pos322641
.pdf
111
нию исходных уравнений для контуров или узлов, составленных по законам Кирхгофа. Рассмотрим перенос идеального источника ЭДС (рис. 3.22. а).
Уравнение по второму закону Кирхгофа для указанного контура имеет
вид: |
|
E =Uab −I1R1. |
(3.15) |
Для переноса источника ЭДС в ветви с резисторами R1 и R2 последова- |
|
тельно с ним включают такой же источник ЭДС, |
направленный в противо- |
положную сторону, а для сохранения уравнения, последовательно с резисторами R1 и R2 включают такие же источники ЭДС, направленные вверх (рис. 3.22. б). Последняя схема упрощается объединением узлов 1 и 2 в один узел, так как напряжение между этими узлами равно нулю (рис. 3.22. в). Рассмотрим перенос идеального источника тока (рис. 3.23.).
Рис.3.23. Преобразование цепи, содержащей источник тока
Перенос и преобразование цепи с идеальным источником тока J в цепь с идеальным источником ЭДC Е1 и Е2.
Для переноса идеального источника тока J параллельно с резисторами R1 и R2 включаются источники тока J, таким образом, уравнения, составлен-
112
ные по первому закону Кирхгофа, остаются неизменными для рис. 3.23. а и б. Так для узлов 1, 2 и 3 соответственно, уравнения имеют вид:
J +I2 −I4 |
= 0; |
(3.16) |
I2 +I3 −I1 |
= 0; |
(3.17) |
I2 −J −I2 |
= 0. |
(3.18) |
Дальнейшее упрощение цепи выполнено заменой моделей источников энергии, содержащих источники тока (рис. 3.23. б) моделями, содержащими источники ЭДС (рис. 3.23. в), где: Е1 = JR1, Е2 = JR2.
Рассмотрим замену нескольких параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной ветвью.
Участок цепи (рис. 3.24. б) эквивалентен участку цепи, изображенному на рис. 3.24. а, если токи I и I' равны и напряжения Uab и Uab' равны.
Для схемы (рис. 3.24. а) ток I можно определить по первому закону Кирхгофа:
n |
m |
|
I = ∑Ii |
+ ∑Jk , |
(3.19) |
i=1 |
k=1 |
|
где: n – число ветвей с источниками ЭДС; m – число ветвей с источниками тока; ток Ii - ток любой ветви с источником ЭДС. Расчет токов Ii выполним по закону Ома:
I |
|
= |
Uab ±Ei |
= (U |
|
±E |
)g |
. |
(3.20) |
i |
|
ab |
|||||||
|
|
Ri |
i |
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно:
n
I=Uab ∑gi i=1
n |
m |
|
+ ∑Eigi |
+ ∑Jk . |
(3.21) |
i=1 |
k=1 |
|
Для схемы (рис. 3.24. б) в соответствии с законом Ома:
I′ =Uabgэ ±Eэgэ . (3.22)
Равенство токов I и I' в схемах (рис. 3.23. а и б) должно иметь место
n
при любых значениях Uab , а это возможно только когда gэ = ∑gi и
i=1
113
b 
I
R1 |
|
|
R2 |
|
|
R3 |
|
|
|
Ri |
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
E2 |
E3 |
|
Ei |
En |
|
I1 |
I2 |
I3 |
Ii |
In |
I’
r1 |
|
|
rk |
|
|
rm |
|
|
Rэ |
|
|
|
|
|
|
J1 |
Jk |
Eэ |
Jm |
I’
|
I |
a |
a |
а) |
б) |
Рис. 3.24. Параллельно соединенные ветви, содержащие источники энергии и их эквивалентная схема
|
|
|
n |
m |
|
|
Eэ gэ = ∑Eigi + |
∑Jk . |
(3.23) |
||||
|
|
|
i=1 |
k=1 |
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
m |
|
|
|
|
= |
∑Eigi + |
∑Jk |
|
|
E |
|
i=1 |
k=1 |
. |
(3.24) |
|
э |
n |
|
||||
|
|
|
∑gi |
|
|
|
i=1
При вычислениях по данной формуле следует помнить: если ЭДС в ка- кой-либо ветви схемы отсутствует, то соответствующее слагаемое в числителе выпадает, а проводимость этой ветви в знаменателе остается; если ЭДС в исходной схеме (рис. 3.24. а) имеет направление, обратное току, то соответствующее слагаемое выйдет в числитель со знаком «-».
Пример 3.6.
Выполнить замену группы параллельных ветвей (рис. 3.25.) одной эквивалентной ветвью, если E1 = 60 В; E2 = 40 В; E3 = 60 В; R1 = 2 Ом; R2 = 4
Ом; R3 = 1 Ом; R4 = 5 Ом; J = 6 A.
114
I
Е1 |
Е2 |
R1 |
R2 |
I1 |
I2 |
а
I
R3 |
Е3 |
I3 |
а)
|
І |
|
|
Eэ |
|
R4 |
J |
|
Rэ |
||
|
I4
б)
Рис. 3.25. Схема к примеру 3.6.
