x

(Знак предела можно вносить под знак непрерывной функции)

– эта формула "работает" при вычислении пределов показательно степен-

ных функций путем сведения их ко второму замечательному пределу.

Т е о р е м а о п р о и з в е д е н и и б е с к о н е ч н о м а л о й в е л и ч и н ы н а о г р а н и ч е н н у ю .

Произведение бесконечно малой величины на ограниченную есть величина бесконечно малая.

Н е к о т о р ы е п р е д е л ы

l i m

1

 

(

1

 

 

) ,

 

l i m

1

 

0 (

1

 

0 )

,

l i m

sin x

 

1 , l i m ( 1

1

) x e .

 

 

 

 

 

 

 

x 0 x

0

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

x 0

x

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другая запись второго замечательного предела

l i m

( 1

 

1

 

) x

e

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Некоторые "неопределѐнности" :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратите внимание, в этих формулах единица и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нули – это не константы,

так обозначены переменные величины, имеющие пределом единицу или ноль.

 

 

П о в е д е н и е н е к о т о р ы х ф у н к ц и й .

С т е п е н н ы е :

y = х р ,

 

п о к а з а т е л ь н ы е : y = a x ,

л о г а р и ф м и ч е с к и е :

y = l o g a x

р > 1

р = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < р < 1

 

 

 

 

 

 

 

 

a > 1

 

 

 

a < 1

 

 

 

 

 

a > 1

a < 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k > 0

 

y

k

 

К о р е н ь к в а д р а т н ы й :

.

 

 

 

 

k < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А р к т а н г е н с : y = a r c t g x .

 

 

 

 

Обратно пропорциональные функции

 

 

 

 

 

- /2

 

 

 

 

 

 

При стремлении аргумента х

к бесконечности многочлен P n ( x ) также стремится к бесконечности.

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О с н о в н о е л о г а р и ф м и ч е с к о е т о ж д е с т в о :

A = e l n A

 

 

Это тождество, а также свойство непрерывности показательной функции (подведение знака предела под знак показательной функции) используется при вычислении пределов показательно степенных функций:

l i m a( x ) p( x ) l i m e ln a( x ) p( x )

 

l i m p( x ) ln a( x )

 

 

 

l i m e p( x ) ln a( x ) e x

...

 

 

x

x

 

x

 

 

 

 

Т а б л и ц а э к в и в а л е н т н о с т е й

 

 

 

Переменные величины р ( х ) и ( х )

называются эквивалентными при х →

, если

 

.

 

Понятие эквивалентности применяют для сравнения как бесконечно малых величин, так и для сравнения бесконечно больших величин. При вычислении пределов используют следующее практическое правило: предел произведения или отно-

шения каких-то величин не изменится, если эти величины заменять величинами, им эквивалентными.

- 2 -

При стремлении аргумента к бесконечности (при х ) многочлен

Р n ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + a n – 2 x n – 2 + . . . + a 1 x + a 0

эквивалентен своему старшему члену: Р n ( x ) ~ a n x n .

Эта эквивалентность сохраняется, даже когда n – не целое, но положительное.

Ещѐ некоторые примеры эквивалентности бесконечно больших при х :

, n (x +c ) ~ n x . Эти эквивалентности всѐ время используются при исследовании рядов на сходимость. Это у нас будет на втором курсе.

Эквивалентность некоторых бесконечно малых при стремлении аргумента 0 .

s i n ~

 

t g ~

 

a r c s i n ~

 

a r c t g ~

1 cos ~

 

a 2

 

 

e

– 1 ~

 

c – 1 ~ … …

l n ( 1 + ) ~

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 + ) p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 ~ ...

 

– 1 ~ p

 

 

В частности:

1 1 ~ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многоточиями здесь я хотел показать, что эти формулы не надо зазубривать, а надо уметь писать их на основе предыдущих формул.

 

 

 

 

2 .

Т О Ч К И Р А З Р Ы В А .

