Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

С правой стороны плана иногда приводят таблицу координат˝

точек полигона.

Внизу под планом указывают масштаб, вычерчивают линейный˝ или поперечный масштаб, справа подписывают фамилии испол˝- нителя съемки и составителя плана, а слева фамилии приним˝ав-

ших и проверявших все полевые и камеральные документы по съемке и составлению плана с личными подписями всех этих ˝лиц.

Контрольные вопросы и задания

1. Для чего предназначена координатная сетка, как ее строят˝, контролируют построение и наносят точки по координатам? 2. Как наносят на˝ план элементы ситуации по результатам теодолитной съемки?

141

à ë à â à 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

∙

5.1.СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

Âзависимости от хозяйственного назначения участков и ко˝нтуров, их размеров, формы, наличия или отсутствия планов и кар˝т, естественноисторических условий местности площади опр˝еделя-

ют следующими способами.

А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Площади вычисляют по результатам измерений линий и углов на местности с применением

формул геометрии, тригонометрии и аналитической геометр˝ии. Например, при учете площадей, занятых строениями, усадьба˝ми,

пашней, посевами, при отводе мелких участков их разбивают˝ на простейшие геометрические фигуры, преимущественно треу˝голь-

ники, прямоугольники, реже трапеции и площади участков оп˝ре-

деляют как суммы площадей отдельных фигур, вычисляемых по˝ линейным элементам (высотам и основаниям) по общеизвестн˝ым формулам геометрии. При учете площадь пашни, посевов, убор-

ки урожая определяют по длине маршрута агрегата и ширине ˝его

захвата.

Площади больших участков, целых землепользований вычис-

ляют по результатам измерений линий и углов на местности ˝(при помощи формул тригонометрии) или по их функциям — прира-˝ щениям координат и координатам вершин полигона.

Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б. Площади вычисляют по ре-

зультатам измерений линий по плану (карте), когда участок, изоб-

раженный на плане, разбивают на простейшие геометрически˝е

фигуры, преимущественно на треугольники, реже на прямоуго˝ль-

ники и трапеции. В каждой фигуре на плане измеряют высоту и˝ основание, по которым вычисляют площадь. Сумма площадей фигур дает площадь участка. К графическому способу относя˝т определение площади при помощи палеток.

М е х а н и ч е с к и й с п о с о б. Площади определяют по плану (карте) при помощи специальных приборов — планиметров.

Все способы применяют для определения как малых, так и больших площадей при составлении проектов землеустройс˝тва и при учете земель.

Иногда способы определения площадей применяют комбини-

рованно. Например, часть линейных величин для вычисления

142

площадей определяют по плану, а часть — по результатам из˝мерений на местности. Нередко основную площадь участка, заклю˝ченную в теодолитный полигон, определяют аналитическим спос˝о- бом (по координатам вершин полигона), а площадь, выходящую˝ за пределы полигона и заключенную между линиями полигона˝ и

живого урочища (серединой ручья, берега реки), — графичес˝ким или механическим способом.

Наиболее точный — аналитический способ, так как на точно˝сть определения площади при этом способе влияют только погре˝шности измерений на местности, в то время как при графическом˝ и механическом способах помимо погрешностей измерений на˝ местности влияют погрешности составления плана, определения˝ площадей по плану и деформации бумаги. Однако аналитический способ требует измерений линий и углов по границам участк˝ов, больших вычислительных действий, зависящих от числа угло˝в. Вместе с этим его целесообразно применять, если площадь н˝адо получить с повышенной точностью и, не дожидаясь составлен˝ия плана.

Менее точен, но наиболее распространен механический способ, так как, пользуясь им, можно быстро и просто определить˝ по плану площадь участка любой формы.

Графический способ выгодно применять тогда, когда границ˝а участка — ломаная линия с небольшим числом поворотов.

В 1990-е годы разработаны устройства, позволяющие преобразовывать графическое изображение контуров ситуации на п˝ланах (картах) в цифровое в виде координат точек. Большинство пр˝е- образователей-цифрователей, например цифровой планиметр X- PLAN 360 d, имеют режимы измерений: точечный, когда определяют координаты только поворотных точек контура (или концо˝в

прямых линий), и непрерывный, когда отслеживают всю линию (границу участка) и координируют ее точки через определен˝ный интервал. Результаты измерений отображаются на жидкокри˝сталлическом дисплее и могут накапливаться в памяти, а встрое˝нный калькулятор позволяет производить различные операции н˝ад результатами измерений (вычислять площадь фигуры, длины ли˝- ний).

