- •Основы маТеМатического анализа
- •Оглавление
- •Дидактический план
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Перечень умений
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовые последовательности
- •1.2. Предел последовательности
- •1.3. Предел функции
- •1.4. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности (X →∞)
- •1.5. Бесконечно малые функции
- •1.6. Основные свойства бесконечно малых
- •1.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •1.8. Бесконечно большие функции
- •1.9. Связь предела и бесконечно малых
- •1.10. Правила предельного перехода
- •1.11. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции. Ее геометрический смысл
- •2.2. Дифференциал функции, его геометрический смысл
- •2.3. Общее представление о линеаризации функции
- •2.4. Основные правила дифференцирования функций
- •2.5. Монотонные функции. Точки экстремума
- •2.6. Производные высших порядков
- •2.7. Формула Тейлора (до второго порядка включительно)
- •2.8. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •2.9. Асимптоты
- •2.10. Общая схема исследования функции. Построение графика
- •3. Элементы интегрального исчисления
- •3.1. Понятие первообразной. Основные правила интегрирования
- •3.2. Основные методы интегрирования
- •Основных интегралов (c – постоянная)
- •3.3. Интеграл и задача об определении площади
- •3.4. Определенный интеграл
- •3.5. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства
- •7.Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •8.Теорема об оценке интеграла.
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1. Общие понятия и определения
- •4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •4.3. Способы интегрирования уравнений первого порядка
- •4.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
- •Тренинг умений
- •1. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1 Задание
- •Решение
- •Cамостоятельно найдите производные:
- •2. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно найдите интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
- •3. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно методом интегрирования по частям найдите интегралы:
- •4. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4 Задание 1
- •Решение
- •Задание 2
- •Решение
- •Самостоятельно вычислите площадь, ограниченную кривыми:
- •Самостоятельно найдите общее решение дифференциальных уравнений:
- •Глосарий
- •Матиматика (курс 4) юнита 3
1.11. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции
Наиболее важным классом функций является класс непрерывных функций.
Определение. Функцияу=f(x) называетсянепрерывнойвточке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:или.
На рис. 6 изображена функция, непрерывная в точке , а на рис. 7 – разрывная, так как здесь для всехприращение функции Δyбудет больше величины “скачка” функции, равной величинеа.
Рис. 6
На рис. 7 видно, что при движении по графику функции к слева () значение функции приближается к числуA(не обязательно принимает это значение в точке). Говорят, что левый предел функции (или предел слева) при равенA. Записывают так:
.
Рис. 7
Аналогично при x, стремящемся ксправа (), функция имеет предел, равный числуB:.
Иными словами, чтобы функция x=f(x) была непрерывной в точке, должны выполняться следующие условия:
1) функция определена в точке , существуетf();
2) существуют левый и правый конечные пределы функции ;
3) выполняются равенства .
Данное определение непрерывности функции в точке эквивалентно следующему.
Определение.Функцияf(x) непрерывна в точке, если.
Верны следующие теоремы.
Теорема 1.Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Теорема 2.Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций в данной точке есть функция, непрерывная в этой точке (для частного – знаменатель не должен обращаться в нуль в данной точке).
Теорема 3 (непрерывность сложной функции). Пустьx=f(x) непрерывна в точке, аz=g(y) непрерывна в точке, тогда сложная функцияz=g(f(x)) непрерывна в точке.
Точки разрыва.Напомним, что функцияa=f(x) непрерывна в точке, если выполнены равенства.
Если хотя бы одно из равенств не выполнено в точке , то говорят, что точкаявляется точкой разрыва функцииy=f(x) (функция терпит разрыв в этой точке).
На рис. 8 и 9 функция f(x) имеет конечные пределы справаи слева. Эти пределы равны, но значение функции в точкене существует (рис. 8) или(рис. 9). Говорят, что в точкефункцияy=f(x) имеет устранимый разрыв первого рода. Переопределив функцию в точке(рис.9), полагая, получим непрерывную в точкефункцию. Аналогично, доопределив в точкефункцию, представленную на рис. 8, полагая, вновь получим непрерывную в точкефункцию.
Рис. 8
Рис. 9
Неустранимый разрыв первого рода изображен на рис. 10. Здесь , хотя оба предела существуют и конечны. Функция в точкеимеет конечный “скачок”.
Рис. 10
Наконец, – точка разрыва второго рода для функцииy=f(x), если хотя бы один из пределовилибесконечен (рис. 11, 12).
Рис. 11
Рис. 12
Замечание.Точкаотносится к точкам разрыва второго рода также и в случае, когда хотя бы один из пределов функции справа или слева не существует. Например,в точкеx= 0 имеет разрыв второго рода.
Функции, непрерывные в каждой точке своей области определения, образуют наиболее важный класс функций. Они обладают многими замечательными свойствами. Например, для таких функций справедлива теорема Вейерштрасса: функции, непрерывные на отрезке [a,b], достигают на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения (внутри или на границах отрезка).