Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

Рис. 1.1. Уровенные поверхности

ность суши) очень сложная (рис. 1.1), ее невозможно выразить к˝а-

кой-либо математической формулой. Поэтому в геодезии введ˝ено

понятие уровенной поверхности.

Уровенной называют выпуклую поверхность, касательная к ко-

торой в любой точке перпендикулярна направлению отвесно˝й ли-

нии. Следовательно, уровенную поверхность мысленно можно˝

провести через любую точку на физической поверхности зем˝ли,

под землей и над землей. Уровенная поверхность точки À показана на рисунке 1.1. Реально уровенную поверхность можно пред-˝

ставить как водную поверхность пруда, озера, моря, океана в˝ спо-

койном состоянии. Поверхность Мирового океана, мысленно

продолженная под сушей, названа поверхностью геоида, à òåëî, îãðà-

ниченное ею, — геоидом. Но и поверхность геоида из-за неравно-

мерного размещения масс в теле Земли также очень сложная и не выражается какой-либо математической поверхностью, напр˝имер

поверхностью шара1. Исследования формы Земли астрономо-гео-

дезическими методами показали, что Земля сплюснута у полю˝- сов (вследствие вращения Земли вокруг своей оси). Поэтому ˝в качестве математической поверхности, характеризующей ф˝орму Земли, принимают поверхность такого эллипсоида вращения˝,

т. е. тела, получающегося от вращения эллипса вокруг его ма˝лой

(полярной) оси (рис. 1.2), который по форме наиболее близко подходит к поверхности геоида. Размерами эллипсоида явля˝ются длины его большой à и малой b полуосей, а также сжатие, которое определяют по формуле

α = (à – b)/à.

1Первое определение размера Земли как шара было выполнено Эратос˝феном в III в. до н. э.

11

Рис. 1.2. Схема земного эллипсоида

На протяжении двух последних столетий ученые неоднократ˝но определяли размеры земного эллипсоида (табл. 1.1).

1.1. Размеры земного эллипсоида

Результаты, полученные Деламбром, имеют историческое зна˝-

чение. Одна десятимиллионная часть четверти меридиана Де˝ламб-

ра (парижского) была принята за единицу длины в метрическо˝й системе — метр. Результатами, полученными Бесселем, поль˝зовались в России, а затем в СССР до 1946 г. В 1940 г. советские геоде-

зисты под руководством Ф. Н. Красовского и при ближайшем ˝уча-

стии А. А. Изотова на основе большого геодезического мате˝риала получили наиболее точные и достоверные размеры земного э˝л- липсоида, которые были приняты для геодезических работ в

СССР по постановлению Совета Министров СССР от 7 мая 1946 г. Точность и достоверность этих размеров подтверждают˝ результаты наблюдений за движениями ИСЗ, полученные в после˝- дние десятилетия учеными в России и за рубежом.

При приближенных расчетах поверхность эллипсоида прини˝- мают за поверхность шара (равновеликого по объему земном˝у эллипсоиду) с радиусом 6371,1 км, округляя это значение до 6370 км, а в некоторых случаях до 6400 км. Для небольших участков земной поверхности поверхность эллипсоида принимаю˝т за плоскость.

12

1.4.ЕДИНИЦЫ И СПОСОБЫ ИЗМЕРЕНИЙ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ

ÂГЕОДЕЗИИ

В геодезии измеряются различные величины (под величиной понимают количественную характеристику физического тел˝а, яв-

ления или процесса). Измерить величину — значит определи˝ть ее

числовое значение в принятых единицах измерения (метр, кв˝адратный метр, градус и т. д.).

Измерения называют прямыми, если их выполняют при помощи измерительных приборов, позволяющих сравнить измеряе˝мое

значение с принятым за единицу измерения, и косвенными, когда результат получают по прямым измерениям других величин, с˝вя-

занных с определяемой известной математической зависим˝остью. Например, значение угла в треугольнике можно непосредств˝енно

измерить теодолитом (прямое измерение), но можно значение˝ этого угла вычислить (косвенное определение), если три сто˝роны

этого треугольника были непосредственно измерены.

За единицу линейных измерений (расстояний, горизонтальны˝х проложений, высот, превышений) в геодезии принят метр, за е˝диницу измерений горизонтальных и вертикальных углов — г˝радус,

минута, секунда. Первоначальная длина метра по предложени˝ю

комиссии Парижской академии наук от 19 марта 1791 г. должна была равняться одной десятимиллионной части дуги Парижс˝кого

меридиана. В 1799 г. был изготовлен образец метра в виде жезла˝ из платины. Он получил название «архивный метр». В 1889 г. с «ар-

хивного метра» была изготовлена 31 копия-жезл из 90 % платины˝ и 10 % иридия, названные эталонами. Три эталона хранятся в по-

мещении Международного бюро мер и весов в Севре, около

Парижа, а остальные были распределены между странами-учас˝т- ницами в качестве их национальных эталонов. Россия получи˝ла

эталон ¹ 11, хранящийся в Академии наук России, и ¹ 28, хра-

нящийся в НИИ метрологии им. Д. И. Менделеева в Санкт-Пе-

тербурге. В XX в. метрическая система легла в основу совреме˝нной

Международной системы единиц или сокращенно «система СИ˝»

(Si-System International), которую сейчас повсеместно используют в науке, технике, образовании и народном хозяйстве.

