Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

Рис. 7.2. Погрешность ориентирования планшета из-за влияния ˝погрешностей центрирования планшета (à) и прикладывания ребра к точкам (á, â)

кипрегеля нижней поверхности линейки и приведения планш˝ета в горизонтальное положение на параллельность соответст˝вующих линий на планшете и на местности влияют погрешности центр˝и- рования планшета и прикладывания ребра линейки кипрегел˝я к двум точкам, по которым ориентируют планшет.

Рассмотрим влияние погрешностей центрирования на ориенти-

рование планшета. Пусть на планшете имеются две точки à è b

(рис. 7.2), по которым ориентируют планшет. При установке мен˝- зулы в точке À точки à è À не оказались на одной отвесной линии, т. е. планшет центрирован с погрешностью l (ðèñ. 7.2, à). Поэтому

при ориентировании на точку Â, когда ребро линейки кипрегеля прикладывают к точкам à è b, а планшет поворачивают так, чтобы

линия визирования проходила через точку Â, линия ab на планшете не будет параллельной линии ÀÂ = s местности, между ними

201

образуется горизонтальный угол δ, который называют погрешнос-

тью ориентирования планшета. Согласно рисунку 7.2, à можно написать (по теореме синусов)

Из формулы (7.1) следует, что, когда погрешность центрирова-

íèÿ l направлена вдоль линии ориентирования ÀÂ, а следовательно, θ = 0 èëè θ = 180°, погрешность ориентирования δ = 0. Ïî-

грешность ориентирования будет максимальной при θ = 90° (когда sin θ = 1), поэтому

Формулы (7.1) и (7.2) показывают, что погрешность ориентирования увеличивается с увеличением погрешности l центрирования и уменьшается с увеличением расстояния s между точками, по

которым ориентируют планшет. При мензульной съемке погре˝ш-

ность ориентирования, которую вызывает погрешность цент˝рирования, считают допустимой, если она не превышает 2′. Åñëè èçâå-

стно расстояние s, то можно вычислить допустимую погрешность центрирования по формуле

Например, при s = 500 м погрешность центрирования планшета не должна быть более

Теперь рассмотрим влияние погрешностей прикладывания ðåá-

ра линейки кипрегеля к точкам на планшете. При ориентиров˝а-

нии планшета ребро линейки стремятся приложить к центрам˝ на-

колов точек à è b (ñì. ðèñ. 7.2, à, á), фиксирующих на планшете

положение точек À è Â местности, однако при этом допускают

погрешность t, которую считают равной разрешающей способности глаза, т. е. 0,01 см. Если бы ребро линейки кипрегеля при ор˝и- ентировании планшета отошло от точек à è b на погрешность t в одну сторону (см. рис. 7.2, á), то линия ab на планшете была бы

202

параллельна линии ÀÂ местности и погрешность ориентирования

была бы равна нулю. Очевидно, наихудшим будет тот случай, ко˝г- да ребро линейки кипрегеля при прикладывании отойдет от ц˝ентров наколов à è b на величину t в разные стороны (рис. 7.2, â). В этом случае величина погрешности ориентирования будет равна˝ϕ.

Согласно рисунку 7.2, â получим ϕ/3438′ ≈ t/(ab/2) = 2t/ab, откуда

Следовательно, чтобы погрешность ориентирования планше˝та

не превышала 2′, расстояние между точками на планшете не долж-

пример, при s = 10 ñì ϕ ≈ 7′.

Для уменьшения влияния погрешности ориентирования план˝- шета на точность съемки во всех случаях определения полож˝ения точек способом засечек руководствуются правилом: «Ориен˝тируйся по длинной линии, засекайся по короткой».

7.5.НИВЕЛИРОВАНИЕ НАКЛОННОЙ ВИЗИРНОЙ ОСЬЮ (ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ)

При мензульной съемке рельефа местности и построении съемочного обоснования превышения между точками определяют с одной станции на расстоянии в несколько сотен метров и д˝аже несколько километров, применяя тригонометрическое ниве˝лирование.

Для определения превышения h между точками À è Â (ðèñ. 7.3, à) наклонной визирной осью (тригонометрическим нивелирова˝нием) на одной точке À устанавливают мензульный комплект или теодолит, а на другой Â — знак (веху, пирамиду и др.). Пусть горизонтальное проложение между точками À è Â равно s. Для измерения угла наклона ν визируют на верх знака υ. На станции измеря-

ют высоту прибора i, представляющую отрезок отвесной линии от точки À (верха столба, кола и др.) до горизонтальной оси прибора. Определяют высоту знака υ (отрезок отвесной линии от точки Â до точки, на которую производят визирование при измерении˝ угла наклона).

