pos322641

62

2.2.3 Идеальный конденсатор

В параграфе 1.1.1 уже рассматривалось понятие емкости одного заряженного тела. В данном параграфе рассмотрим емкость двух проводящих заряженных тел разделенных диэлектриком.

Электрическая емкость вообще характеризует свойство проводящих тел заряжаться под влиянием электрического поля, а также накапливать в поле этих тел электрическую энергию.

Конструктивно конденсаторы представляют собой две пластины, называемые обкладками (рис. 2.12.). Обкладки разделены диэлектриком. Их заряжают, присоединив к разноименным зажимам одного источника. Тогда заряды этих тел будут равны по величине и противоположны по знаку (q1 = - q2, причем |q1| = |- q2| = |q|). Образование зарядов на двух телах в этом случае можно рассматривать как перенос электронов с тела, заряжаемого положительно, на тело, заряжаемое отрицательно. Заряд каждого тела будет пропор-

ционален разности потенциалов ϕ1 −ϕ2 :

Тогда:

следовательно, емкость численно равна отношению заряда одного из тел к разности потенциалов между ними. Емкость системы в этом случае, как и в случае уединенного проводника, зависит от формы, размеров, поверхности тел, их взаимного расположения, а также от диэлектрической проницаемости среды εr . При постоянном значении всех перечисленных величин, от которых зависит потенциал тел, величина С также постоянна. В общем случае, когда все эти величины под влиянием каких-либо причин изменяются, емкость не остается постоянной.

63

Идеальным конденсатором будем называть устройство, состоящее из двух проводящих пластин, разделенных диэлектриком, для которого учиты-

вают только емкость С (способность накапливать заряды) и энергию в электрическом поле.

Свойством проводимости диэлектриком тока (электронной, ионной и т.д.) с преобразованием электрической энергии в тепловую пренебрегают, как и наличием коэффициента самоиндукции и взаимной индукции. Другими словами: R = 0, L = 0, M = 0.

Величина тока в идеальном конденсаторе обусловлена исключительно величиной плотности тока электрического смещения δсм = ∂D /∂t, где D -

вектор электрического смещения. Если охватить одну из обкладок замкнутой поверхностью в виде параллелепипеда (рис. 2.12.), то в соответствии с первым законом Кирхгофа:

где δпр - плотность тока проводимости.

Следовательно: iпр = iсм .

Когда по проводнику, пересекающему поверхность LFMP направлен к обкладке ток проводимости iпр, в диэлектрике образуется ток смещения, проходящий сквозь поверхность OKNQ изнутри наружу в точности равный току iпр в проводнике. Линии тока смещения в диэлектрике являются продолжением линий тока в проводнике. Таким образом, цепь электрического тока является замкнутой.

Величина тока iпр численно равна количеству электрических зарядов, пересекающих сечение проводника в единицу времени. Очевидно, на токае же

количество зарядов в единицу времени должен измениться заряд q пластины:

64

где dq - скорость изменения заряда q. dt

Если напряжение источника энергии изменяется по синусоидальному закону u(t)=UmSIN(ωT +α), то:

Амплитуда синусоидального тока:

где 1ωC = xC - сопротивление конденсатора синусоидальному току.

Соотношение (2.14) называют законом Ома для амплитудных значений тока и напряжения на конденсаторе.

В соответствии с формулами

(2.12) и (2.14) можно сказать, что ве-

личина сопротивления идеального кон-

денсатора току обратно пропорцио-

нальна произведению величины емкости и скорости изменения напряжения на конденсаторе.

Для постоянного напряжения и тока идеальный конденсатор оказывает бесконечное сопротивление.

Таким образом, физическая природа сопротивления идеальных пассивных элементов (резистора, ка-

тушки индуктивности и конденсатора) существенно различна.

65

Пример 2.6.

Рассчитать емкость плоского конденсатора в общем виде (рис. 2.12.), пренебрегая искажением поля у краев пластин и считая поле между пластинами однородным.

Решение.