Основные единицы (механические):

1Интерференционная установка позволяет сравнивать жезл ˝с эталонной длиной световой волны в 100 раз точнее, чем с платиново-иридиевым эт˝алоном метра.

13

Дополнительные единицы (геометрические):

Несистемные величины:

Диапазон измеряемых величин очень широк и разнообразен, п˝оэтому допускается применение исторически сложившихся и прочно воше˝дших в геодезиче- ское производство несистемных единиц. Это десятичные кра˝тные (образованные умножением на 10, 100, 1000 и т. д.) и десятичные дольные (образованн˝ые умножением на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.) от единиц системы СИ и др.

Для измерения г о р и з о н т а л ь н ы х и в е р т и к а л ь н ы х у г л о в используют следующие угловые единицы:

1 градус = 1° = 1/90 часть прямого угла или 1/360 часть окружности˝; 1 минута = 1¢ = 1/60 часть градуса = 0°01¢00² (60²); 1 секунда = 1² = 1/60 часть минуты = 0°00¢01²;

1 ãðàä = 1g = 1/100 часть прямого угла или 1/400 часть окружности; 1g = 100ñ (десятичных минут);

1ñ десятичная минута = 100ññ (десятичных секунд);

1ññ десятичная секунда = 0,000 1g.

Между угловыми единицами имеются следующие зависимости˝:

В современной практике геодезического приборостроения ˝применяют новые угловые единицы — гон и миллигон:

1 ãîí = 1g = 0,9°;

1 ãîí = 1000 ìãîí; 1 ìãîí = 0,001 ãîí = 0,1ñ = 10ññ = 3,2².

Для измерения д л и н л и н и й:

1километр (км) = 1000 м;

1дециметр (дм) = 0,1 м;

1сантиметр (см) = 0,01 м;

1миллиметр (мм) = 0,001 м. Для измерения п л о щ а д е й:

1километр квадратный (км2) = 1 000 000 ì2 = 100 ãà;

1гектар (га) = 10 000 м2;

1дециметр квадратный (дм2) = 0,01 ì2;

1сантиметр квадратный (см2) = 0,000 1 ì2;

1миллиметр квадратный (мм2) = 0,000 001 ì2.

14

В Великобритании и США для всех целей, кроме научных, продо˝лжают использовать «свою» для каждой страны старую систему едини˝ц.

До перехода на метрическую систему в России использовали˝ следующие единицы измерений:

1сажень = 3 аршина = 2,133 6 м;

1верста = 1066,8 м = 1,066 8 км;

1вершок = 4,445 см;

1äþéì = 25,4 ìì.

1.5.ЭЛЕМЕНТЫ ИЗМЕРЕНИЙ НА МЕСТНОСТИ

(ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПРОЛОЖЕНИЯ ЛИНИЙ, ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ УГЛЫ, УГЛЫ НАКЛОНА)

На картах, планах и профилях изображают контуры (очертания) различных объектов местности: земельных участков, зе˝мле-

пользований крестьянских хозяйств, сельскохозяйственны˝х угодий, берегов рек, морей, каналов, дорог, строений и т. д. Чтобы˝

нанести контур на карту, план или профиль, выбирают характ˝ер-

ные точки, например вершины углов ломаных контуров, опред˝е- ляют их взаимное положение, наносят на план или профиль, по˝с- ле чего соединяют прямыми линиями. При этом всегда руково˝д-

ствуются основным принципом геодезии — от общего к част˝ному,

состоящим в том, что вместо взаимного определения положен˝ия большого числа характерных точек выбирают несколько осн˝ов-

ных, устанавливают положение одной относительно другой, з˝атем относительно основных точек определяют положение харак˝тер-

ных контурных, наносят их на карту, план или профиль с таким˝ расчетом, чтобы можно было с требуемой детальностью изобр˝а-

зить все интересующие объекты местности.

Взаимное положение точек местности определяют измерени˝ем линий (расстояний) между точками и углов между направлени˝ями линий, соединяющих точки. Линии измеряют различными мерными приборами, для измерения углов используют угломерны˝е. Взаимное расположение точек À è Â на местности определяют из-

мерением расстояния ÀÂ (ðèñ. 1.3, à), которое затем проецируют

нормалями1 на поверхность эллипсоида. В проекции получается

кривая À1Â1, используемая для составления карты.

