pos322641

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Входные gkk и взаимные проводимость gki

имеют единицу измерения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

					151
узел, ограничивающий третью ветвь, то есть пятый узел. «Заземляем» пятый
узел φ5 = 0 и тогда φ4 = -E3.
	I1		1	I
				2
R1	E1	5		R2
4	I3	5		I4	2
J6	E3			R4
	E3			R4
	R7				I8
J5					I8
J5	I7			E8'
	I7			E8'
	E7'
				R8
	3
Рис.3.54. Упрощеная схема к примеру 3.12.

На третьем этапе составим стандартную систему трех уравнений относительно неизвестных потенциалов узлов φ1, φ2, φ3:


ϕG +ϕG +ϕG +ϕG = I ;
1	11	2	12		3	13		4	14		11

ϕG		+ϕG			+ϕG			+ϕG			= I			(3.83)
	21			22			23			24		22	;
1		2			3			4

ϕG +ϕG +ϕG +ϕG = I .
1	31	2		32	3		33	4		34
												33

Подставим в систему (3.83) формулы для вычисления коэффициентов, пользуясь известными правилами предыдущего параграфа:

																									E
		1			1						1											1			E	1
		1	+		1	)−ϕ					1			−ϕ i0+E								1		=		1	+J
ϕ (																					3									6	;
ϕ (																															;
1	R1				R2				2		R2					3						R1			R1
	R1				R2						R2											R1			R1

		1					1					1					1					1							E8 '
−ϕ		1		+ϕ (			1			+		1			+		1		)−ϕ			1		+0 =					E8 '			;								(3.84)
−ϕ				+ϕ (						+					+				)−ϕ					+0 =								;								(3.84)
	1 R					2 R						R					R				3 R								R
		2						2					4					8					8						8
		2						2					4					8					8						8
						1								1				1																	E8 '		E7
−ϕ i0−ϕ						1		+ϕ (						1		+		1		)+E			i0 = −J						−J					−	E8 '	−	E7	'
																																							.
																																							.
	1				2	R					3		R R									3						5					6		R R
						8								7				8																	8		7

Выполним подстановку параметров элементов в систему (3.84):

152

	1						1							1											200		100
	1						1							1											200		100
				+						)−ϕ2							−ϕ3i0+										=				+1
ϕ1(				+						)−ϕ2							−ϕ3i0+										=				+1
400						200							200												400		400
400						200							200												400		400
	1										1			1						1							1						100
−ϕ1	1				+ϕ2(						1	+		1				+		1			)−ϕ3				1			+0 =			100								(3.85)
−ϕ1					+ϕ2(							+						+					)−ϕ3							+0 =											(3.85)
	200								200					400						300							300					300
	200								200					400						300							300					300
									1							1				1														100				300
−ϕ i0−ϕ									1		+ϕ (					1			+	1					+ 0 = −1.5−1−									100		−		300
																								)
																								)
1						2	300						3	200						300														300				200
							300							200						300														300				200
Решаем систему уравнений (3.85) с помощью определителей:
								G12			G13																		(I11 −ϕ4G14)						G12			G13
			G11					G12			G13																		(I11 −ϕ4G14)						G12			G13
	=		G21					G22 G23							;											1 =			(I22 −ϕ4G24) G22									G23		;
			G31					G32			G33																		(I33 −ϕ4G34)						G32			G33
																																									(3.86)
						(I11 −ϕ4G14) G13																						G11		G12			(I11 −ϕ4G14)
		G11				(I11 −ϕ4G14) G13																						G11		G12			(I11 −ϕ4G14)
2 =		G21				(I22 −ϕ4G24) G23															;					3 =		G21		G22			(I22 −ϕ4G24)						.
		G31				(I33 −ϕ4G34) G33																						G31		G32		(I33 −ϕ4G34)
ϕ =	1			= 2,702B;										ϕ =						2		= −145,94B;										ϕ =				3	= −578,4B .
ϕ =				= 2,702B;										ϕ =								= −145,94B;										ϕ =					= −578,4B .
1																2																3

На четвертом этапе рассчитываем величины токов в ветвях схемы рис. 3.54 по закону Ома:

ϕ4 −ϕ1 +E1

= −200−2,702+100 = −0,257A;

400

ϕ −ϕ

2,702+145,94

= 0,743A;

200

ϕ −ϕ

0+145,94

= 0,365A;

(3.87)

400

ϕ3 −ϕ5 +E7 '

= −578,4−0+300 = −1,39A;

200

ϕ3 −ϕ2 +E8 '

= −578,4 +145,94 +100 = −1,1A.