 

 

 

 

Функция y = f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если :

 

 

 

1) (первое определение непрерывности)

если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке,

т.е.

. Рис.

 

 

 

 

 

 

2) (второе определение непрерывности)

если в этой точке бесконечно малому приращению функции соответст-

вует бесконечно малое приращение аргумента, т.е.

.

 

Рис

 

Пусть функция

f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности

точки х 0 . При этом в са-

мой точке х 0 функция может быть определена, но может быть и не определена.

Точка х 0 называется

т о ч к о й р а з р ы в а функции f ( x) , если не выполняется условие

l i m

f ( x ) f ( x0 ) .

Это условие

 

 

 

 

 

x x0

 

 

может не выполняться по следующим причинам: 1) функция f (x ) не определена в точке х 0 ,

2) предел

функции f ( x ) в точке

х 0 не равен значению функции в этой точке ,

3)

хотя бы один из односторонних

пределов функции f ( x )

в точке

х 0 не существует или бесконечен.

 

 

 

 

Точка разрыва

х 0 называется т о ч к о й р а з р ы в а п е р в о г о р о д а , если в этой точке пределы

функции слева и справа существуют и конечны.

 

 

 

 

Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка разры-

ва называется т о ч к о й р а з р ы в а в т о р о г о р о д а .

 

 

 

 

Признак точки разрыва. Если функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точки

х 0 , а в самой точке х 0

– не определена,

то х 0 является точкой разрыва.

(Этот признак формулирует достаточное условие точки разрыва)

Рисунки

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

2)

 

 

 

– пределы f ( x ) в точке раз-

 

 

 

 

 

рыва слева и справа существуют и конечны.

3) 4) – хотя бы один из односторонних пределов функции f ( x) в точке разрыва не существует или бесконечен.

- 3 -

Л е к т о р Л и с е е в И . А .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М И И Г А и К ,

 

Ф Э У Т 1 - 1 , 2 , 8 ,

о с е н ь 2 0 0 7 г .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 . Т Е Х Н И К А Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение производной для функции

f ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в т о ч к е

 

х :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ' ( x ) l i m

 

 

 

 

f ( x x ) f ( x )

f ( x + x )

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г е о м е т р и ч е с к и й

 

смысл производной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f ( x + x ) – f ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x ) = k = t g .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь y – это приращение функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = f(x) в точке х,

соответствую-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щее приращению аргумента x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а п р о и з в о д н ы х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н е к о т о р ы е п р а в и л а д и ф ф е -

для "простых" функций

для "сложных" функций

 

 

 

 

 

р е н ц и р о в а н и я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c – п о с т о я н н а я ,

c = 0 .

А р г у м е н т x – н е з а в и -

 

А р г у м е н т с а м я в л я е т с я

 

 

 

с и м а я п е р е м е н н а я .

 

ф у н к ц и е й u = u ( x ) .

 

 

 

u = u ( x ) , v = v ( x ) .

 

 

 

 

 

x = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 1 ( е с л и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x )

 

 

 

С в о й с т в а л и н е й н о с т и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x p ) = p x p – 1

 

( u p ) = p u p – 1 u

 

 

 

[ u v ] = u v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ с u ] = с u ; [

u

]'

1

u'

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x )' x 2

 

 

( u )' u 2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ с + u ] = u ,

т . к . с = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р о и з в о д н а я п р о и з в е д е н и я и

(

 

x )'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( u )'

 

 

 

 

 

 

u'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч а с т н о г о ф у н к ц и й .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( u v ) = u v + v u

 

 

 

( e x ) = e x

 

 

( e u ) = e u u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

u' v v' u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

)'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( a x ) = a x l n a

 

( a u ) = a u l n a u

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

v 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р а в и л о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я

 

( ln x )'

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ln u )'

 

 

 

 

1

u'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с л о ж н о й ф у н к ц и и .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

Если у = у ( u ) ,

u =

u ( x ) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y'x y'u u'x .

