- •Основы маТеМатического анализа
- •Оглавление
- •Дидактический план
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Перечень умений
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовые последовательности
- •1.2. Предел последовательности
- •1.3. Предел функции
- •1.4. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности (X →∞)
- •1.5. Бесконечно малые функции
- •1.6. Основные свойства бесконечно малых
- •1.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •1.8. Бесконечно большие функции
- •1.9. Связь предела и бесконечно малых
- •1.10. Правила предельного перехода
- •1.11. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции. Ее геометрический смысл
- •2.2. Дифференциал функции, его геометрический смысл
- •2.3. Общее представление о линеаризации функции
- •2.4. Основные правила дифференцирования функций
- •2.5. Монотонные функции. Точки экстремума
- •2.6. Производные высших порядков
- •2.7. Формула Тейлора (до второго порядка включительно)
- •2.8. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •2.9. Асимптоты
- •2.10. Общая схема исследования функции. Построение графика
- •3. Элементы интегрального исчисления
- •3.1. Понятие первообразной. Основные правила интегрирования
- •3.2. Основные методы интегрирования
- •Основных интегралов (c – постоянная)
- •3.3. Интеграл и задача об определении площади
- •3.4. Определенный интеграл
- •3.5. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства
- •7.Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •8.Теорема об оценке интеграла.
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1. Общие понятия и определения
- •4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •4.3. Способы интегрирования уравнений первого порядка
- •4.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
- •Тренинг умений
- •1. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1 Задание
- •Решение
- •Cамостоятельно найдите производные:
- •2. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно найдите интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
- •3. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно методом интегрирования по частям найдите интегралы:
- •4. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4 Задание 1
- •Решение
- •Задание 2
- •Решение
- •Самостоятельно вычислите площадь, ограниченную кривыми:
- •Самостоятельно найдите общее решение дифференциальных уравнений:
- •Глосарий
- •Матиматика (курс 4) юнита 3
2.6. Производные высших порядков
Рассмотрим дифференцируемую функцию f(x) и найдем ее производную. Эта производная является функцией переменнойx. Найдем ее производную, если она существует:.
Полученную новую функцию называют второй производной, или производной второго порядка функции f(x) и обозначают.
Продифференцировав вторую производную (если это возможно), получим производную третьего порядка: и т.д.
Определение. Производной n-го порядка функции f(x)называется первая производная от (n–1)-й производной:
Заметим, что для обозначения производных выше третьего порядка штрихи не используют, а порядок производной пишут сверху в круглых скобках: . Производные функции выше первого порядка, которую называют просто производной, называютсяпроизводными высших порядков.
2.7. Формула Тейлора (до второго порядка включительно)
Пусть функция f(x) определена в точке и ее окрестности и имеет там непрерывные производные до третьего порядка включительно. Тогда в любой точкеxиз этой окрестности функцию можно представить в виде многочлена второго порядка следующим образом:
Это представление функции называется формулой Тейлора функции f(x), а последнее слагаемоеназывают остаточным членом. При малыхявляется бесконечно малой более высокого порядка, чем.
Известные нам элементарные функции представляются многочленами от xв окрестности точки:
Формула Тейлора при носит название формулы Маклорена.
2.8. Выпуклость функции. Точки перегиба
Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале [a,b].
Определение.Функцияf(x)выпукла на интервале [a, b], если касательная к графику в каждой точке, лежит не выше графика функции (под графиком):.
На рис. 19 изображена функция, выпуклая на [a,b]. Заметим, что для выпуклой функции справедливо утверждение: график функции на интервале [a,b] лежит под хордойAB. Характер выпуклости дважды дифференцируемой функции определяется знаком ее второй производной.
Рис. 19 Рис. 20
Справедливо следующее утверждение: пусть f(x) имеет вторую производнуюво всех точках интервала [a,b] идля всех, тогда функцияf(x) выпукла на [a,b].
В противном случае, если для всех, тоf(x) не является выпуклой на [a,b] и говорят, что она вогнута на этом интервале (рис. 20).
Определение.Точканазываетсяточкой перегиба, если точкаотделяет выпуклую часть графика от вогнутой. Очевидно, что в точке перегиба. Это условие являетсянеобходимым условием точки перегиба.
Достаточное условие точки перегиба.Если в точкеи вторая производная слева и справа от этой точки имеет разные знаки, то– точка перегиба функции.
2.9. Асимптоты
Определение.ПрямаяLназываетсяасимптотойк кривой, если расстояниеdот точкиМна кривой до данной прямойLстремится к нулю при неограниченном удалении точкиМот начала координат.
Асимптоты бывают двух типов: вертикальные и наклонные.
Прямая x=aявляется вертикальной асимптотой к графику функцииy=f(x), если точкаaесть точка бесконечного разрыва функции, т.е.(рис. 21). (Например, если знаменатель обращается в нуль приx =a, числитель же не равен нулю приx=a).
Рис. 21 Рис. 22
Прямая y = kx+b является наклонной асимптотой к графику функции y = f(x), если существуютконечные пределыи(рис. 22).
Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота y=b, еслиk= 0. Заметим, что при отыскании наклонных асимптот следует отдельно рассматривать случаи.