300

На пятом этапе выполняем расчет остальных токов схемы рис. 3.53. по первому закону Кирхгофа:

153

I		' = I			+J			= −1,1+0,5 = −0,6A;
I		' = I			+J			= −1,1+0,5 = −0,6A;	для узла 6
	8			8		8
	8			8		8
I	7	' = I		7	+J	7		= −1,4−0,5 = −1,9A;	для узла 7
	7			7		7				(3.88)
I		= J			+J ;					(3.88)
I		= J			+J ;
	9		6		5
	9		6		5
I		= J			−I		= 1,5+ 0,257 = 1,757A.		для узла 4
	3		5		1
	3		5		1

На шестом этапе выполняем проверку результатов расчета для исходной схемы 3.53. по первому закону Кирхгофа:

−I		+I		−J			= 0,257 + 0,743−1 = 0;	для узла 1
−I		+I		−J			= 0,257 + 0,743−1 = 0;	для узла 1
	1		2			6
	1		2			6
−I	2	−I	4	−I		8	= −0,743+ 0,365+1,1 = 0;	для узла 2
	2		4			8
I	+I		+I			= −1,39+2,5−1,1 = 0;		для узла	(3.89)
I	+I		+I			= −1,39+2,5−1,1 = 0;		для узла	3
7		9			8
7		9			8
I1 +I3 −J5						= −0,257 +1,757−1,5 = 0.		для узла 4

Пример 3.13.

Выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи рис. 3.55. в общем виде: считая заданными параметры элементов; сопротивлением амперметра пренебрегаем, а сопротивление вольтметра Rв учитываем при расчете.

Решение На первом этапе упростим электрическую цепь рис. 3.55., объединяем

узлы, не содержащие элементов, и выберем положительные направления токов.

	E1	I1'				2	R1
	E1	I1'
9	E2	I2'		3			R2
	E3	I3'	4				R3
			R6		R5		R4
	I7		I6		I5		I4
	I7	A					V
		A	I10		I9		V
		5	I10	6	I9	7
	Рис. 3.55. Схема к примеру 3.13.

I2 1

I3 8

154

На втором этапе пронумеруем узлы, выбрав самый старший по номеру узел 5, ограничивающий ветви с бесконечной проводимостью. «Заземляем» узел 5, а потенциалы узлов 2, 3, 4 являются известными: φ2 = E1; φ3 = E2; φ4 = -E3; φ5 = 0.

Неизвестным потенциалом является потенциал только первого узла. На третьем этапе составляем одно уравнение с одним неизвестным по-

тенциалом:

ϕ1G11 +ϕ2G12 +ϕ3G13 +ϕ4G14

= I11 .

(3.90)

Здесь:

G = 1 + 1 + 1 + 1 ;G = − 1 ;G = − 1 ;G = − 1 ; I

= 0.

I1'

I '

Рис. 3.56. Упрощенная схема к примеру 3.13.

Очевидно, что:


	E			1		+E				1		−E				1
	E					+E						−E			3 R
ϕ =			1	R					2 R						3 R
				1					2						3		.	(3.91)
																	.	(3.91)
1			1		+		1	+			1		+	1
			1				1				1			1

		R1 R2									R3			RV

155

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи рис. 3.56 по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС:

ϕ −ϕ

I =

;

I =

;

I =

;

I =

;

ϕ −ϕ

(3.92)

4 =

5 =

6 =

;

На пятом этапе рассчитываем остальные токи по первому закону Кирхгофа для рис. 3.55 заданной схемы:

I		' = I		+I ;					для узла 2
I		' = I		+I ;					для узла 2
	1		4		1
	1		4		1
I2 ' = I5 +I2;
I2 ' = I5 +I2;									для узла 3

I		' = I		+I			;
I	3	' = I	6	+I		3	;		для узла 4
	3		6			3				(3.93)
I		= I '+I '+I						';	для узла 9	(3.93)
I		= I '+I '+I						';	для узла 9
	7	1		2				3
	7	1		2				3
I9		= I4 +I8;							для узла 7
I9		= I4 +I8;							для узла 7

I10 = I5 +I9.
I10 = I5 +I9.									для узла 6

Пример 3.14.

Для электрической цепи примера 3.10. выполнить расчет токов в ветвях методом узловых потенциалов.