 

 

 

 

 

 

 

 

( log a x )'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( log a u )'

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

u'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( s i n x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( s i n u )

= c o s u u

 

Вычисление производной показатель-

= c o s x

 

 

но-степенной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ( x ) p ( x ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

( c o s x )

 

= – s i n x

 

( c o s u )

= – s i n u u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый способ (с использованием ос-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

новного логарифмического тождества):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( tg x )'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( tg u )'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u'

 

 

 

y = e

l n …

,

 

y ' = …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй способ (с предварительным ло-

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ctg u )'

 

 

 

 

1

 

 

 

 

u'

 

гарифмированием):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ctg x )'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l n y =

l n ( x ) p ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arc sin x)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arc sin u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u'

 

Вычисление производной функции,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заданной неявно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( x , y ) = 0 ;

 

 

 

 

y ' = ?

(arc cos x)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(arc cos u)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u'

 

 

Дифференцируем имеющееся соотноше-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ние, помня, что

у = у ( х )

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная функции, заданной пара-

( arc tg x )'

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( arc tg u )'

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

u'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

метрически …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x 2

 

1

 

u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x( t )

y x/

 

 

y

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y ( t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x t/

 

 

 

( arc ctg x )'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( arc ctg u )'

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

u'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

 

1

 

u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д и ф ф е р е н ц и а л :

если y =

y ( x ) ,

 

то

 

 

 

 

 

 

 

d y = y ' dx ,

 

 

 

 

где d x =

x .

 

 

 

 

 

 

При малых х

 

имеет место приближѐнное равенство:

 

 

d y y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4 -

4 . П Р И Л О Ж Е Н И Я П Р О И З В О Д Н О Й

 

 

 

 

 

 

 

 

Форм ул а л ин еаризации :

f ( x ) f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x – x 0 )

 

(при х , близких к х 0 )

Уравнение касательной y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x – x 0 ) . Уравнение нормали …

y f(x0 )

1

( x x0 )

 

f'(x0 )

 

 

 

 

 

Алгебраический смысл дифференциала. Дифференциал приближѐнно равен приращению функции. d y = y ' x y .

Замечание. Приближѐнные равенства для функции (формула линеаризации) и для приращения функции ( у

d y )

будут тем точнее, чем ближе наша функция к линейной функции в рассматриваемой точке х 0 и чем ближе х

к х 0

(чем меньше х = х х 0 ).

Геометрический смысл дифференцируемости.

 

Дифференцируемость функции означает существование касательной к графику этой функции.

 

0

 

 

 

l i m

( x )

l i m

' ( x )

Правил о Л опитал я (для раскрытия неопределѐнностей

0

и

 

):

p( x )

p' ( x ) .

x

x

Форм ул а Т ейл ора (главная формула дифференциального исчисления):

 

 

 

 

f ( x )

f ( x )

f ' ( x0 )

( x

x

 

) ... ...

 

 

f

( n )( x0 )

( x

x ) n

R

 

( x , x

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1!

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Маклорена …

 

 

 

 

f ( x ) f ( 0 )

 

f ' ( 0 )

 

 

x

 

... ...

 

f ( n )( 0 )

x n R

 

( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МаклоренаФормулы функцийконкретныхдля

 

 

 

 

 

 

e x 1 x

x 2

 

 

 

 

x 3

 

...

 

..

 

x n

 

 

R ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 !

 

 

3 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n !

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l n ( 1 x ) x

x 2

 

 

 

 

x 3

 

...

.. ( 1 ) n 1

 

x n

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

1

 

x 2

 

 

 

 

x 4

 

...

 

 

 

 

.. ( 1 ) n

 

x 2n

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

4!

 

 

 

 

 

 

( 2 n )!

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s i n x x

x 3

 

 

x 5

 

...

 

 

 

 

.. ( 1 ) n

 

x 2n 1

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 !

 

5 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 n

1 )!

 

 

 

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Признак точки разрыва. Если в некоторой проколотой окрестности точки х = с функция f ( x )

определена, а в самой точке х = с не определена, то

 

х

= с

точка разрыва функции

f ( x ) .

