pos322641

161

3.6.3 Теорема наложения (суперпозиций)

В соответствии с методом контурных токов в линейной электрической цепи, любой контурный ток Ikk равный току ветви Ik входящей только один раз в k-ый контур:

тичный ток, возникающий в контуре i от действия источника ЭДС Е1 при

R

Следовательно, ток Ikk в любом k-м контуре равен алгебраической сумме частичных токов, которые создаются в этом контуре каждой ЭДС, которая действует отдельно:

Так как схема для обоснования МКТ содержит и источники тока, то в

общем случае теорема наложения может быть сформулирована: ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов созданных каждым источником энергии в отдельности.

Пример 3.15.

Для схемы 3.61. методом суперпозиции рассчитать токи, если известны значения всех элементов.

162

Рис. 3.61. Схема к примеру 3.15.

Решение.

На первом этапе для схемы 3.61. в соответствии с методом наложения оставляем в схеме один источник ЭДС Е, а J=0.

Рис. 3.62. Схема к первому этапу решения примера 3.15.

Рассчитаем частичные токи во всех ветвях применяя эквивалентные преобразования схемы:

На втором этапе оставляем в схеме источник тока, а вместо источника ЭДС оставляем закороченный участок электрической цепи (рис 3.63.).

163

Вычисляем токи:

На третьем этапе находим результирующие токи в ветвях электрической схемы рис 3.61:

3.6.4 Теорема об эквивалентном генераторе (теорема Тевенена)

Область применения теоремы ограничивается задачами, в которых необходимо рассчитать ток в одной ветви сложной схемы. С помощью этой теоремы сложная цепь с любым количеством генераторов энергии приводится к схеме с одним генератором, благодаря чему расчет цепи упрощается.

165

Для доказательства теоремы про эквивалентный генератор, последовательно с выходными зажимами активного двухполюсника включается дополнительный источник ЭДС, равный напряжению на зажимах a-b в нерабочем режиме (в режиме холостого хода), так чтобы ток и напряжение на выходных зажимах на приемнике были равны нулю (рис.3.65.) Iнр=0; Uнр=0.

В соответствии с принципом наложения, ток полученного пассивного двухполюсника Iнр является алгебраической суммой двух токов, один из которых вызван всеми источниками данного активного двухполюсника (рис.3.64. а), а другой – дополнительным идеальным источником ЭДС (Е=Uxx), включенным последовательно полученным резисторам Rвх и Rн (рис. 3.66.).

Эти токи одинаковы по величине и противоположны по направлению. Величина тока в схеме (рис. 3.66.) определяется по второму закону Кирхго-

фа: Iн =Uxx /(Rвx +Rн), что соответствует выражению (3.116) и формули-

ровке теоремы.

3.6.5 Теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона)

Любой линейный активный двухполюсник можно заменить эквива-

лентным реальным источником тока, величина тока которого равна току короткого замыкания между выходными зажимами двухполюсника, а внут-

реннее сопротивление равно входному сопротивлению пассивного двухпо-

люсника.

Таким образом, по теореме Нортона должны быть эквивалентны две схемы (рис. 3.67. а и рис. 3.67. б). Для доказательства воспользуемся результатами теоремы Тевенена. Для этого заменим схему эквивалентного генератора ЭДС (рис.3.64. б) на эквивалентный генератор тока, в котором в соответствие с правилами преобразования:

166

а эквивалентная схема имеет вид как показано на рис. 3.67. б.

3.6.6 Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора находит широкое применение для решения теоретических и прикладных задач. В основе метода лежит определение основных параметров активного двухполюсника: Е=Uxx (J=Iкз) и Rвх. Определение этих параметров выполняют по системе уравнений для рис. 3.64. б для двух значений сопротивления приемника энергии Rн1 и Rн2, если величины Iн1, Iн2, Uн1 и Uн2 получены экспериментально:

Решение системы (3.118) имеет вид:

Частными случаями нагрузки являются нерабочие режимы (холостого хода – Rн→∞) и короткого замыкания (Rн→0). В режиме холостого хода мы

167

измеряем E=Uxx, а в режиме короткого замыкания мы измеряем величину тока Iкз и по второму закону Кирхгофа для рис. 3.64. б находим:

U

Rвх = I хх (3.120)

кз

В задачах анализа электрических цепей обычно параметры элементов заданы и величины Uхх (или Iкз) и Rвх определяется расчетным путем:

1.Выделяют активный двухполюсник по отношению к зажимам элемента с неизвестным током.

2.Рассчитывают напряжение нерабочего режима Uхх по второму закону Кирхгофа для контура, в состав которого входит это напряжение. Токи, а потом и напряжения на элементах ветвей, входящих в данный контур, рассчитывают при Rн→∞. Токи рассчитывают любым методом расчета цепей постоянного тока.

3.Расчет входного сопротивления двухполюсника выполняют предварительно исключив все источники энергии. Исключение состоит в том, что зажимы источников ЭДС закорачивают, а идеальных источников тока – размыкают. Расчет Rвх выполняют применением методов эквивалентных преобразований или по МКТ или МУП.

4.Полученные значения Uхх и Rвх подставляют в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для рис. 3.64. б:

Пример 3.16.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 3.68. рассчитать величину тока I1 методом эквивалентного генератора, если параметры элементов имеют величины: R1=600 Ом; R2=60 Ом; R3=45 Ом; R4=150

Ом; R5=80 Ом; R6=500 Ом; Е1=10 В; Е2=8 В; J2=0,1А

168

Решение.

На первом этапе выделяем схему активного двухполюсника по отношению зажимам a и b элемента с независимым током I1 (пунктиром).

На втором этапе рассчитаем напряжение нерабочего режима Uabxх. На рис. 3.69. представлена расчетная схема, где величина сопротивления R1 →∞, то есть в первой ветви обрыв.

R6

Рис. 3.68. Схема к примеру 3.16.

Е2

Рис. 3.69. Схема к расчету Uabxx

Для выбранного двухполюсника на рис. 3.69. составим для показанного контура по второму закону Кирхгофа уравнение, предварительно проставив положительные направления токов в ветвях схемы и заменив источник тока J на эквивалентный источник ЭДС Eэ=R2J:

Расчет токов I6х и I2х выполним методом узловых потенциалов, проставив номера узлов и «заземлив» узел 2 (φ2=0), запишем одно уравнение для потенциала узла 1:

Подставляем в формулу (3.125) выражения для коэффициентов G11 и

I11:

Токи I2х и I6х определяем по закону Ома для ветви содержащей ЭДС:

Подставляем значения токов в уравнение (3.124):

Uabxx = −10−0,0429 80−0,08 45 = −17,032 В.

На третьем этапе выполним расчет входного сопротивления пассивного двухполюсника относительно зажимов a и b. Для выполнения этой задачи все ЭДС приравниваем к нулю, а вместо ЭДС остаются участки с сопротивлением равным нулю, так как внутреннее сопротивление идеального источника