Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

Можно использовать более простой контроль |[pυ]| ≤ 0,5[p] единицы последнего знака Lâ.

Второе свойство поправок, соответствующих случаю неравн˝оточных измерений одной и той же величины, условно выражают в виде равенс˝тва p[υ2] = min.

Доказательство этого свойства аналогично приведенному ˝для случая равноточ- ных измерений.

9.19.ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

ÈСРЕДНЕГО ВЕСОВОГО ПО ПОПРАВКАМ

Если имеется ряд неравноточных измерений l1, l2, …, ln одной и

той же величины, для которых известны веса ð1, ð2, …, ðï, то точ- ность можно оценить по поправкам.

Âматематической статистике доказывается, что несмещенн˝ой

èсостоятельной оценкой σ является характеристика

Из равенства (9.96) следует, что

По этой формуле определяют среднюю квадратическую погрешность единицы веса через поправки. Значение μ, вычисляе-

мое по формуле (9.97), будет несколько отличаться от значения˝μ,

получаемого по формуле (9.86), но при неограниченном увеличе-˝ нии ï они будут сближаться между собой.

Подставив выражение (9.97) в формулу (9.93), найдем выражение средней квадратической погрешности среднего весово˝го через

поправки

Для контроля вычисления [pυ2] умножим равенства υi = Lâ – li

íà piυi (i = 1, 2, …, ï) и, просуммировав новые равенства по пере-

менному индексу i îò 1 äî ï, получим [pυ2] = Lâ[pυ] – [pυl]. Учитывая свойство поправок, что [pυ] = 0, будем иметь

Заменив в этом равенстве каждое li его выражением li = l0 + εi,

получим [pυ2] = –[pυ]l0 – [pυε].

Учитывая свойство поправок, что [pυ] = 0, будем иметь

Равенства (9.99) и (9.100) могут быть использованы для контро-

ля правильности вычислений Lâ è υi.

301

Иногда для контроля используют несколько иные равенства˝,

например

[pυ2] = [pε2] – [pε]2/[p].

Åñëè Lâ было получено с округлением, что для строгого контроля может быть использовано равенство

[pu2] = –[pue] + (Lâ – l0)[pu]

или для приближенного контроля — неравенство

|[pu2] + [pue]| £ 0,5|[pe]| единицы последнего знака Lâ.

Çа д а ч а. Обработать результаты ряда неравноточных измерений (таб˝л. 9.5),

ò.е. найти среднее весовое и его среднюю квадратическую п˝огрешность.

9.5.Оценка точности результатов неравноточных измерений

â= 134°15¢10² + 175/38 = 134°15¢14,6²; w = –0,0053².

Êî í ò ð î ë ü: [pu] = [p]w = –0,2²; [pu2] = –[pue] + (Lâ – l0)[pu] = 512 + 4,6(–0,2) =

=511.

9.20. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ЕДИНИЦЫ ВЕСА, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Предположим, что имеется ряд двойных неравноточных измерений li, ′ каждое с весом ði (i = 1, 2, …, ï). Составим разности

=′ (i = 1, 2, …, ï).

Как и в случае равноточных измерений, эти разности равны

погрешностям самих разностей. Поэтому согласно формуле (˝9.86)

302

По формуле (9.102) определяют среднюю квадратическую погрешность единицы веса, если в разностях нет систематичес˝ких

погрешностей. В случае наличия систематических погрешно˝стей последние предварительно исключают из разностей (см. раз˝д.

9.21).

9.21. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ЛИНИЙ

Пусть имеется ряд двойных измерений линий лентой si, ¢ (i = 1, 2, …, ï).

Если в разностях нет систематических погрешностей, то сре˝д- няя квадратическая погрешность единицы веса может быть о˝пре-

делена по формуле (9.102), в которой = ¢ На основании формулы (9.73) веса линейных измерений опре-

деляют как величины, обратно пропорциональные длинам лин˝ий,

ò. å. ði = 1/si.