 

А с и м п т о т ы .

Вертикальные асимптоты могут быть "в точках" разрыва и на границе области опре-

деления функции. Невертикальные асимптоты для графика функции у = f ( x )

описываются уравнением

 

 

у = k x +

b ,

 

где

k

 

 

 

l i m

 

 

f ( x )

 

 

 

и

b

 

l i m

[ f ( x ) k x ] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Невертикальные асимптоты могут быть правыми (при х

 

→ + ∞ )

и левыми (при х

→ – ∞ ). Если k

или b равно

или не существует,

то не существует и асимптоты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П е р в а я п р о и з в о д н а я :

возрастание, убывание, точки экстремума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x )

>

0

f ( x ) возрастает;

 

 

 

 

f ( x )

<

0

 

 

 

 

 

f ( x ) убывает.

 

В т о р а я п р о и з в о д н а я :

выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x ) < 0

 

 

график выпуклый;

 

 

 

 

 

 

f ( x ) >

0

 

 

график вогнутый

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П л а н и с с л е д о в а н и я ф у н к ц и й …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Найти

.о б л а с т ь о п р е д е л е н и я

функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Выявить (если они есть)

 

.з а к о н о м е р н о с т и

 

функции (и графика):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) функция четная (график симметричен относительно оси O у )

или

функция нечетная (график симметри-

чен относительно начала координат),

или функция общего вида (нет симметрий, как в предыдущих случаях),

2)функция периодическая или непериодическая.

3.Вычисляя .п р е д е л ы , исследовать точки разрыва, найти асимптоты. И уже следует начать (пока схематично)

строить график. Можно ещѐ посмотреть, как ведѐт себя функция на границе области определения и на бесконечности (при х

)

4. Вычислить .п е р в у ю п р о и з в о д н у ю . Найти критические точки функции (где первая производная равна

нулю или терпит разрыв). Указать интервалы возрастания и убывания функции. Указать точки максимума и минимума.

5.

Вычислить

.в т о р у ю п р о и з в о д н у ю

. Найти точки, где вторая производная равна нулю или терпит раз-

рыв.

Указать участки выпуклости и вогнутости графика.

Указать точки перегиба.

6.

Вычислить координаты

.х а р а к т е р н ы х т о ч е к г р а ф и к а

(пересечения с осями координат, а также точ-

ки, где первая и вторая производная равны нулю или терпят разрыв).

7.

Аккуратно и, по возможности, точно нарисовать

.г р а ф и к

функции, отметив на нѐм характерные точки.

Чтобы получить более точный график можно "посчитать" и нанести на график ещѐ несколько точек.

- 5 -

Л е к т о р Л и с е е в И . А .

 

 

 

М И И Г А и К , Ф Э У Т 1 - 1 , 2 , 8 , о с е н ь 2 0 0 7 г .

5 .

П Е Р В О О Б Р А З Н Ы Е

 

 

 

 

 

 

 

П е р в о о б р а з н о й д л я ф у н к ц и и

f ( x ) называется такая функция F ( x ) , производная

от которой равна функции f ( x ) : F ( x ) = f ( x ) . Если у функции f ( x ) есть хоть одна первообраз-

ная, то у неѐ есть бесчисленное множество первообразных.

Если F ( x ) – одна из первообразных для функции f ( x ) , то всѐ множество еѐ первообраз-

ных описывается выражением:

F ( x ) + С ,

где С – произвольная постоянная.

Всѐ множество первообразных F ( x ) + С для функции f ( x ) называется н е о п р е д е л ѐ н - н ы м и н т е г р а л о м для этой функции и обозначается f ( x ) dx . Таким образом,

f ( x ) dx F( x ) C .

При вычислении неопределѐнных интегралов (первообразных) постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов.

Иногда символом f ( x ) dx обозначают только какую-либо одну первообразную для функции f ( x ) .

