- •Основы маТеМатического анализа
- •Оглавление
- •Дидактический план
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Перечень умений
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовые последовательности
- •1.2. Предел последовательности
- •1.3. Предел функции
- •1.4. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности (X →∞)
- •1.5. Бесконечно малые функции
- •1.6. Основные свойства бесконечно малых
- •1.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •1.8. Бесконечно большие функции
- •1.9. Связь предела и бесконечно малых
- •1.10. Правила предельного перехода
- •1.11. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции. Ее геометрический смысл
- •2.2. Дифференциал функции, его геометрический смысл
- •2.3. Общее представление о линеаризации функции
- •2.4. Основные правила дифференцирования функций
- •2.5. Монотонные функции. Точки экстремума
- •2.6. Производные высших порядков
- •2.7. Формула Тейлора (до второго порядка включительно)
- •2.8. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •2.9. Асимптоты
- •2.10. Общая схема исследования функции. Построение графика
- •3. Элементы интегрального исчисления
- •3.1. Понятие первообразной. Основные правила интегрирования
- •3.2. Основные методы интегрирования
- •Основных интегралов (c – постоянная)
- •3.3. Интеграл и задача об определении площади
- •3.4. Определенный интеграл
- •3.5. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства
- •7.Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •8.Теорема об оценке интеграла.
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1. Общие понятия и определения
- •4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •4.3. Способы интегрирования уравнений первого порядка
- •4.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
- •Тренинг умений
- •1. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1 Задание
- •Решение
- •Cамостоятельно найдите производные:
- •2. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно найдите интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
- •3. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно методом интегрирования по частям найдите интегралы:
- •4. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4 Задание 1
- •Решение
- •Задание 2
- •Решение
- •Самостоятельно вычислите площадь, ограниченную кривыми:
- •Самостоятельно найдите общее решение дифференциальных уравнений:
- •Глосарий
- •Матиматика (курс 4) юнита 3
1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
2. Дана функция y = f(x). Требуется:
1) найти область определения функции;
2) найти точки пересечения функции y=f(x) c осью0X(если это возможно);
3) исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность;
4) найти точки разрыва;
5) найти вертикальные и наклонные асимптоты;
6) найти интервалы монотонности;
7) найти точки экстремума;
8) найти точки перегиба и характер выпуклости;
9) построить график функции;
10) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком y=f(x), осью 0X и прямыми x = a и x = b. Функция y=f(x), отрезок [a, b] даны в табл. 1;
11) проверить свойство аддитивности по области интегрирования для определенного интеграла
(a<c<b)
при следующих значениях параметров:
a = –1, b = 35, c – номер студента в списке группы;
в качестве функции f(x) рассмотреть следующие три функции:
f(x) = 1, f(x) = x, f(x) = x2.
3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
1. x2+1
2. e-2xcos3x
3. x+5
4. (x+1)e-3x
5. ex(2x+1)
6. x2–2
7. xcosx
8. 6xe-x
9. xe2x
10. 3xe-3x
11. 5е2xsin2x
12. xe-2x
13. 2xex
14. exsin2x
15. (x-2)e4x
16. 5xe-2x
17. (x+1)ex
18. 3cos2x
19. e2x
20. e-xcosx
21. (x+2)sinx
22. 2x –1
23. 3xe2x
24. 4xex
25. 3x+1
26. cosx
27. e-xcos2x
28. sin2x
29. xe3x
30. 5e3x
Таблица 1
№ п/п |
Функция y=f(x) |
Пределы интегрирования | |
a |
b | ||
1 |
1 |
5 | |
2 |
–2 |
1 | |
3 |
–3 |
3 | |
*4 |
–1 |
1 | |
5 |
y=(x+1)3(2x–3) |
0 |
1 |
6 |
0 |
1 | |
*7 |
y=2x3+3x2–36x+15 |
–3 |
0 |
8 |
–2 |
2 | |
*9 |
–1 |
0 | |
10. |
0 |
2 | |
11 |
0 |
1 | |
12 |
0 |
2 | |
13 |
1 |
2 | |
14 |
y = xex |
–2 |
0 |
15 |
–1 |
1 | |
16 |
1 |
5 | |
17 |
y = (x–1)(x+2)2 |
–2 |
1 |
18 |
–3 |
3 | |
*19 |
–1 |
1 | |
№ п/п |
Функция y=f(x) |
Пределы интегрирования | |
a |
b | ||
20 |
0 |
1 | |
*21 |
–3 |
0 | |
22 |
0 |
1 | |
23 |
–2 |
2 | |
*24 |
–1 |
0 | |
25 |
0 |
2 | |
26 |
0 |
1 | |
27 |
0 |
2 | |
28 |
1 |
2 | |
29 |
y = xex |
–2 |
0 |
30 |
–1 |
1 |
Примечание.Знаком (*) отмечены задания, в которых координаты точек пересечения графика с осью0Хможно не вычислять.
Тренинг умений
1. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1 Задание
Вычислить производную функции y в точке x = 1
.