Подставив это значение в формулу (9.102), получим

На основании выражения (9.87) можно написать контрольное равенство

Если в разностях di имеются систематические погрешности qi

(i = 1, 2, …, ï), то поступают следующим образом. Полагают, что

систематические погрешности измерения линий пропорцион˝альны их длинам, т. е.

ãäå θ — коэффициент пропорциональности, а вес ði = 1/si.

303

[d] = [ d] + [θ], à òàê êàê θi = θsi, òî [d] = [ d] + θ[s]. Разделим полученное равенство на [s]. Получим [d]/[s] = [ d]/[s] + θ. Случайные погрешности в сумме в зна-

чительной мере погашаются. Поэтому при большом значении [˝s] первый член правой части последнего равенства при наличии системати˝ческих погрешностей θi будет мал по сравнению с θ и его можно отбросить. Тогда получим формулу (9.106).

Получив θ, находят систематические погрешности θi = θsi,

Среднюю квадратическую погрешность единицы веса в этом

случае вычисляют по формуле

Åñëè si выражено числом метров, то по формулам (9.103),

(9.108) можно получить значения коэффициента случайного влия˝-

ния линейных измерений, т. е. μ = μs.

Величину θ называют коэффициентом остаточного системати- ческого влияния линейных измерений.

Для контроля вычислений θi, ∂i è [d2/s] просуммируем равен-

ñòâà θi = θsi (i = 1, 2, …, ï) по переменному индексу i îò 1 äî ï и получим [θ] = θ[s]. Заменив в этом равенстве величину θ согласно

формуле (9.106), найдем [θ] = [d].

Сложив равенства вида (9.107), получим [∂] = [d] – [θ]. Отсюда,

имея в виду предыдущее равенство, [∂] = 0. Контрольное равенство [∂/s] = [d2/s] – [d]2/[s].

Если при вычислении θ как частного был отброшен остаток r, ò. å. θ получено из равенства θ = ([d] – r)/[s], òî [θ] = [d] – r, [∂] = r.

Оценка точности по разностям двойных измерений часто не

дает полного представления о точности проведенных измер˝ений.

Так, при измерении линий одной и той же лентой дважды имею-

щаяся в результате измерений погрешность из-за неточного˝ опре-

деления длины ленты при ее компарировании в разностях дво˝й-

ных измерений исключается.

То же самое будет с погрешностями в углах, если эти погрешности возникают из-за неточного центрирования теодолита˝, когда каждый угол измеряют дважды при одной и той же установке п˝рибора.

Можно еще указать примеры, когда влияние некоторых источ-˝

ников погрешностей в разностях исключается в значительн˝ой сте-

пени, например влияние температуры, рельефа местности при˝ измерении линий или влияние рефракции при измерении углов.

Известны случаи, когда средние квадратические погрешнос˝ти

измерений линий, полученные по разностям двойных измерен˝ий, оказались в три-четыре раза меньшими по сравнению с дейст˝ви-

тельными.

304

9.22.ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВ

ÈПРЕВЫШЕНИЙ ПО НЕВЯЗКАМ В ПОЛИГОНАХ И ХОДАХ

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометр˝и- ческому условию (например, сумма внутренних углов треуго˝льни-

ка должна быть равна 180°), то точность измерений можно опред˝е-

лить по невязкам, получающимся в результате погрешностей˝ измерений. Для примера определения точности измерений по не˝-

вязкам приведем решения двух задач.

1. В результате измерений углов в N полигонах (ходах) с числом

углов ï1, ï2, …, ïN получены невязки f1, f2, …, fN. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения одного угла.

Полученные невязки являются погрешностями сумм углов в каждом полигоне (ходе), поэтому для оценки точности измере˝ний

можно воспользоваться формулой (9.86). Заменив в ней погрешности Di íà fi, à ï на число полигонов (ходов) N, получим

ãäå ð1, ð2, …, ðN — веса сумм углов в полигонах.

