- •Основы маТеМатического анализа
- •Оглавление
- •Дидактический план
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Перечень умений
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовые последовательности
- •1.2. Предел последовательности
- •1.3. Предел функции
- •1.4. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности (X →∞)
- •1.5. Бесконечно малые функции
- •1.6. Основные свойства бесконечно малых
- •1.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •1.8. Бесконечно большие функции
- •1.9. Связь предела и бесконечно малых
- •1.10. Правила предельного перехода
- •1.11. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции. Ее геометрический смысл
- •2.2. Дифференциал функции, его геометрический смысл
- •2.3. Общее представление о линеаризации функции
- •2.4. Основные правила дифференцирования функций
- •2.5. Монотонные функции. Точки экстремума
- •2.6. Производные высших порядков
- •2.7. Формула Тейлора (до второго порядка включительно)
- •2.8. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •2.9. Асимптоты
- •2.10. Общая схема исследования функции. Построение графика
- •3. Элементы интегрального исчисления
- •3.1. Понятие первообразной. Основные правила интегрирования
- •3.2. Основные методы интегрирования
- •Основных интегралов (c – постоянная)
- •3.3. Интеграл и задача об определении площади
- •3.4. Определенный интеграл
- •3.5. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства
- •7.Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •8.Теорема об оценке интеграла.
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1. Общие понятия и определения
- •4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •4.3. Способы интегрирования уравнений первого порядка
- •4.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
- •Тренинг умений
- •1. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1 Задание
- •Решение
- •Cамостоятельно найдите производные:
- •2. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно найдите интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
- •3. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно методом интегрирования по частям найдите интегралы:
- •4. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4 Задание 1
- •Решение
- •Задание 2
- •Решение
- •Самостоятельно вычислите площадь, ограниченную кривыми:
- •Самостоятельно найдите общее решение дифференциальных уравнений:
- •Глосарий
- •Матиматика (курс 4) юнита 3
3.5. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства
Впервые со словом “интеграл” и символом мы встретились, когда вводили понятие первообразнойF(x) для функции f(x)и неопределенного интеграла. Решая в предыдущем параграфе задачу о площади криволинейной трапеции, мы получили определенный интеграл . (Символ ∫происходит от вытянутой латинской буквыS, начальной в слове summa). Безусловно, это не случайно. Оказывается, с помощью неопределенного интеграла (первообразной) получен способ вычисления определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла применяетсяформула Ньютона-Лейбница:
,
где F(x) – одна из первообразныхf(x), и определенный интегралравен разности значения первообразнойF(x) в верхнем пределе интегрированияF(b) минус значениеF(x) в нижнем пределе интегрированияF(a).
Вспомним, что при вычислении площади криволинейной трапеции в пп. 3.3 мы уже встречались с этой формулой.
Разность F(b)–F(a) символически обозначают.
Пример 1.Вычислить.
Вычислим сначала первообразную от , затем по формуле Ньютона-Лейбница:
.
Пример 2.Вычислить площадьS, ограниченную кривойи осью0X.
Начертим график параболы и рассмотрим искомую площадьS(на рис. 27 площадьSзаштрихована).
Рис. 27
Было показано, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной функцией f(x),на интервале [a,b], вычисляется как. В нашем случае на отрезке [0, 2] функция, и искомая площадь может быть вычислена по формуле, так какна отрезке [0, 2].
Итак, .
Основные свойства определенного интеграла:
1. .
2. .
3. c – постоянная.
4. Если интервал интегрирования [a,b] разбит точкойcна части [a,b] и [c,b], то.
Геометрически выполнение свойства 4 очевидно (рис. 28).
Рис. 28
5. Если функция на интервале [a,b], то. Еслии, то.
6. Если для всех выполняется условие, то.
Геометрический смысл свойства 6 определенного интеграла показан на рис. 29.
Рис. 29
Доказательство всех свойств 1 – 6 очевидно следует из определения определенного интеграла.
7.Теорема о среднем значении определенного интеграла.
Если f(x) напрерывна на [a,b], то существует такая точка ξ внутри интервала, что.
Геометрически последнее утверждение означает: существует такая точка ξ на интервале [a,b], что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривойy=f(x), равна площади прямоугольника с основанием (b–a) и высотой(рис. 30).
Рис. 30
8.Теорема об оценке интеграла.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], аm– наименьшее,M– наибольшее значения функции на [a,b], тои(рис. 31).
Рис. 31
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 3.Вычислить.
Вычислим этот интеграл, сделав подстановку u= lnx,. Функция lnxи ее производная непрерывны на интервале (1, 2). При замене переменной в определенном интеграле отпадает необходимость возвращения к первоначальной переменной, но в интеграле следует поменять пределы интегрирования.
Положим x= 1, тогдаu= lnx = ln1 = 0; еслиx = 2, тоu= lnx = ln2, и новые пределы интегрирования по переменнойuбудут отu = 0 доu= ln 2:
.
Пример 4. Вычислить . Заметим, что подынтегральная функцияy =sin x нечетная, а область интегрирования – отрезок, симметричный относительно начала координат. Из геометрических соображений такой интеграл будет равен нулю (рис. 32).
Рис. 32
Действительно,
.
Интеграл от нечетной функции на симметричном относительно начала координат отрезке равен нулю.
Если же функция y=f(x) четная (рис. 33), то.
Рис. 33
Пример 5.
или .
Интеграл от четной функции на симметричном относительно начала координат отрезке [–a,a] равен удвоенному интегралу по отрезку [0,a].
Рассмотрим, как применяется формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
Пример 6.Вычислить.
Пусть u=x,. Тогда.
.
Мы ознакомились в этой главе только с основными понятиями интегрального исчисления. Многие методы вычисления первообразной, несобственные интегралы, приложения определенного интеграла, вопросы приближенного вычисления и др. не входят в круг рассмотрения этого пособия.