Кроме этих устройств применяют и электронные планиметры˝ зарубежного производства. Конструктивная особенность э˝тих планиметров — наличие жидкокристаллического 8-разрядно˝го цифрового дисплея с отображением результатов измерений˝ и единиц измерений (см2 èëè äþéì2). Начальный отсчет (есть клавиша

обнуления) и результат измерения автоматически высвечив˝ается на дисплее в процессе работы. Наличие памяти позволяет вы˝полнять накопительные измерения.

Ниже рассмотрено вычисление площади полигона по координатам, определение небольших площадей по плану при помощи˝

143

наиболее употребляемых палеток и определение площадей п˝о плану планиметром.

Применительно к конкретным случаям указанные способы оп˝- ределения площадей рассмотрены в учебном пособии «Геоде˝зи- ческие работы при землеустройстве».

5.2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОЛИГОНА ПО КООРДИНАТАМ ЕГО ВЕРШИН

Площадь полигона 1 2 3 4 5 (рис. 5.1), которую обозначим Ð,

можно представить как разность площадей фигур À 1 2 3 4 Â è À 1 5 4 Â, при этом площадь каждой из этих фигур может быть

представлена как сумма площадей трапеций с основаниями õ и высотами ó2 – ó1, ó3 – ó2 è ò. ä., ò. å.

В двух последних членах можно изменить знаки, и все выраже˝- ние записать так

В полученном выражении видна закономерность, заключающаяся в том, что удвоенная площадь полигона равна сумме

стольких произведений, сколько вершин имеет полигон, при этом в каждом произведении один сомножитель — сумма абсцисс двух соседних

точек с номерами k è k + 1, а другой

сомножитель — разность ординат этих

точек с номерами k + 1 è k. Ýòî äàåò

основание сокращенно написать

формулу для любого ï-угольника

144

ты вершин. Выведем лишь три наиболее известные формулы вы˝-

числения площади полигона по координатам его вершин. Для этого раскроем скобки в выражении (5.1)

потому что обе части этого равенства представляют сумму п˝роиз-

ведений абсциссы каждой точки на ординату этой же точки. Т˝огда

вместо формулы (5.2) получим

Теперь в формуле (5.3) можно провести замену

потому что обе части этого равенства представляют суммы п˝роиз-

ведений абсциссы каждой точки на ординату последующей то˝чки. Учитывая равенство (5.4), перепишем выражение (5.3)

или, вынося за скобки yk, получим

Следовательно, удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс предыдущей и по˝следующей точек.

Аналогично в выражении (5.3) можно провести замену

èс учетом равенства (5.6) переписать выражение (5.3) так:

=å + å

145

или, вынося за скобки xk, получим

ò. å. удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каж˝дой абсциссы на разность ординат последующей и предыдущей то˝чек.

Результаты вычислений по формулам (5.3), (5.5) и (5.7) взаим-

но контролируются.

Вычисления по формулам (5.5) и (5.7) можно прогнозировать. Для этого нужно раскрыть скобки и суммировать полученные˝ раз-

ности. Это легко показать на примере с пятиугольником

Для вычисления площадей по координатам составляют специ˝- альную таблицу, в которую записывают координаты точек пол˝иго-

на. В этом случае внимательно проверяют правильность запи˝санных координат, так как неправильные записи координат не в˝ыяв-

ляются применением контрольных формул.

Перед вычислением площади значения координат можно ок-

руглять до 0,1 м, а если площадь полигона более 200 га, то до 1 м,˝

это округление упрощает вычисления без заметного снижен˝ия точности.

Разности координат и координаты содержат десятые и сотые˝

доли метра, поэтому в произведениях получают четыре десят˝ич-

ных знака. Однако их не записывают, так как они неверные, а произведения округляют до целых квадратных метров.

Площади по координатам вычисляют при помощи электронных вычислительных машин по особым программам.

Площадь полигона, вычисленная по координатам вершин, полученным в таблице 3.1, равна 55,14 га.

Площадь, выходящую за пределы полигона, т. е. часть ее между линиями полигона и живым урочищем (см. рис. 2.23, à), опреде-

ляют как сумму площадей трапеций и треугольников, образов˝ан-

ных линией полигона и перпендикулярами, длины которых пол˝у- чены из измерений на местности и записаны в абрисе. Некото˝рые элементы треугольников определяют по плану. Площади отде˝льных треугольников вычисляют по известной формуле тригон˝омет-

ðèè 2Ð = absin β, т. е. удвоенная площадь треугольника равна про-

изведению двух его сторон на синус угла между ними. Указанная площадь, выходящая за пределы полигона (см.