Вес суммы измеренных углов найдем по формуле

Средняя квадратическая погрешность суммы углов равна

Σβ =

ãäå ò — средняя квадратическая погрешность измерения одного˝ угла.

Примем вес измерения одного угла равным единице, т. е. k/m2 = 1,

тогда k = m2.

При этом значении k формула для весов сумм углов примет вид ð = 1/ï. Подставив это выражение веса в формулу (9.110) и имея в виду, что в этом случае величина m будет равна средней квадрати- ческой погрешности измерения одного угла, получим

На основании выражения (9.87) можно применить конт-

рольную формулу

305

В частном случае, когда невязки f1, f2, …, fN относятся к суммам

углов в треугольниках, предыдущая формула примет вид

=é ù (9.113)

ë β û

2.Имеются невязки f1, f2, …, fN в суммах превышений нивелир-

ных полигонов (ходов), периметры которых L1, L2, …, LN. Найти среднюю квадратическую погрешность превышения по ходу д˝ли-

íîé 1 êì.

Невязки f1, f2, …, fN — это погрешности соответствующих сумм

превышений, веса которых ði = 1/Li. Воспользовавшись формулой (9.86), найдем

ãäå Li â êì.

На основании формулы (9.87) можно написать контрольное равенство

9.23. НАЗНАЧЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ДОПУСКОВ ДЛЯ РАСХОЖДЕНИЙ И НЕВЯЗОК В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

ИЗМЕРЕНИЯХ

Одной из важных прикладных задач теории погрешностей из-

мерений является разработка методов вычисления допусти˝мых не-

вязок и расхождений при проведении различных геодезичес˝ких

работ.

Основанием для расчета допусков служит то, что любая невя˝зка (расхождение) является погрешностью самой невязки (расхо˝ждения). В самом деле, теоретическое значение любой невязки ра˝вно нулю, так как оно должно быть вычислено по точным значения˝м измеренных величин. Например, угловую невязку теодолитно˝го полигона получают по формуле (3.1):

fβ = Σbïð – Σbò.

Если нужно получить теоретическое значение невязки, то ве˝- личину Σbïð необходимо вычислять по точным значениям углов. Тогда Σbïð = Σbò, так как практическая сумма безошибочна, и,

следовательно, β =

306

В то же время согласно формуле (1.25) погрешность — раз-

ность между результатом измерения и его точным значением˝, что приводит к соотношению f = f – fò = f, ãäå f — погрешность невязки.

Из последнего соотношения следует, что предельно возможн˝ое при данных условиях значение невязки, которое обычно назы˝вают допустимой невязкой, совпадает с предельной погрешность˝ю этой невязки, т. е. верно соотношение fäîï = fïðåä.

Вычисление предельной погрешности fïðåä может быть осуще-

ствлено, если известно значение средней квадратической п˝огрешности mf невязки, тогда согласно формуле (9.36) fïðåä = τmf, где коэффициент τ при нормальном распределении погрешностей из-

мерений может принимать значения 2, 2,5 и 3 в зависимости от выбранной вероятности.

При любых значениях τ существует определенная вероятность, что некоторое число нормальных измерений может быть приз˝на-

но некачественным. При τ = 2 таких измерений больше, чем при других значениях этого коэффициента, но в этом случае жес˝тко отбраковывают уклоняющиеся измерения. Так, если оказалос˝ь,

÷òî mf = 1′, òî ïðè τ = 2 любая невязка, большая чем fïðåä = 2 · 1′ = = 2′, признается недопустимой и такие измерения бракуют. При

τ = 3 в этих же условиях бракуют измерения, если невязки буду˝т превышать значение fïðåä = 3′.

Значение mf обычно вычисляют по известным правилам оцен-

ки точности функций в зависимости от вида геодезических д˝ействий (см. разд. 9.7).