Решение.
Вычисляем: g1 = 0,5 См; g2 = 0,25 См ; g3 = 1 См;g4 = 0,2 См ;
|
|
R = |
1 |
= |
1 |
|
= 0,513 Ом; |
|||
|
|
|
n |
0,5+ 0,25+1+0,2 |
|
|||||
|
|
|
э |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∑gi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Eigi −J |
|
|
|
||||
E |
|
= |
i=1 |
|
|
|
= −20 0,5−40 0,25 |
+60 1 = 18,4 В. |
||
э |
|
n |
|
|||||||
∑ 1,95 gi
i=1
Параметры эквивалентной схемы рис.3.25 б: Rэ = 0,513 Ом и Еэ = 18,4В.
3.27 Вопросы для самопроверки
1.Дать определение линейным электрическим цепям постоянного тока с сосредоточенными параметрами.
2.Какие элементы обычно присутствуют в схеме замещения для цепей постоянного тока с сосредоточенными параметрами?
3.Сформулировать закон Ома для ветви, содержащей ЭДС.
4.Дать определение потенциальной диаграммы.
5.Записать уравнение баланса мощностей в цепи постоянного тока.
6.Сущность эквивалентных преобразований электрических цепей.
115
7.Если резисторы подключены последовательно и сопротивления их одинаковы, во сколько раз эквивалентное сопротивление будет отличаться от величины одного резистора?
8.Как отличается по величине эквивалентная проводимость группы параллельно подключенных одинаковых резисторов от проводимости одного резистора?
9.Сформулировать правила преобразования схемы соединения «звезда» в схему соединения «треугольник» и наоборот.
10.Сформулировать правило переноса идеального источника ЭДС с изменением общего количества источников ЭДС в схеме.
11.Сформулировать правила преобразования цепи с идеальным источником тока в цепь с идеальным источником ЭДС.
12.Записать формулы и правила замены группы параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной ветвью.
3. 28 Тесты
1.Рассчитать напряжение Uab, если: R1 = 10 Ом; R2 = 5 Ом; Е1 = 90 В; Е2
=80 В; I = 6 А; Uсa = 40 В. Схема представлена на рис. 3.26.
А |
|
|
|
|
|
R1 |
U |
|
R1 |
|
АВ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
Е1 |
Е2 |
|
|
|
I1 |
R2 |
|
|
С |
|
|
В |
|
|
|
I2 |
||
|
I |
|
R2 |
R3 |
А |
Б |
R4 |
R5 |
Рис.3.26. Схема к примеру 1 |
Рис.3.27. Схема к примеру 2 |
116
|
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
|
2 В |
8 В |
35 В |
43 В |
|
|
|
|
|
|
2. |
Рассчитать напряжение Uab в схеме (рис. 3.27.), если R1 = 10 Ом; R2 = |
|||
2 Ом; R3 = 6 Ом; R4 = 8 Ом; R5 = 4 Ом; Е1 = 90 В; Е= 60 В. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
|
24 В |
28 В |
16 В |
8 В |
|
|
|
|
|
|
3. |
Рассчитать токи в ветвях (рис. 3.28.), если: J = 150 мА; R1 = 0,5 кОм; |
|||
R2 = 1,5 |
кОм; R3 = 12 кОм; R4 = 6 кОм. |
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
R1 |
R |
J |
R |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
R3 |
|
R2 |
|
ЕR2
А R4
Рис.3.28. Схема к примеру 3 |
Рис.3.29. Схема к примеру 4 |
|
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
|
I3 |
= 60 мА |
I3 = 40 мА |
I3 = 120 мА |
I3 = 50 мА |
I4 |
= 90 мА |
I4 = 110 мА |
I4 = 30 мА |
I4 = 100 мА |
|
|
|
|
|
4. Рассчитать показания амперметра, если: R1 = R2 = 10 Ом; R3 = R4 = 20 Ом; Е = 100 В. Внутреннее сопротивление амперметра равно нулю. Схема представлена на рис. 3.29.
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
0 А |
0,2 А |
1 А |
0,6 А |
|
|
|
|
117
5. Рассчитать токи в резисторе R6, если: R1 = R2 = 10 Ом; R3 = R4 = 20 Ом; R5 = R6 = 10 Ом; Е = 150 В. Схема изображена на рис. 3.30.
|
|
- b |
|
|
a + |
R1 |
R2 |
R3 |
U |
ab |
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
R4 |
R5 |
Е |
R4 |
R5 |
R2 |
|
|
|
|
A |
|
||
R3 |
Рис.3.30. Схема к примеру 5 |
Рис.3.31. Схема к примеру 6 |
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
3,3 А |
1,25 А |
0,5 А |
2 А |
|
|
|
|
6. В цепи, схема которой приведена на рис. 3.31., амперметр показывает ток 0,5 мА. Рассчитать напряжение на выводах источника, если R1 = 600 Ом; R2 = 6 кОм; R3 = 2 кОм; R4 = 1 кОм.