ðèñ. 2.23, à), равна 0,87 га. Следовательно, площадь землепользования равна 56,01 га.

146

5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПАЛЕТКАМИ

Для определения на плане площадей небольших участков с

криволинейными контурами применяют прямолинейные и кри˝- волинейные палетки. К прямолинейным относят известные и наиболее распространенные квадратные и параллельные па˝летки.

Квадратная палетка представляет сеть взаимно перпендикулярных линий, проведенных через 1 мм на прозрачном целлул˝оиде, плексигласе, фотопленке, стекле или восковке (рис. 5.2, à).

Площадь фигуры вычисляют простым подсчетом клеток палет˝ки,

наложенной на фигуру. Доли клеток, рассекаемых контуром н˝а части, учитывают на глаз. Как видно на рисунке 5.2, à, площадь

контура занимает 58 клеток1. Для плана масштаба 1:10 000 площадь клетки со стороной 1 мм равна 10 × 10 = 100 ì2 = 0,01 ãà. Ñëå-

довательно, площадь контура равна 0,58 га.

Для упрощения подсчетов проводят утолщенные линии через˝

0,5 и 1 см, чтобы число клеток можно подсчитать сразу группам˝и (25 и 100 мм2).

Квадратной палеткой не рекомендуют определять площади, большие 2 см2 на плане.

Недостаток ее применения помимо того, что площади долей

клеток, рассекаемых контуром, приходится оценивать на гла˝з, состоит еще в том, что подсчет числа целых клеток нередко соп˝ро-

вождается грубыми ошибками.

Таких недостатков не наблюдается при определении площад˝ей

параллельной палеткой, представляющей собой листок прозрачного целлулоида, плексигласа или восковки, на котором нанес˝ены

параллельные линии, проведенные преимущественно через 2 ˝мм одна от другой (рис. 5.2, á)2.

Площадь контура этой палеткой вычисляют следующим обра-

зом. Накладывают ее на контур так, чтобы крайние точки à è b разместились посередине между параллельными линиями па˝летки. Таким образом, весь контур оказывается расчлененным п˝араллельными линиями на фигуры, близкие к трапециям с одинако˝- выми высотами, причем отрезки параллельных линий внутри к˝онтура являются средними линиями трапеций. Прерывистыми ли˝- ниями на рисунке 5.2, á показаны основания этих трапеций.

Сумма площадей трапеций, т. е. площадь контура,

Ð = cdh + efh + mnh + … + klh.

Так как все высоты трапеций равны, то

Ð = h(cd + ef + mn + … + kl).

1 Размеры клеток на рисунке 5.2, à увеличены примерно в 1,3 раза. 2Все размеры на рисунке 5.2, á увеличены примерно в 1,2 раза.

147

Hfpvths

Рис. 5.2. Определение площади контура квадратной (à) и параллельной (á ) палетками

Следовательно, чтобы получить площадь контура, нужно взят˝ь сумму средних линий, т. е. сумму отрезков параллельных пря˝мых,

проходящих внутри контура, и умножить на расстояние между˝ ними.

Для упрощения определения площади сумму средних линий по˝следовательно набирают в раствор циркуля: сначала берут отрезок cd, затем, не сжимая циркуля, совмещают левую его ножку с точкой f (ñì. ðèñ. 5.2, á). После этого, не сдвигая правую ножку циркуля с места, увеличивают раствор циркуля˝, установив левую ножку в точку å. Таким образом, в растворе циркуля получают отрезок, равны˝й cd + ef. Далее левую ножку циркуля устанавливают в точку ï, вследствие чего правая ножка встанет от точки ï на расстоянии cd + ef. После этого, не сдвигая правую ножку с места, раствор циркуля увеличивают, установив˝ левую ножку в точку ò, и т. д. Последним отрезом, набираемым в раствор циркуля, бу˝дет отрезокkl. Набранную в раствор циркуля сумму средних линий определя˝ют по масштабной линейке, и полученную длину умножают на расстояние h, соответствующее числу метров на местности.

Например, если масштаб плана 1:10 000, h = 20 м и сумма сред-

них линий равна 682 м, то площадь контура будет равна 13 640 м2, или 1,36 га. Чтобы не выполнять подобных вычислений, для нужного масштаба плана строят специальную шкалу, по которой от- считывают площадь контура, зная сумму средних линий. Расс˝чи- таем основание шкалы для масштаба 1:10 000. При расстоянии между параллельными линиями 2 мм и при основании шкалы 1 с˝м площадь будет равна 20 · 100 = 2000 м2 = 0,20 га. Следовательно,

каждому сантиметру шкалы будет соответствовать 0,20 га на м˝ест-

ности. Левое основание шкалы делят на 10 частей, как это дела˝ют

при построении линейного масштаба (см. рис. 5.2, á).