Решение.

Выбираем упрощенную схему 3.49. По второму этапу проставляем направления токов и пронумеруем узлы электрической схемы.

		1
	I1		E2
	I1
	I3
	R1
E1		R3	R2
E1	2		E3
			E3
	R5	R4	I8
	I5		I8
	I5		I4
3	I6	R6	4

Рис. 3.57. Схема к примеру 3.14.

156

Принимаем потенциал узла 4 равным нулю φ4 = 0 .

На третьем этапе для трех неизвестных потенциалов φ1; φ2 и φ3 составляем стандартную систему уравнений и решим ее:


ϕG +ϕG +ϕG = I ;
1	11	2	12		3	13			11

ϕG		+ϕG			+ϕG			= I		(3.94)
	21			22			23		;
1		2			3				22

ϕG +ϕG +ϕG = I .
1	31	2		32	3		33
									33

Подставляем формулы коэффициентов в уравнения (3.94):


			1				1								1												1											1										E1				E2				E2
			1		+		1			+					1					−ϕ							1				−ϕ							1				= −						E1		+		E2		+		E2
ϕ (																			)																																								;
ϕ (																			)																																								;
1	R						R							R								2			R										3		R											R				R				R
	R						R							R											R												R											R				R				R
			1				2									3											3													1									1			2				2
			1										1							1							1														1
−ϕ			1			+ϕ							1				+			1				+			1							)−ϕ							1					= 0;
											(
											(		R								R							R										3 R
	1 R								2				R								R							R										3 R
			3										3							4										5													5
			3										3							4										5													5
			1										1									1												1						1							E1
−ϕ			1			−ϕ							1			+ϕ (						1					+							1	+					1			) =				E1
																																																		.
																																																		.
	1			R1				2				R5								3		R1										R5							R6								R1
				R1								R5										R1										R5							R6								R1
		1					1								1											1													1										10				6					8
		1					1								1											1													1										10				6					8
					+				+									)−ϕ2												−ϕ3														= −							+				+
ϕ1(					+				+									)−ϕ2												−ϕ3														= −							+				+
110							60						45												45											110													110			60
110							60						45												45											110													110			60					60
			1								1									1							1														1
−ϕ1			1		+ϕ2(						1				+					1			+				1						)−ϕ3								1				= 0


		45									45								150								80													80
		45									45								150								80													80
			1										1									1												1							1								10
−ϕ			1			−ϕ							1			+ϕ (						1							+					1		+					1				) =				10


1		110						2			80									3		110												80						50								110
		110									80											110												80						50								110

Решаем полученную систему (3.96) с помощью определителей:

(3.95)

(3.96)

ϕ =	1	= 6,127B;	ϕ =	2	= 4,789B; ϕ =	3	= 4,964B. (3.97)

1			2	3

Здесь:


		1	+		1		+	1			−		1						−	1
	110		+				+	45			−								−
	110		60					45			45								110
=			−			1				1	+	1		+		1			−			1				= 4,61i10−5
=			−						45		+			+					−							= 4,61i10−5
			45						45		150				80				80
			−	1							−		1					1	+		1		+		1
			−								−						110		+				+
			110								80						110		80					50

157

			−		10			+								6			+			8							−				1												−		1
			−					+											+										−																−
		110						60											60														45												110
	=							0															1				+					1				+		1								−				1										= 2,824i10−4
1	=							0																			+									+										−														= 2,824i10−4
1																							45				150									80									80
																							45				150									80									80
									10																				−				1								1				+			1						+			1
								110																					−											110					+									+			50
								110																									80							110					80												50
				1			+							1				+			1			−	10				+					6		+			8							−					1
				1										1							1				10									6					8												1
				110
				110				60											45				110										60			60									110
	=							−							1												0																			−							1							= 2,2074i10−4
2	=							−																			0																			−														= 2,2074i10−4
2								45																																					80
								45																																					80
							−					1																		10													1						+			1				+			1
							−																				110													110									+							+
								110																			110													110					80												50
				1		+					1						+			1							−				1									−		10		+					6						+			8
				1							1									1											1											10							6									8
			110
			110					60											45								45													110					60												60
	=						−						1											1		+		1							+		1								0															= 2,288i10−4
3	=						−																			+									+										0															= 2,288i10−4
3								45															45				150									80
								45															45				150									80
							−			1																	−				1															10
							−																				−																		110
								110																			80																		110

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи по

закону Ома для ветви содержащей ЭДС:

ϕ3

−ϕ1 −E1

= −0,103A; I

ϕ3 −ϕ2

= −2,2i10−3

ϕ1

−ϕ2

= 0,026A;

ϕ4 −ϕ1 +E2 +E3

= 0,131

ϕ2

−ϕ4

= 0,033A;

ϕ4 −ϕ3

= −0,096A

Пятый и шестой этапы выполнены в примере 3.11.

