pos322641

121

Так как метод непосредственного применения законов Кирхгофа состоит в составлении необходимого и достаточного количества уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и дальнейшему их решению, на втором этапе необходимо подсчитать количество ветвей, и следовательно, не-

известных токов n и количество узлов к, пронумеровав их. Для рис. 3.39. n = 6 и к = 4.

Если составить уравнения по первому закону Кирхгофа для

всех узлов схемы, то в полученную систему уравнений каждый из токов войдет дважды, но с различными знаками. Если сложить уравнения, то полученная сумма будет равна нулю, что указывает на взаимную зависимость полученной системы уравнений. Для цепи, изображенной ни рис. 3.39., например, система уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, для всех узлов при положительном выборе знака токов, отходящих от узла, имеет вид:

Сумма всех уравнений в системе (3.25) равна нулю, а сумма только трех любых уравнений приводит к уравнению исключенного узла.

Поэтому, количество независимых уравнений, составленных по перво-

му закону Кирхгофа, на единицу меньше количества узлов к. Для данной цепи

к – 1 = 4 – 1 = 3.

На третьем этапе необходимо составить по второму закону Кирхгофа недостающее количество уравнений для независимых контуров:

где: Rik - квадратная матрица обобщенных сопротивлений по методу зако-

нов Кирхгофа; Ii - матрица-столбец неизвестных токов; Ei - матрица-

столбец обобщенных ЭДС метода непосредственного применения законов Кирхгофа; i, к – соответственно номера рядов и столбцов элементов матриц.Матрицу токов в системе (3.31) можно найти с помощью обратной матрицы обобщенных сопротивлений:

Применение матриц позволяет кратко записать уравнения, но общий объем вычислений не уменьшается.

3.3.3 Примеры расчета по методу непосредственного применения законов Кирхгофа

Пример 3.7.

Рассчитать токи I1 и I2 методом непосредственного применения законов

Кирхгофа, если: R1 = 15 Ом; R2 = 5 Ом; R3 = 4 Ом; R4 = 7 Ом; R5 = 3 Ом; Е1 = 10 В; Е2 = 8 В; Е3 = 12 В; Е4 = 16

126

Четвертый этап. Решаем полученную систему с помощью определите-

лей:

Ток I2 в схеме, изображенной на рис. 3.40., находим по первому закону Кирхгофа для узла 4:

I2 = I1 −J = 2,198−2 = 0,198 А.

Ток I5 находим по уравнению I5 = I4 −J = 2,73−2 = 0,73 А для узла 3.

Пятый этап. Проверим достоверность полученных результатов по выполнению баланса мощностей для заданной электрической цепи (рис.3.40.):

Напряжение U54 на зажимах источника тока можно вычислить по уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа для контура III (рис.

3.40.):

127

Следовательно:

U54 = E2 +E4 −I2R2 +JR1 = 8 +16−0,198 5+2 15 = 53 В.

Подставляем полученные значения в уравнение 3.31:

(10+6)(−2,73)+12(0,54) 16+ 8 0,198 +53 2 =

= (2,198)2 4 +(0,198)2 5+(0,54)2 7 +(2,73)2 3+22 15,

104 Вт ≈ 103,92 Вт.

Расчет выполнен верно.

Недостаток метода непосредственного применения законов Кирхгофа связан с необходимостью составления и решения большого количества уравнений, если не производить упрощения электрических цепей.

Пример 3.8.

гофа для второго узла. А по третьему этапу составим уравнения по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров:

128

Общее число неизвестных величин токов I1, I2, I3 – четыре, поэтому систему уравнений (3.33) – (3.35) дополняем четвертым уравнением по закону Ома:

По четвертому этапу решаем уравнение (3.35) относительно тока I3,

подставляя параметры элементов R2, R3 , Е2: 10 = 4 +I3 2, откуда:

I = 10−4 = 3 А.

3 2

Из уравнения (3.33) находим: I1 = I3 −I2 = 3−2 = 1 А.

Величину ЭДС Е1 вычисляем из уравнения (3.34):

E1 = I1(R1 +R4)+I3R3 = 1(1+5)+3 2 = 6+6 = 12 В.

Проверка правильности выполнения задачи выполняется по балансу мощностей:

10 2+12 1 = 1(1+5)+32 2+22 2;

32 Вт = 32 Вт.

Для линейных электрических цепей наиболее часто применяется метод контурных токов и метод узловых потенциалов, которые основаны на различных вариантах решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

3.4 Метод контурных токов (МКТ)

3.4.1 Обоснование последовательности расчета

На рис. 3.45. представлена сложная электрическая цепь, в которой заданы величины всех ЭДС Е’i, Еi, источников тока Jк и резисторов Ri, zR. Необходимо выполнить расчет величин токов в ветвях электрической цепи.

129

На первом этапе необходимо проставить произвольное направление токов в ветвях и упростить электрическую цепь, по известным методам пронумеровав узлы. На рис. 3.46. представлена упрощенная цепь, где

E1 = E3′ +J3R3′; R3 = R3′; E4 = E4′ −J4R4′; E5 = E5′ −J5R5′; R5 = R5′;

R2 = R2′; E2 = E2′ −J2R2′.

Положительные направления результирующих ЭДС в ветвях выбираются произвольно и в данном примере выбраны совпадающими с электрической цепью на рис. 3.39.

2

Рис.3.45. Схема к обоснованию МКТ

Воспользуемся для обоснования метода МКТ методом непосредственного применения законов Кирхгофа и составим по первому закону Кирхгофа (к - 1) уравнений (т. е. 4 – 1 = 3) для узлов 1, 2, 3 и по второму закону Кирхгофа для контуров I, II, III:

130

Рис.3.46. Упрощенная схема к обоснованию МКТ

нения. Токи ветвей соединения называют контурными токами и обозначают

I1 = I11, I2 = I22 , I3 = I33 . Выразим токи ветвей дерева через контурные то-

ки из уравнений (3.38):

Исключаем токи смежных ветвей (дерева) из системы уравнений (3.39), для чего выражения для токов (3.40) - (3.42) подставим в уравнения (3.39):