При выполнении геодезических работ на небольшой террито˝- рии, когда часть уровенной поверхности или поверхности эл˝липсоида можно принять за плоскость, т. е. не учитывать кривиз˝ну Земли, линию местности ÀÂ проецируют ортогонально на горизонтальную плоскость, т. е. на плоскость, перпендикулярну˝ю к от-

1Отвесная линия и нормаль (перпендикуляр) к поверхности эл˝липсоида не совпадают, а образованный ими угол называют уклонением отвесной линии. В среднем он близок к 2...3², а в отдельных местах (Кавказ) достигает 45². Его исследуют и учитывают при астрономических наблюдениях, точных набл˝юдениях за движением земной коры и т. д.

15

Рис. 1.3. Проекции линии местности на поверхность эллипсоида˝ à() и горизонтальную плоскость (á)

весной линии (рис. 1.3, á). В проекции получают прямую ab, называемую горизонтальным проложением линии ÀÂ местности. Та-

ким образом, горизонтальным проложением называют ортогональную проекцию линии местности на горизонтальную плоскост˝ь.

Его используют для составления плана.

Изображение участка земной поверхности на бумаге без уче˝та кривизны Земли, т. е. проецирование линий местности не на поверхность э˝ллипсоида, а на горизонтальную плоскость, значительно упрощает геодезиче˝ские вычисления. Это служит главной причиной того, что на небольших площадях ч˝асть уровенной поверхности принимают за плоскость. Возникает вопрос — на˝ какой площади уровенную поверхность или поверхность эллипсоида можно при˝нимать за плоскость? Конечно, все зависит от разницы между ab è À1Â1 (см. рис. 1.3). Чем больше площадь, а следовательно, расстояние ÀÂ, тем больше будет разница между ab è À1Â1. Òàê, ïðè ÀÂ = 22 км разность между ab è À1Â1, рассчитанная по формуле ab – À1Â1 = –ÀÂ3/12R2 (R — радиус Земли), равна 0,022 м, что составляет 1/1 000 000 от 22 км. С такой точностью измеряют линии высокоточными ме˝тодами. Поэтому и считают, что кривизну Земли можно не учитывать и линии ме˝стности проецировать на горизонтальную плоскость на площади 22 км · 22 к˝м≈ 500 êì2 = 50 000 га. Это довольно большая площадь, если учесть, что площадь зем˝лепользования коллективных хозяйств в центральной полосе России близка к 5˝000...10 000 га.

Углы, измеряемые на местности, — это горизонтальные углы˝ и

углы наклона (вертикальные). Принцип измерения горизонта˝ль-

ного угла состоит в том, что через вершину угла À (ðèñ. 1.4) ìûñ-

ленно проводят горизонтальную плоскость Ì, касательную к уро-

Рис. 1.4. Горизонтальный угол и углы наклона

16

венной поверхности в точке À. Затем направления линий ÀÂ è ÀÑ

местности проецируют вертикальными плоскостями ν1 è ν2, проходящими через отвесную линию ÀÀ1, на горизонтальную плоскость и в пересечении вертикальных и горизонтальных пло˝скостей получают линии Ab è Àñ (горизонтальные проложения).

Óãîë β, заключенный между линиями Ab è Àñ, является горизонтальным. Следовательно, горизонтальным называют угол, заклю-

ченный между проекциями линий местности на горизонтальн˝ую плоскость.

Для получения представления о повышениях и понижениях

земной поверхности измеряют углы наклона ν1 è ν2, заключенные между направлениями линий местности ÀÂ, ÀÑ и их проекциями Ab, Ac на горизонтальную плоскость. Углом наклона называют

угол, образованный линией местности и горизонтальной пло˝ско-

ñòüþ. Óãîë ν1, расположенный ниже горизонтальной плоскости, называют отрицательным углом наклона, и перед его числовым

значением ставят знак минус, а угол ν2, расположенный над горизонтальной плоскостью, — положительным углом наклона, и перед

его числовым значением ставят знак плюс.

Измерив на местности длину линии ÀÂ = D (ñì. ðèñ. 1.3, á) è

угол наклона ν, горизонтальное проложение ab = s вычисляют по формуле

Вместо вычисления s по этой формуле или для контроля вы- числения s можно в результат измерения D ввести поправку D на наклон линии к горизонту, которая показывает, насколько к˝атетs

короче гипотенузы D. Тогда

отсюда следует, что

D = D – s.

Подставив в это равенство значение s из формулы (1.1), полу- чим

D = D – Dcos ν = D(1 – cos ν)

èëè

Вычисляя D, определяют горизонтальное проложение по формуле (1.2). Поправку D всегда вычитают из результата измерения D, так как катет всегда короче гипотенузы.