Подобные рассуждения можно применять для вычисления до-

пустимых расхождений между двумя измерениями одной и той˝ же величины l1 è l2 со средними квадратическими погрешностями со-

ответственно ò1 è ò2. Требуется определить допустимое расхождение dïðåä между полученными результатами измерений. Естественно считать, что допустимое расхождение — предельн˝о воз-

можное. Точное значение расхождения будет равно нулю, а пр˝е-

дельное расхождение — его предельной погрешности, т. е. däîï =

= dïðåä = dïðåä. Считая, что dïðåä = τmd, получаем däîï = τmd.

Íî d = l1 – l2. Тогда согласно формуле (9.44) при ò1 = ò2 = ò

=τ

Çа д а ч а 1. Вычислить допустимую угловую невязку в теодолитном ходе˝,

если каждый угол измерен со средней квадратической погре˝шностьюòβ, число углов в ходе ï, а погрешностями исходных дирекционных углов можно прене˝б- речь ввиду их малости.

Для левых углов будем иметь

fβ = Σβïð – Σβò = β1 + β2 + ... + βï – (αê + ï · 180° – αí).

На основании формулы (9.44) получим β = β

307

Тогда допустимая угловая невязка может быть вычислена по˝ формуле

β= t β

Это наиболее общее представление о допустимой угловой не˝вязке. При измерении углов теодолитом Т30 òβ = 0,5¢; принимая t = 2, получим следующее выражение для допустимой угловой невязки:

β= ¢

Если углы измеряют в триангуляции второго разряда со сред˝ней квадратической погрешностью òβ = 10², то допустимая невязка в треугольнике при t = 2,5

В инструкциях эту величину обычно округляют до 45².

З а д а ч а 2. Определить допустимое расхождение между двумя измерени˝ями лентой линии длиной 250 м, если коэффициент случайного влия˝нияms = 0,004 ì.

Для решения задачи сравнивают два равноточных измерения˝s1 è s2. Средняя квадратическая погрешность каждого из них может быть пол˝учена по формуле

(9.45): = m

Тогда допустимое расхождение, полученное по формуле (9.44), о˝кажется равным

= tm

Для рассматриваемого случая при t = 2,5 будем иметь

= =

Контрольные вопросы и задания

1. Что называют погрешностью измерения? 2. Назовите погрешно˝сти по характеру их действия и источнику происхождения. 3. Дайте опр˝еделение теории вероятности. 4. Какие свойства случайных погрешностей вы з˝наете? 5. Каковы числовые характеристики точности результатов равноточн˝ых измерений? 6. Напишите и объясните формулы оценки точности функций общег˝о вида и линейных функций. 7. Как обрабатывают результаты равноточных измер˝ений одного и того же значения? 8. Как определяют неравноточные измерения, вес˝а измерений и их свойства? 9. Дайте определение весов функций измеренных ве˝личин и напишите для них формулы весов. 10. Объясните формулу средней квадрат˝ической погрешности единицы веса. 11. Объясните формулу средней квадратич˝еской погрешности среднего весового. 12. Как оценивают точность линейных и˝змерений? 13. Напишите формулы и объясните процедуру оценки точности угл˝ов и превышений по невязкам в полигонах и ходах.

308

à ë à â à 10

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОСТРОЕНИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ ПРИ СЪЕМКЕ НА БОЛЬШОЙ ТЕРРИТОРИИ

∙

10.1. ПОНЯТИЕ О ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ

При проведении различных народнохозяйственных, в том чис˝- ле и землеустроительных, мероприятий на большой территор˝ии

необходимы топографические карты и планы, составленные н˝а основе сети геодезических пунктов, плановое положение ко˝торых

на земной поверхности определено в единой системе коорди˝нат, а

высотное — в единой системе высот. При этом геодезические сети могут быть плановыми, высотными или одновременно плановы˝ми и высотными.

Сеть геодезических пунктов располагают на местности сог˝ласно составленному для нее проекту. Пункты сети закрепляют ˝осо-

быми знаками.