203

Рис. 7.3. Тригонометрическое нивелирование без учета кривизны Земли и рефракции (à), с их учетом (á) и определение поправки за кривизну Земли (â)

Если предположить, что уровенная поверхность представля˝ет

плоскость, а визирный луч — прямую линию, т. е. кривизна Зе˝мли и рефракция (преломление) светового луча в атмосфере не уч˝итываются, то можно получить формулу (см. рис. 7.3, à)

h + υ = s tg ν + i,

откуда

В действительности, визирный луч идет по рефракционной кривой, и угол наклона ν измеряют между касательными к уровенной

поверхности и рефракционной кривой (рис. 7.3, á). Треугольник, образованный этими касательными и отвесной линией в точк˝еÂ,

204

близок к прямоугольному, поэтому катет, лежащий против уг˝лаν,

равен stg ν, а следовательно,

h + υ + r = i + k + stg ν,

откуда

h = stg ν + i – υ + k – r,

ãäå r — поправка за рефракцию; k — поправка за кривизну Земли.

Обозначив k – r = f, ãäå f — поправка за кривизну Земли и рефракцию, получим

Определим k, r è f в формуле (7.6).

Поправку за кривизну Земли k легко и точно можно определить из прямоугольного треугольника Oab (ðèñ. 7.3, â). (R + k)2 =

= R2 + s2, ãäå R — величина, близкая к радиусу Земли. Из получен-

ного равенства следует, что k (2R + k) = s2, откуда

k= s2/(2R + k).

Âзнаменателе правой части полученной формулы k во много раз меньше удвоенного радиуса Земли, поэтому, отбросив ее˝,

можно написать

Ï ð è ì å ð: R = 6370 êì, s = 1000 м, получим k = 8 ñì.

Значительно сложнее определить r — поправку за рефракцию. Если бы был известен радиус рефракционной кривой, то попр˝авку

за рефракцию можно было бы определить по формуле (7.7), в которую вместо радиуса Земли можно подставить радиус рефра˝кционной кривой. Однако многочисленные исследования показы˝вают, что вид рефракционной кривой постоянно изменяется в з˝а- висимости от изменения плотности слоев атмосферы (в разное время года, месяца и суток), через которые проходит луч виз˝иро-

вания, а следовательно, изменяется и радиус рефракционной˝ кри-

âîé.

Наиболее уверенно радиус рефракционной кривой, а следова˝-

тельно, и поправку за рефракцию определяют при высоте виз˝ирного луча над земной поверхностью от 2 м и более. Для этих у˝словий радиус рефракционной кривой в среднем в шесть раз бол˝ьше радиуса Земли, а следовательно, поправка за рефракцию в ср˝ед-

нем в шесть раз меньше поправки за кривизну Земли, вследст˝вие чего можно написать

205

Подставив в это выражение значение k из формулы (7.3), полу-

÷èì

По этой формуле обычно и вычисляют поправку за кривизну Земли и рефракцию в формуле (7.6).

Превышения при тригонометрическом нивелировании вычис-˝ ляют с округлением до 0,01 м, поэтому поправку f вычисляют

лишь для расстояний, превышающих 300 м, так как при s = 300 ì f = 0,006 ì ≈ 0,01 м. Поправка изменяется пропорционально квад-

рату расстояния, и при s = 1000 м она равна 0,07 м. Для определения поправок обычно пользуются специальной таблицей.

7.6. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛА НАКЛОНА ВЕРТИКАЛЬНЫМ КРУГОМ КИПРЕГЕЛЯ КН

Деления на лимбе номограммного кипрегеля КН (рис. 7.4), вы-

пускаемого отечественной промышленностью с 1976 г., подписа˝- ны от 0 до 50° в обе стороны (по ходу и против хода часовой стре˝л-

ки) через каждый градус и сопровождаются знаками «плюс» и˝ «минус» в зависимости от знака угла наклона. Знак отсчето˝в П и Л

при наведении на точку — один и тот же и соответствует зн˝аку измеряемого угла наклона, если место нуля равно нулю. Если зн˝аче-

ние угла наклона близко к месту нуля, то отсчеты П и Л могут иметь разные знаки. Цена деления лимба 5′, и в пределах пятими-

нутного интервала значение отсчета в минутах или долях ми˝нуты оценивают на глаз.

