Основы маТеМатического анализа

№ п/п

Умение

Алгоритм

1

Вычисление производной сложной функции . Найти значение производной в заданной точкех=х₀

1. Выделить все сложные функции, входящие в данную.

2. Выписать «цепочку» элементарных функций, для каждой сложной.

3. Найти производные каждой элементарной функции, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования.

4. Записать производные сложных функций, перемножив производные элементарных функций, входящих в «цепочку».

5. Подставить значение х=х₀в выражение производной

2

Найти стационарные точки функции у = f(x), определить интервалы монотонности и характер экстремумов.

1. Найти производную данной функции.

2. Определить точки, в которых (стационарные точки).

3. Отметить на числовой оси найденные точки и точки разрыва функции (если такие есть).

4. В каждом из полученных интервалов определить знаки производной .

5. Выписать интервалы монотонности, используя достаточные условия: при функция убывает, при– возрастает.

6. Найти точки min и max функции, используя достаточные условия: если при переходе слева направо через стационарную точку меняет знак с минуса на плюс, то данная точка – точка min, если жеменяет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет max.

7. Вычислить значения функции в точках экстремума

3

Найти неопределенный интеграл , используя метод интегрирования по частям

1. Убедиться, что подынтегральная функция f(x) относится к классу функций, интегрируемых этим методом.

2. Представить подынтегральное выражение f(x)dxв виде.

3. Найти duи.

4. Применить формулу.

5. Найти упрощенный интеграл , выписать ответ

4

Применение определенного интеграла для вычисления площади плоской фигуры:

а) ограниченной осью 0Хи графиком кривой у = f(x);

б) ограниченной кривыми у=f(x) ии прямымих=а,х=b

1. Построить графики граничных функций. Определить искомую фигуру.

2. Найти пределы интегрирования х=а,х=b.

3. Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла по формулам:

а) (еслиf(x)0 на [a,b]) или(еслиf(x) <0 на [a,b]);

б) .

4. Воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, вычислить полученные интегралы.

5. Вычислить искомую площадь

№ п/п

Умение

Алгоритм

5

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Представить правую часть уравнения в виде .

2. Представляя производную в виде , «разделить» переменные и записать уравнение.

3. Проинтегрировать обе части полученного уравнения .

6

Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Составить характеристическое уравнение . Найти его корни.

2. Найти фундаментальную систему решений однородного уравнения.

3. Записать общее решение однородного уравнения

4. Найти частное решение неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.

5. Выписать общее решение неоднородного уравнения