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
5,8 В |
14 В |
8 В |
2,4 В |
|
|
|
|
7. Рассчитать эквивалентное сопротивление схемы (рис. 3.32.) относительно зажимов a и b, если R1 = 700 Ом; R2 = 1190 Ом; R3 = 1080 Ом; R4 = 300
Ом; R5 = 600 Ом; R6 = 1 кОм.
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
650 Ом |
794 Ом |
375 Ом |
255 Ом |
|
|
|
|
118
а b
|
R2 |
R3 |
R4 |
R5 |
R6 |
R1
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
Е |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
R5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
R2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.32. Схема к примеру 7 Рис.3.33. Схема к примеру 8
8. В приведенной схеме (рис. 3.33.) известны параметры элементов: R1 = R3 = R5 = 2 Ом; R2 = 4 Ом; Е = 150 В. Необходимо рассчитать сопротивление R4, если напряжение на нем имеет значение U4 = 8 В.
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
12 Ом |
5 Ом |
4 Ом |
1,5 Ом |
|
|
|
|
9. Рассчитать мощность источника тока J, если J = 0,1 А; R1 = 460 Ом; R2 = 120 Ом; R3 = 600 Ом; R4 = 800 Ом; R5 = 600 Ом. Схема представлена на рис. 3.34.
R5 |
R3 |
R2 |
|
R4 |
J |
||
|
|||
|
R1 |
|
Рис.3.34. Схема к примеру 9
Е А2
R1 R2 |
R4 |
А1 |
R3 R5
Рис.3.35. Схема к примеру 10
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
|
|
6,5 Вт |
12 Вт |
0,5 Вт |
4,5 Вт |
|
|
|
|
|
|
10. Амперметры А1 и А2 показывают токи IA1 = 1,6 A и IA2 = |
2,4 мA. |
|||
Определить сопротивление R5 и ЭДС источника энергии, если R1 = R2 = 5
119
кОм; R3 = 1,5 кОм; R4 = 2 кОм. Внутренним сопротивлением амперметров пренебречь. Схема представлена на рис. 3.35.
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
300 Ом |
1 кОм |
1,5 кОм |
7 кОм |
6,5 В |
8,4 В |
10 В |
24 В |
|
|
|
|
11.Выполнить замену группы параллельно соединенных ветвей (рис.
3.36.а) одной эквивалентной ветвью (рис. 3.36. б), содержащей Еэк и Rэк, ес-
ли: R0 = 100 Ом; R1 = 1 Ом; R2 = 2 Ом; R3 = 4 Ом; J1 = 2 A; Е1 = 10 В; Е2 = 7 В.
А |
|
|
Б |
|
В |
|
Г |
0,67 Ом |
|
1,6 Ом |
|
2,7 Ом |
|
0,13 Ом |
|
7,14 В |
|
|
10 В |
|
16 В |
|
4,3 В |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
J2 |
b |
|
а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
R3 |
Rэк |
|
|
|
|
|
|
||
J1 |
R |
R |
R |
Rэк |
|
|
Еэк |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
R0 |
Е1 |
Е2 |
|
Еэк |
J1 |
R2 |
а |
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
b |
а |
|
|
|
|
|
а |
|
б |
||
а |
|
|
|
б |
|
|
|
Рис.3.36. Схема к примеру 11 |
|
Рис. 3.37. Схема к примеру 12 |
|||||
12. Преобразовать заданную цепь (рис. 3.37. а) относительно точек a и b в одну эквивалентную (рис. 3.37. б) ветвь и рассчитать Еэк и Rэк, если: R1 = 4
Ом; R2 = 6 Ом; R3 = 4 Ом; R4 = 10 Ом; J1 = 5 A; J2 = 2 A.
120
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 В |
38 В |
24 |
В |
31 |
В |
8,55 Ом |
12,85 Ом |
16,7 |
Ом |
3,45 |
Ом |
|
|
|
|
|
|
3.3 Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
3.3.1 Обоснование последовательности расчета
На рис. 3.38. представлена электрическая цепь с заданными величинами сопротивлений резисторов Ri и величинами Jк, Ei.
В задачах анализа электрических цепей необходимо выполнить расчет величин токов в ветвях электрической цепи.
|
J |
|
R7 |
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
R |
Е4 |
|
R3 |
R |
Е5 |
4 |
|
I4 |
|
5 |
I5 |
|
|
|
|
||
R1 |
|
|
R6 |
R2 |
|
Е1 |
I1 |
|
Е6 |
Е2 |
|
|
I6 |
|
|||
|
|
|
I2 |
||
|
|
|
|
|
|
На первом этапе целесообразно произвольно выбрать направления токов в ветвях, упростить цепь,
применив замену источника тока на источник ЭДС, где R3 может служить внутренним сопротивлением модели реального источника энергии, состоящего из источника
тока J и резистора R3. Резистор R7 на рис. 3.38. отсутствует, т.к. он подключен последовательно с
бесконечным сопротивлением источника тока J. Последовательно с резистором R3 в схеме (рис. 3.39.) появляется ЭДС Е3 = R3J.