Кипрегель КН имеет два цилиндрических уровня (не считая

уровня на линейке): уровень при вертикальном круге с устан˝овоч- ным винтом 11 (см. рис. 7.4) для приведения пузырька уровня на

середину перед отсчетом по лимбу и реверсивный (оборотны˝й)

уровень при зрительной трубе, позволяющий использовать к˝ипре-

гель для определения превышений горизонтальной визирно˝й

Рис. 7.4. Номограммный кипрегель КН:

1 — зрительная труба; 2 — вертикальный круг; 3 — колонка; 4 — основная линейка кипрегеля; 5 — подвижная линейка; 6 — съемная масштабная линейка с иглой на конце; 7 — цилиндрический уровень на линейке; 8 — окуляр; 9 — наводящий и закрепительный винты вертикального круга; 10 — цилиндрический уровень вертикального круга; 11 — винт цилиндрического уровня; 12 — кремальера;

13 — мензульная доска

206

Рис. 7.5. Схема измерения углов наклона вертикальным кругом ˝кипрегеля КН

осью (как нивелир). Зрительная труба кипрегеля КН дает пря˝мое

изображение предметов и снабжена ломаным вращающимся ок˝у- ляром 8 1. Закрепительное и наводящее 9 устройства (винты) нахо-

дятся на одной оси в верхней части колонки.

Измерение углов наклона вертикальным кругом кипрегеля К˝Н схематически показано на рисунке 7.5, при этом для нагляднос˝ти нулевой диаметр лимба на них изображен параллельным визи˝р-

íîé îñè.

Случай, когда МО = 0, показан на рисунке 7.5, à, а когда МО = +10° — на рисунке 7.5, á.

Отсчет по лимбу при визировании на точку при П иллюстриру˝- ет рисунок 7.5, â, а при Л — рисунок 7.5, ã. Из этих рисунков видно, что

П р и м е р 1. На рисунке 7.5, â, ã П = +40°, Л = +20°; по формуле (7.10) вы- числяем: ν = (+40° + 20°)/2 = +30° и МО = (+40° – (+20°))/2 = +10°. Для контроля по формулам (7.9) получаем: ν = +40° – (+10°) = +30° è ν = +20° + 10° = +30°.

Ï ð è ì å ð 2. Ï = +2°03′, Ë = +2°04′; по формулам (7.10) вычисляем: ν = (+2°03′ + 2°04′)/2 = +2°03,5′ è ÌÎ = (+2°03′ – (+2°04′))/2 = –0°00,5′. Для контроля по (7.9) получаем: ν = +2°03′ – (–0°00,5′) = +2°03,5′ è ν = +2°04′ + (–0°00,5′) = = +2°03,5′.

1Такое устройство окуляра не упрощает, а затрудняет поиск ˝предмета в поле зрения трубы во время съемки и не является достоинством к˝ипрегеля.

207

Для работы с кипрегелем КН при одном положении вертикаль-˝

ного круга (при съемке рельефа) необходимо место нуля прив˝о- дить к нулю, следует отметить, что у вертикального круга ки˝прегеля КН для положений П и Л место нуля имеет разные знаки.

7.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСОТ ПРИБОРА И ЗНАКА

Согласно формуле (7.6) для вычисления превышения возника-

ет необходимость измерять высоту прибора i и высоту знака υ, íà

который проводят визирование.

Высоту прибора обычно измеряют непосредственно рулетко˝й и

записывают с округлением до 0,01 м. Чтобы повысить точность измерения высоты прибора, ее получают как сумму двух сост˝авля-

ющих: первая, постоянная для данного мензульного комплект˝а, — высота от нижней поверхности доски до горизонтальной оси˝ кип-

регеля, вторая, изменяющаяся для каждой станции, — высота˝ от нижней поверхности доски до верхнего торца кола, отмечающ˝его

точку стояния и ее высоту. Если мензула установлена над то˝чкой, обозначенной на местности столбом, то высоту прибора изме˝ряют

от верха столба, при этом высоту точки относят также к верх˝у

столба.

Высоту знака измеряют непосредственно или получают путе˝м

вычислений в зависимости от вида знака.

Если знаком служит дальномерная рейка или вешка, то их вы-

соту (длину) измеряют непосредственно рулеткой и записыв˝ают с округлением до 0,01 м, при этом имеется в виду, что рейка или

вешка будет установлена на кол или столб, а визировать для˝ измерения угла наклона будем на верх рейки или вешки. Если вешк˝а

установлена около столба (кола), то высоту ее измеряют от в˝ерха

столба (кола) до верха вешки.