И мы в таблице первообразных указываем только одну первообразную, а не всѐ их множество.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а п е р в о о б р а з н ы х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подведения под знак дифференциала

Для "простых" функций (аргумент

 

Для "сложных" функций (аргумент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

– независимая переменная).

 

 

 

 

сам является функцией)

 

u = u ( x ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x =

 

d ( x c )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d u u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x = – d ( – x )

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

dx

 

x p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

p

 

du

 

 

 

 

u p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

1

d ( k x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x k d (

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln |x|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln |u|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x dx e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e u du e u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x d x

d x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a u du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x d x = d e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

 

 

 

d ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x dx

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

cos u du

sin u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c o s x d x = d s i n x

 

 

 

 

sin x dx

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

sin u du

cos u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s i n x d x

 

 

 

= – d c o s x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

tg u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

ctg u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

d ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

 

 

 

 

 

arc sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d u

 

 

 

 

 

 

 

arc sin u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

d arc sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

arctg u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

d arc tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

arc sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d u

 

 

 

 

arc sin

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совершенно одинаковые,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

a 2

 

 

a arc tg a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2

a 2

 

 

a arc tg a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что для простых функций,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что для сложных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

u a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l n |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l n |

 

 

Этот факт называется свойством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

x 2 a

2

 

 

 

 

 

2 a

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

u 2 a

2

 

 

2 a

u a

 

 

 

 

инвариантности формул интег-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рирования.

 

 

 

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l n | x

x 2 |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l n | u

 

u 2 |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

u 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 6 -

6 . Н Е К О Т О Р Ы Е П Р А В И Л А И Ф О Р М У Л Ы И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Я

Свойства линейности для первообразных (для неопределѐнного интеграла) и для определѐнного интеграла.

Интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов от этих функций. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. И постоянный множитель можно вне-

сти под знак интеграла. (Во всяком случае, если этот постоянный множитель отличен от нуля)

Свойство аддитивности интеграла по области интегрирования ……

З а м е н а п е р е м е н н о й

2. Надо получить соотношение

4.

От исходного интеграла надо перейти

между дифференциалами:

к интегралу с новой переменной.

п р и и н т е г р и р о в а н и и .

d x = … . d t

или d t

= … d x .

5.

Теперь надо вычислить интеграл с

1. Надо иметь соотношение

3 . Если мы вычисляем опреде-

новой переменной.

 

 

между старой и новой пере-

 

 

лѐнный интеграл, то надо пере-

6. Если мы вычисляем неопределѐнный

менными:

 

 

считать пределы изменения пе-

интеграл, то надо вернуться к старой

x = x ( t )

или t = t ( x ) .

ременной.

 

 

 

переменной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Ф о р м у л а и н т е г р и р о в а н и я

u

dv u v v du

 

b

 

b

b

 

 

 

 

u dv u v

v du

 

 

 

п о ч а с т я м :

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

l i m

n

 

 

О п р е д е л е н и е о п р е д е л ѐ н н о г о

 

f ( x ) d x

f ( xi ) xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и н т е г р а л а

 

 

a

 

n

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

все хi

0

 

 

 

Ф о р м ул а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

Ньютона – Лейбница

 

 

f ( x ) dx

F( x )

F( b ) F( a )

 

 

 

 

 

( г л а в н а я ф о р м у л а

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

и н т е г р а л ь н о г о и с ч и с л е н и я ) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Ф о р м у л а п р я м о у г о л ь н и к о в

f ( x ) d x f ( xi ) xi

 

 

Рисунок

 

 

 

a

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н е с о б с т в е н н ы е и н т е г р а л ы

 

опр

 

 

 

 

 

 

 

f ( x ) dx … … …

 

 

 

 

п о б е с к о н е ч н о м у п р о м е -

 

 

 

 

 

ж у т к у и н т е г р и р о в а н и я

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н е с о б с т в е н н ы е и н т е г р а л ы

 

b

опр

 

 

 

 

 

 

о т н е о г р а н и ч е н н ы х ф у н к ц и й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x ) dx … … …

 

 

 

 

( l i m f ( x ) )

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. При вычислении несобственных интегралов иногда используют следующие

краткие обозначения. Если f ( )

не определено,

то под записью

f ( ) понимают

l i m f ( x ) ,

где и

f ( ) могут быть конечными или бесконечными определѐнного знака.