A; (3.98)

158

3.6 Основные теоремы теории линейных электрических цепей

3.6.1 Входные, взаимные проводимости и входное сопротивление

При обосновании метода контурных токов была получена формула (3.49) для расчета контурных токов:

Ikk

= E11

k1 +E22

+..............+Emm

= ∑Eii

ki . (3.99)

i=1

Если в первой ветви первого контура рис. 3.58. включен единственный

источник ЭДС Е1 и эта ветвь входит

только в первый контур, то в соответ-

I11

ствии с выражением (3.99):

11 E

(3.100)

Рис. 3.58. К определению входной

Отношение 11 /

проводимости

принято называть входной

проводимостью первой ветви:

= 11 .

(3.101)

Входная проводимость численно равна току в данной ветви при вели-

чине ЭДС в этой ветви равной 1В. Для любой ветви один раз входящей в один контур взаимная проводимость:

g		=		ki		.		(3.102)
g	ki	=				.		(3.102)
	ki
				R
Входное сопротивление:
R			=	1			.	(3.103)
R			=				.	(3.103)
	вх k			g	kk
					kk

Если k=2, i=1 заданная Е1 вызывает в ветви 2, входящей только во второй контур, ток:

Рис. 3.59. К определению взаимной проводимости

где: g21

– взаимная проводимость первого и второго контуров (или взаимная проводимость первой и второй ветви).

Следовательно, взаимная проводимость i-го и k-го контуров (ветвей):

I		=	21	E		= g E		,
	2				1
						21	1

I11

g		=	ki	.
	ki

			R

159

(3.104)

I22

(3.105)

Величина gki численно равна току в kой ветви, если в ветви i и Ei = 1 В.

Индекс к указывает какой ток определяется. Взаимная проводимость также может быть определена по формуле:

[gkk ] = [gki ] = Cм, а входное сопротивление [Rвх i] = Ом.

3.6.2 Теорема взаимности

Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-ветви, вызванной ЭДС Ei, находящейся в i-ветви

(рис.3.60. а):

Ik = Ei·gki.

(3.107)

Будет равен току Ii в i-ветви , вызванному ЭДС Ек, находящейся в К- ветви (рис. 3.60. б):

160

Ii = Ek·gik

(3.108)

Для доказательства теоремы обращаемся к рис. 3.60. а.

В ветвь i включаем ЭДС Еi, а в ветвь К – амперметр для измерения тока Iк. Пусть каждая из ветвей входит только в К и i – контуры. Тогда по методу

а)

б)

Рис. 3.60. Граф электрической цепи

контурных токов:

I		= E		ki	.	(3.109)
	k
			i

Если поменять местами ЭДС и амперметр и назвать ЭДС в ветви i Еi, в этом случае для рис. 3.60. б ток

I		= E	g		= E		ik	.	(3.110)
	i			ik
		k				k

Так как Ek = Ei, ∆ki = ∆ik и в силу симметрии определителя ∆R относительно главной диагонали, ток Ik в схеме рис. 3.60. а равен току Ii в схеме рис.3.60. б. Для нелинейных цепей принцип взаимности не выполним.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.201844.54 Кб52Osnovnye_shkoly_i_problemy_ranney_klassiki.doc
#
05.03.20165.12 Mб56Osnovy_ekologii.doc
#
10.09.201970.39 Кб39Ostapenko_STO.docx
#
05.03.201611.51 Mб572otvety_na_bakalavrsky.doc
#
16.11.2019579.34 Кб40Otvety_na_k_r__1_bondar.docx
#
05.03.20161.64 Mб38pos322641.pdf
#
05.03.20165.56 Mб191posob_nesterov_mex.mash.doc
#
10.12.2018258.66 Кб44Potentsial.docx
#
05.03.2016200.8 Кб72PR3.docx
#
25.11.2019446.98 Кб32prakt.doc
#
05.03.2016281.09 Кб33praktika_ocenka inw obst_timofeev.doc