При построении съемочного обоснования очень часто знак представляет веху, врываемую в землю на глубину до 0,5…1,0 м в зависимости от плотности грунта и длины вехи. На расстоян˝ии 0,2…0,3 м от основания вехи забивают кол и высотой знака (вехи˝) считают отрезок отвесной линии от верхнего торца кола до ˝крестовины в верхней части вехи (рис. 7.6, à), на которую производят

визирование. Для лучшей видимости при больших расстояния˝х

(1…2 км) в верхней части вехи привязывают пучок соломы или

прибивают флаг. До установки вехи в вырытую яму рулеткой и˝з-

меряют расстояние от крестовины до метки на вехе, которую˝ делают в 1,5…2 м от нижнего конца вехи. После установки вехи изме-

ряют отрезок отвесной линии от метки до верхнего торца ко˝ла, пользуясь горизонтальной рейкой. Сумма двух результатов˝ измерений, округленная до 0,01 м, дает высоту знака. Если веху уста˝- навливают возле столба, то высотой знака считается отрезо˝к отвесной линии от крестовины вехи до верха столба.

208

Ðèñ. 7.6. Âåõà (à) и определение ее высоты (á)

При съемке в крупных масштабах для работы на станции веху˝ вынимают из земли осторожно, чтобы не осыпалась земля. Над˝

углублением центрируют планшет, а по окончании работы вех˝у вставляют в землю на ту же глубину. Для этого при первонача˝ль-

ной установке вехи на ней делают зарубку на уровне верхне˝го торца кола.

Чтобы не вынимать веху из земли (так как это влияет на точ-

ность определения высоты знака), иногда в верхней части ве˝хи делают горизонтальную перекладину с визирным цилиндром˝ (рис. 7.6, á). Ось визирного цилиндра проецируют по отвесу на

землю (с двух-трех позиций наблюдателя) и забивают кол. Высо-

ту знака, равную расстоянию от верха визирного цилиндра д˝о верха торца кола, вычисляют по измеренному горизонтально˝му

проложению s и двум углам наклона n1 è n2 по формуле1

u = u1 + u2 = stg½n1½ + stg½n2½ = s(tg½n1½ + tg½n2½).

Эта формула справедлива, если углы n1 è n2 имеют разные знаки, а если знаки одинаковые, то u = u1 – u2.

Таким же способом определяют высоту пирамиды (см.

ðèñ. 1.21, á), мачты и др.

При определении высоты знака по изложенному способу необ˝ходимо обращать внимание на точность измерения расстояния s и углов наклона, имея в виду, что чем больше расстояние s, тем точнее надо измерять углы наклона, и чем больше углы наклона, тем точнее нужно измерять расстояние s, руководствуясь при-

1Высота знака может быть также определена непосредственн˝о при помощи шнура, тесьмы, тонкой вехи, рейки и др.

209

ближенной формулой

ms/s ≈ mν/ν,

т. е. относительная погрешность измерения расстояния рав˝на относительной погрешности измерения угла.

Óãëû ν нужно измерять при обоих положениях вертикального круга. В этом случае средняя квадратическая погрешность измерения уг˝ла характеризуется величиной òν = 0,5′. Поэтому, желая узнать, с какой точностью надо измерять рас˝- стояние s, можно воспользоваться формулой

Например, при угле наклона ν = 5° = 300′ è s = 100 ì

Следовательно, расстояния можно измерять со средней квад˝ратической относительной погрешностью

ms/s = 0,17/100 ≈ 1/600.

Но этого нельзя достичь, применяя нитяной дальномер. Для и˝змерений потребуется применить рулетку, ленту и др. Высота знака с уче˝том погрешностей измерений двух углов наклона получится с относительной с˝редней квадратиче- ской погрешностью примерно в полтора раза большей, чем ms/s è mν/ν, т. е. в данном случае с относительной погрешностью 1/400. При υ = 6,00 м абсолютная погрешность высоты знака равна 6,00/400 = 0,015 м.

Если центр знака под пирамидой находится ниже поверхност˝и земли, то на центр ставят рейку, визирование при измерении˝

óãëà ν производят на верх рейки и учитывают ее длину при опре-

делении высоты знака.

Если знаком является постоянный предмет местности (верх

шпиля здания, трубы завода, эмблемы религиозного культа, а˝н-

тенны и др.), т. е. недоступная точка для установки мензулы, т˝о

высоту его принимают равной нулю, потому что при измерени˝и

угла наклона визируют на ту точку, для которой определяют˝ пре-

вышение.

7.8. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕК ПРЯМОЙ И БОКОВОЙ ЗАСЕЧКАМИ

При построении съемочного обоснования положение геодез˝и-

ческих пунктов в открытой местности определяют прямой ил˝и боковой засечкой.

Прямая засечка состоит в определении положения третьей точ-

ки с двух станций в исходных точках.

Для определения положения точки Ñ прямой засечкой мензулу поочередно устанавливают в точках À è Â, положение которых со-

210