Построенная на большой территории в единой системе координат и высот геодезическая сеть дает возможность правил˝ьно

организовать работу по съемке местности. При наличии тако˝й сети съемку можно проводить в разных местах, что не вызове˝т затруднения при составлении общего плана или карты. Использ˝ова-

ние сети геодезических пунктов приводит к более равномер˝ному

распределению по территории влияния погрешностей измер˝ений

и обеспечивает контроль выполняемых геодезических рабо˝т. Геодезические сети строят по принципу перехода от общего˝ к

частному, т. е. вначале на большой территории строят редку˝ю сеть пунктов с очень высокой точностью, а затем эту сеть послед˝овательно по ступеням сгущают пунктами, которые строят на ка˝ждой

ступени с меньшей точностью. Таких ступеней сгущения быва˝ет

несколько. Сгущают геодезическую сеть с таким расчетом, ч˝тобы

в результате получилась сеть пунктов такой плотности (гу˝стоты) и

точности, чтобы они могли служить непосредственной опоро˝й для

предстоящей съемки.

Плановые геодезические сети строят в основном методами т˝риангуляции, полигонометрии и трилатерации. Иногда эти мето˝ды

сочетают.

Метод триангуляции состоит в строительстве сети треугольников, в которых измеряют все углы и как минимум две стороны на разных концах сети (вторую сторону измеряют для контроля˝ из-

мерения первой стороны и установления качества всей сети˝). По

309

длине одной из сторон и углам треугольников определяют ст˝оро-

ны всех треугольников сети. Зная дирекционный угол одной ˝из сторон сети и координаты одного из пунктов, можно вычисли˝ть координаты всех пунктов. В этом заключается сущность мето˝да триангуляции. На практике применение метода триангуляци˝и бо-

лее сложно.

Метод полигонометрии заключается в построении сети ходов, в

которых измеряют все углы и стороны. Полигонометрические˝ ходы отличаются от теодолитных более высокой точностью и˝зме-

рений. Этот метод обычно применяют в закрытой местности. В˝не-

дрение в производство электромагнитных дальномеров дел˝ает целесообразным применение полигонометрии и в открытой мес˝тности.

Метод трилатерации состоит в построении сети треугольников,

в которых измеряют все стороны. В некоторых случаях созда˝ют линейно-угловые сети, представляющие собой сети треуголь˝ни-

ков, в которых измерены стороны и углы (все или в необходим˝ом их сочетании).

Плановые геодезические сети делятся на государственную˝ геодезическую сеть, разрядные сети сгущения 1-го и 2-го разрядо˝в,

съемочное обоснование — съемочную сеть и отдельные пун˝кты.

10.2. ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ

Государственная геодезическая сеть представляет собой ˝совокупность геодезических пунктов, равномерно распределен˝ных на

территории всей страны и закрепленных на местности центр˝ами, обеспечивающими сохранность и устойчивость этих пункто˝в в те-

чение длительного времени.

Согласно Основным положениям о построении государствен˝- ной геодезической сети СССР, 1954 г., ее подразделяют: на триан˝- гуляцию, полигонометрию и трилатерацию 1, 2, 3 и 4-го классов; нивелирные сети I, II, III и IV классов.

Государственную геодезическую сеть создают по принципу от общего к частному (от высшего класса к низшему). Это означа- ет, что сначала строят достаточно редкую сеть пунктов, опр˝еде-

ленных с очень высокой точностью. Затем эту сеть сгущают п˝унк-

тами, определяемыми с менее высокой точностью.

Рассмотрим схему построения плановой государственной г˝ео-

дезической сети методом триангуляции, так как в основном ˝этим методом построена существующая сеть.

В первую очередь строят триангуляцию 1-го класса в виде рядов треугольников (близких к равносторонним), которые рас˝полагают по возможности вдоль меридианов и параллелей (рис. 10.˝1). Длины сторон треугольников, как правило, не менее 20 км. Ряд˝ы треугольников образуют замкнутые полигоны периметром о˝коло

310