 

x

При такой договорѐнности для несобственных интегралов тоже можно писать формулу Ньютона-Лейбница.

==== При вычислении интегралов часто приходится разбивать подынтегральную функцию на сумму двух (или нескольких) слагаемых. В простейшем случае почленного деления числителя на знаменатель "рабо-

тает" школьная формула

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении интеграла от рациональной дроби

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

надо прежде всего выделить в этой дроби целую часть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(если эта дробь – неправильная).

Здесь мы тоже подын-

неправ. рац. дробь

целая часть прав. рац. дробь

тегральную функцию разбиваем на сумму .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 . П Р И Л О Ж Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А

Вычисление площадей …

Вычисление длин дуг кривых ….

- 7 -

Вычисление объѐма тела по известным площадям его параллельных сечений …

8 . " Н Е Б Е Р У Щ И Е С Я " И Н Т Е Г Р А Л Ы

e x 2 d x ;

 

cos x

d x ;

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos x d x ;

 

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

9 . Н Е К О Т О Р Ы Е Ф О Р М У Л Ы Т Р И Г О Н О М Е Т Р И И .

 

 

Основное тригонометрическое тождество …

 

 

 

Формулы двойного аргумента.

 

 

 

 

 

Формулы понижения степени …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразование произведений в сумму …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для универсальной тригонометрической подстановки

 

 

 

 

 

 

 

нужны формулы, выражающие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

co s x,

s in x , t g x

через тангенс половинного аргумента.

Я, правда, такие примеры двоечникам, да и троеч-

 

никам, не даю.

Более простых примеров им вполне хватает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 .

К А С А Т Е Л Ь Н А Я И Н О Р М А Л Ь

 

 

График функции может быть гладкой (плавной) кривой, а может иметь "изломы". Там, где график – гладкая кривая,

 

там в каждой точке графика можно провести касательную.

А в точке излома касательную провести нельзя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к а с а т е л ьн а я

 

Определение касательной к кривой.

Рассмотрим точки М и S

M

S

 

на кривой

L и секущую М S .

Пусть точка М фиксирована,

 

 

а точка

S

(по кривой p ) неограниченно приближается к точке М .

с е к у щ а я

p

 

 

К а с а т е л ь н о й к к р и в о й

p

в т о ч к е

М

 

 

называется

 

 

предельное положение секущей М S

при стремлении точки S

 

 

 

 

по кривой L

к точке М .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н о р м а л ь ю к к р и в о й в т о ч к е М называется прямая, перпендикулярная касательной к этой кривой в точке М .

П р я м а я н а п л о с к о с т и .

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом :

y = k x + b .

( k = t g – угловой коэффициент прямой)

 

н орм ал ь к а с а т е л ьн а я

к р и в а я

М

М ( x 0 , у 0 )

Уравнение прямой, проходящей через точку ( х 0 , у 0 ) , с угловым коэффициентом k :

y =

y 0 + k ( x – x 0 ) .

Уравнения касательной и нормали к графику функции

y

= f ( x ) в точке ( х 0 ,

у 0 ) ,

где у 0 = f (x 0 ) .

 

Ур. касательной: y = f (x 0 ) + f ' (x 0 ) (x – x 0 ).

Ур. нормали:

y f ( x0 )

 

1

 

( x x0

)

 

 

 

 

f ' ( x0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

== = От обычного задания функции

y = f (x ) легко перейти к параметрическому:

 

 

 

 

.

 

Вектор касательной к кривой

находится так :

.

Вектор нормали можно найти из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условия перпендикулярности . …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 8 -

 

 

T h e

E n d

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.