17

1.6. ВЫСОТЫ ТОЧЕК МЕСТНОСТИ И ПРЕВЫШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

При использовании изображения земной поверхности на пло˝- скости (плане, карте) для составления проекта оросительны˝х или осушительных систем, размещения земельных участков для м˝еха-

низированной обработки и т. д. требуется иметь не только о˝черта-

ния объектов в горизонтальной проекции, но и представлени˝е о неровностях земной поверхности, крутых и пологих местах, ˝пре-

вышения точек.

Неровности земной поверхности характеризуются высотами˝

точек. Высотой точки называют отрезок отвесной линии (расстояние) от этой точки до уровенной поверхности, принятой за на˝чало

счета высот (рис. 1.5). Обычно высоту точки определяют относи˝- тельно уровенной поверхности океана (геоида)1. Если высоту оп-

ределяют относительно какой-либо уровенной поверхности˝, проходящей через произвольную точку, то высоту называют условной.

Отрезки Bb è Ññ (см. рис. 1.5) — высоты соответственно точек Â è Ñ земной поверхности, а отрезки Bb′ è Ññ′ — условные высоты этих точек. Обычно высоты точек обозначают буквой Í. Например, ÍÂ — высота точки Â. Разность высот точек называют превышением между точками и обозначают буквой h. Например, отрезок

Ññ′ — превышение точки Ñ над точкой Â. Превышение в направлении с точки Â на точку Ñ положительно, поэтому его сопровож-

дают знаком плюс; превышение точки Ñ на точку Â отрицательно и его сопровождают знаком минус.

Высоты точек земной поверхности преимущественно являют˝ся положительными и лишь для точек, расположенных ниже урове˝н-

ной поверхности океана, например на Прикаспийской низмен˝-

ности, — отрицательными (до –28 м). В России началом счета высот служит нуль Кронштадтского футштока2, на котором чертой

отмечен средний уровень воды в Финском заливе.

Если для небольшого расстояния между точками À è Â (ñì.

ðèñ. 1.3, á) не учитывать кривизну Земли и уровенную поверх-

ность принять за плоскость, то превышение точки Â над точкой À

можно вычислить по горизонтальному проложению ab = s и углу наклона ν, пользуясь формулой

(знак превышения зависит от знака угла наклона), а высоту т˝очки Â (ÍÂ), зная высоту точки À (ÍÀ), — по формуле

1Высоту точки над поверхностью геоида называют ортометрической, а над поверхностью земного эллипсоида — геодезической.

2Кронштадтский футшток — медная доска с горизонтальной ˝чертой, вделанная в устой моста Обводного канала.

18

Рис. 1.5. Схема высот точек местности и превышений между ними˝

Эту формулу читают так: высота точки в конце линии равна высоте точки в начале линии плюс превышение между ними.

1.7. КАРТА, ПЛАН, ПРОФИЛЬ

На картах изображают обычно поверхность всей Земли или ее˝

частей (материков, стран, областей, районов). С геометричес˝кой точки зрения карта представляет более или менее искаженн˝ое

изображение земной поверхности. Это объясняется тем, что ˝сферическую поверхность Земли невозможно изобразить на бум˝аге

без искажений, так же как нельзя поверхность выпуклого не˝элас-

тичного предмета развернуть на плоскости без разрывов. По˝этому при построении карт пользуются различными картографиче˝скими проекциями, в которых по определенному математическому з˝ако-

ну сначала строят географическую сетку меридианов и пара˝ллелей, а затем по ней наносят детали местности. Существует бо˝льшое число картографических проекций, каждой из них свойст˝венны искажения либо форм изображаемых объектов, либо соотно˝- шения их площадей, либо того и другого.

Чем больше изображаемая на карте территория, тем с бó ëüøè-

ми искажениями получают на карте объекты. С этой точки зре˝ния

картой называют уменьшенное, построенное в картографической проекции, обобщенное изображение поверхности Земли1.

Если для построения карты точки и линии местности проеци-˝ руют нормалями на поверхность эллипсоида (см. рис. 1.3, à), а затем поверхность эллипсоида по определенным математичес˝ким законам изображают на плоскости, то для построения плана ˝точки и линии местности проецируют перпендикулярами (ортогона˝льно) на горизонтальную плоскость и полученное на ней гориз˝онтальное проложение участка земной поверхности (рис. 1.6)

1В учебниках по картографии дается более широкое определе˝ние карты. Изу- чением геодезических работ, при проведении которых учиты˝вается кривизна Земли, занимается особая дисциплина — высшая геодезия.

19

Рис. 1.6. Проектирование участка местности на горизонтальну˝ю плоскость à() и план участка (á)

20