Основанию масштаба 1:25 000, равному 1 см, будет соответство-

вать площадь 1,25 га. Такое основание неудобно для определен˝ия площадей, поэтому следует рассчитать основание, которому˝ соответствует площадь 1 га. В этом случае длина основания, очев˝идно, будет равна 0,8 см. Левое основание шкалы также делят на 10 час˝- тей.

148

Для масштаба 1:5000 основание принимают 2 см, которое будет

соответствовать площади 0,1 га.

После того как сумма средних линий в раствор циркуля набр˝а- на, определяют площадь по шкале так же, как расстояния по ли˝- нейному масштабу. Палетку и шкалу обычно строит сам испол˝ни-

тель. Параллельной палеткой не следует определять площад˝и больше 10 см2 на плане.

К криволинейным относят гиперболические палетки, предст˝авляющие систему гиперболических кривых и применяющиеся для определен˝ия площадей простейших геометрических фигур. Эти палетки не находят заме˝тного распространения, так как при помощи их нельзя быстро определить площад˝ь участка с криволинейным контуром.

5.4. ПЛАНИМЕТРЫ

Планиметром называют механический прибор, который путем˝

обвода плоской фигуры любой формы определяет ее площадь. Они бывают самых разнообразных систем: от очень сложных д˝о

очень простых. Планиметры делят на линейные и полярные. К линейным относят планиметры, у которых все точки прибора во время обвода фигуры подвижны, а к полярным — у которых одна точ- ка (полюс) во время обвода фигуры неподвижна.

149

Наиболее распространен полярный планиметр (рис. 5.3, à), состоящий из двух рычагов: обводного 2 и полюсного 3, соединенных шарниром в точке 1.

Обводят фигуру обводным индексом 5, расположенным на конце обводного рычага. Обводным индексом служит либо кон˝ец

шпиля (см. рис. 5.3, à), либо точка на нижней поверхности стекла. Чтобы конец шпиля во время обвода не задевал за бумагу, его˝ высоту над бумагой регулируют опорным винтом 6. На конце полюсного рычага 3 планиметра расположен полюс (точка Î), который во время обвода укреплен на бумаге обводимой фигуры (игло˝й или грузом) и неподвижен. Результаты обвода (измерения пло˝щади) фигуры определяются вращением счетного ролика 7, который при обводе фигуры соприкасается с поверхностью бумаги. Дл˝я от- счетов результатов обводов на цилиндрической поверхнос˝ти счетного ролика нанесены деления планиметра (рис. 5.3, á).

Площадь обведенной фигуры

ãäå è — число делений, полученное в результате обводов фигуры, т. е. площадь обведенной фигуры, выраженная в делениях планиметра; ð — цена деления планиметра.

Делением планиметра называют 1:1000 окружности ободка счетного ролика, соприкасающегося с бумагой. Значение одного ˝деления τ зависит от диаметра d (ñì. ðèñ. 5.3, á) счетного ролика и мо-

жет быть представлено формулой τ = dπ/1000, в которой диаметр d обычно близок к 20 мм. Значение τ, вычисленное по этой формуле, близко к 0,06 мм — менее разрешающей способности глаза (0,1 мм). Поэтому деления по счетному ролику отсчитывают при˝

помощи верньера 8. Цилиндрическая поверхность счетного роли-

ка разделена на 100 частей, следовательно, каждая часть соде˝ржит

10 делений планиметра, отсчитываемых по верньеру.

Для учета числа оборотов счетного ролика счетный механиз˝м планиметра имеет циферблат 9 с указателем z, который вращается

при помощи бесконечного винта, находящегося на оси счетно˝го ролика. Если счетный ролик при обводе делает 10 оборотов, то˝

циферблат сделает один оборот. Следовательно, если один о˝борот счетного ролика соответствует 1000 делений планиметра, то од˝ин оборот циферблата соответствует 10 000 делений планиметра. П˝о- этому отсчет по счетному ролику состоит из четырех цифр. П˝ервую цифру — тысячи делений — отсчитывают по циферблату, вто-

рую и третью цифры — сотни и десятки делений — отсчитыв˝ают по штрихам на счетном ролике, четвертую — единицы делений — отсчитывают при помощи верньера по штриху, совпадающему с˝о

штрихом счетного ролика. Отсчет на рисунке 5.3, á равен 2783 делениям.

150