Для случая l >> d; b >> d можно считать при параллельном расположении пластин и идеальном диэлектрике, что в любой плоскости между пластинами и параллельной пластинам все точки одинаково расположены по отношению к заряженным пластинам и, следовательно, имеют равные потенциалы и характеристики E и D. Если воспользоваться теоремой Гаусса для параллелепипеда LFMPNQOK, учитывая, что поток вектора D через грань LFMP равен нулю, из-за отсутствия поля вне объема конденсатора, поток вектора электрической индукции будет равен:

∫ DdS = ∫ DdS = σS =Q ,

OKNQ

где σ - поверхностная плотность электрических зарядов пластины; S – площадь поверхности электрода.

Так как величина заряда пластины Q не зависит от размера LO, следовательно, учитывая D = const, приходим к выводу о равномерности поля для всех точек внутри конденсатора. Уменьшая размеры параллелепипеда до элементарного объема, можно получить равенство D S = σ S , или D = σ для любой точки на поверхности пластины.

По определению:

66

Пример 2.7.

Получить формулу для емкости одножильного кабеля (рис. 2.13.) в общем виде. Размеры указаны на чертеже. R1 – радиус внутреннего электрода (жилы), а R2 – внутренний радиус второго электрода (оболочки). Диэлектри-

ческая проницаемость диэлектрика - εr . L – длина кабеля.

Решение.

Рассмотрим сечение кабеля на рис. 2.14. Внутренняя жила кабеля 1 подключена к положительному зажиму источника питания, а оболочка 2 подключена к отрицательному зажиму источника питания. В результате происходит зарядка жилы зарядом + q и оболочки зарядом – q.

Рассмотрим характер электростатического поля, созданного электродами. Выбираем произвольную точку а в диэлектрике и соединим центральную точку 0 с точкой а отрезком 0а.так, как свободные электрические заряды жилы и оболочки противоположного знака, то под действием сил притяжения они перемещаются на поверхность. Так как система проводников носит коаксиальный характер (соосный), то заря-

ды располагаются по поверхности

Рис. 2.13. К примеру 2.7.

проводников равномерно с плотностью σ1 и σ2 .

Выбираем на поверхности жилы на расстоянии х две одинаковые пло-

Пример 2.8.

Получить выражение для емкости единицы длины двухпроводной линии передачи электрической энергии длиной l с цилиндрическими проводами (рис. 2.15.) без учета влияния земли. При этом следует считать, что радиус провода R0 поперечного сечения проводов значительно меньше расстояния d0 между ними и εr ≈ 1.

Решение.

Для воздушных линий электропередачи обычно l >> d0 >> R0 и заряды распределяются равномерно по поверхности каждого провода и влиянием конечного размера длины можно пренебречь.

Результирующее электрическое поле можно рассчитать по принципу наложения двух электрических полей проводов (жил) заряженных линейными плотностями равных зарядов + τ1 и – τ2 по ве-

70

2.2.4 Схемы замещения реальных электротехнических устройств

В реальных электротехнических устройствах и электротехнических цепях происходят достаточно сложные процессы, основанные на рассмотренных электрофизических явлениях. С

протекание токов смещения и накопление энергии в электрическом поле. Так резистор для низких частот можно представить одним резисторным элементом R (рис. 2.16. а). Для высоких частот тот же резистор должен быть представлен уже иной схемой (рис. 2.16. б). В ней индуктивность L учитывает магнитный поток, сцепленный с резистором, а емкость С учитывает протекание тока смещения между зажимами резистора. Конденсатор на низких частотах замещают одним емкостным элементом (рис. 2.16. в), а на высоких частотах конденсатор представляют схемой (рис. 2.16. г). В этой схеме резистор R учитывает потери энергии в реальном диэлектрике, а L учитывает индуктивность подводящих контактов. Индуктивную катушку в первом приближении можно представить одним индуктивным элементом L (рис. 2.16. д). Более подробная схема замещения (рис. 2.16. е) учитывает тепловые потери в сопротивлении обмотки и в сердечнике, на котором они намотаны, а емкость С учитывает токи смещения между витками катушки. Совершенно так же с