- •Основы маТеМатического анализа
- •Оглавление
- •Дидактический план
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Перечень умений
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовые последовательности
- •1.2. Предел последовательности
- •1.3. Предел функции
- •1.4. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности (X →∞)
- •1.5. Бесконечно малые функции
- •1.6. Основные свойства бесконечно малых
- •1.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •1.8. Бесконечно большие функции
- •1.9. Связь предела и бесконечно малых
- •1.10. Правила предельного перехода
- •1.11. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции. Ее геометрический смысл
- •2.2. Дифференциал функции, его геометрический смысл
- •2.3. Общее представление о линеаризации функции
- •2.4. Основные правила дифференцирования функций
- •2.5. Монотонные функции. Точки экстремума
- •2.6. Производные высших порядков
- •2.7. Формула Тейлора (до второго порядка включительно)
- •2.8. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •2.9. Асимптоты
- •2.10. Общая схема исследования функции. Построение графика
- •3. Элементы интегрального исчисления
- •3.1. Понятие первообразной. Основные правила интегрирования
- •3.2. Основные методы интегрирования
- •Основных интегралов (c – постоянная)
- •3.3. Интеграл и задача об определении площади
- •3.4. Определенный интеграл
- •3.5. Вычисление определенного интеграла. Основные свойства
- •7.Теорема о среднем значении определенного интеграла.
- •8.Теорема об оценке интеграла.
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1. Общие понятия и определения
- •4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •4.3. Способы интегрирования уравнений первого порядка
- •4.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
- •Тренинг умений
- •1. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1 Задание
- •Решение
- •Cамостоятельно найдите производные:
- •2. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно найдите интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
- •3. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3 Задание
- •Решение
- •Самостоятельно методом интегрирования по частям найдите интегралы:
- •4. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4 Задание 1
- •Решение
- •Задание 2
- •Решение
- •Самостоятельно вычислите площадь, ограниченную кривыми:
- •Самостоятельно найдите общее решение дифференциальных уравнений:
- •Глосарий
- •Матиматика (курс 4) юнита 3
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие задания предложенному алгоритму |
1 |
Выделить все сложные функции, входящие в данную |
; |
2 |
Выписать «цепочку» элементарных функций для каждой сложной | |
3 |
Найти производные элементарных функций, пользуясь правилами дифференцирования | |
4 |
Записать производные сложные функции, перемножив производные элементарных функций, входящих в «цепочку» | |
5 |
Подставить значение в выражение производной |
Здесь аргумент sinxиcosxзадается в радианной мере. |
Cамостоятельно найдите производные:
1.1. в точке x=1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2 Задание
Найти стационарные точки, интервалы монотонности и экстремумы функции .
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие задания предложенному алгоритму |
1 |
Найти производную данной функции | |
2 |
Найти стационарные точки |
при х = 0. Точка х= –1 – точка разрыва функцииy(x) (х= –1 не входит в область определения функции) |
3 |
Отметить на числовой оси найденные точки | |
4 |
В каждом из полученных интервалов определить знаки производной |
|
5 |
Выписать интервалы монотонности |
Функция возрастает на интервале (–1, 0), ; убывает на интервалах |
6 |
Найти точки minиmaxфункции |
Точка х= 0 – точкаmax(производная меняет знак с (+) на (–)) |
7 |
Вычислить значение функции в точках экстремума |
Самостоятельно найдите интервалы монотонности и точки экстремумов функции:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
3. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3 Задание
Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие задания предложенному алгоритму |
1 |
Убедиться, что подынтеграль-ная функция относится к классу функций, интегрируе-мых по частям |
Подынтегральная функция имеет вид, где(многочлен степениm=1),; следует применить метод интегрирования по частям |
2 |
Представить подынтегральное выражение f(x)dx в виде |
Здесь. Для подынтегрального выражения видарекомендуется принять, поэтому |
3 |
Найти du и |
du=5dx; |
4 |
Применить формулу | |
5 |
Найти упрощенный интеграл выписать ответ |
; |
Самостоятельно методом интегрирования по частям найдите интегралы:
3.1.
3.2.
Указание: в качествеuвзять.
3.3.
3.4.
Указание: применить дважды формулу интегрирования по частям.
3.5.
4. Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4 Задание 1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OXи кривой(случайa)